Учебники 8065
.pdf
ФГБОУ ВО “Воронежский государственный технический университет”
Кафедра прикладной математики и механики
22-2017
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
к контрольной работе № 2 по математике для студентов специальности
24.05.07 “Самолето- и вертолетостроение” заочной формы обучения
divFdV FndS
V S
Воронеж 2017
Составители: канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук канд. техн. наук
УДК 517.2 (07)
А.П. Бырдин, Е.И. Иохвидов, Г.С. Розаренов, А.А. Сидоренко
Методическая |
разработка |
к |
контрольной |
работе |
|||||
№ 2 по математике для студентов специальности |
24.05.07 |
||||||||
“Самолето- и вертолетостроение” |
заочной формы обучения / |
||||||||
ФГБОУ ВО |
“Воронежский |
государственный |
технический |
||||||
университет”; |
cост. |
А.П. |
Бырдин, Е.И. Иохвидов, |
||||||
Г.С. Розаренов, А.А. Сидоренко. Воронеж, 2017. 46 с. |
|
|
|||||||
Методическая |
разработка |
предназначена |
для |
||||||
студентов специальности |
24.05.07 |
“Самолето- |
и |
||||||
вертолетостроение” заочной формы обучения |
и |
содержит |
|||||||
рекомендации к работе над курсом математики, программу курса с указанием литературы, примеры решения задач и двадцать вариантов контрольных заданий.
Ил. 3. Табл. 1. Библиогр.: 6 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.И. Ряжских
Печатается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВО “Воронежский государственный технический университет”, 2017
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ
К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА МАТЕМАТИКИ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, включающая его изучение по рекомендованным учебникам, решение задач с помощью учебных пособий, самопроверка и только затем - выполнение контрольных работ. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.
При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д. Курс математики разбит на темы и пункты, в которых указана литература, рекомендуемая для изучения.
Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. В пособиях [2], [4] имеется большое количество решенных задач, с которыми студентам рекомендуется ознакомиться при изучении соответствующего материала.
После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества задач рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы, формулировки теорем. Необходимый минимум вопросов для самопроверки приведен на страницах 5 - 6.
Зачет контрольной работы преподавателем осуществляется при выполнении следующих требований:
правильном и подробном решении задач в контрольной работе,
умении достаточно быстро и без помощи пособий решать задачи, аналогичные задачам, предложенным в контрольной работе,
твердом знании основных формул и определений, перечисленных в вопросах для самопроверки.
Если в процессе изучения теоретического материала или
при решении задач у студентов возникают вопросы, справиться с которыми самостоятельно не удается, то за помощью можно обратиться к преподавателю на консультации.
Выбор варианта контрольной работы студентом
производится по двум последним цифрам номера
студенческого билета в соответствии со следующей
таблицей.
Предпоследняя цифра x |
Предпоследняя цифра x |
совпадает с одной из цифр: |
совпадает с одной из цифр: |
0, 2, 4, 6, 8. |
1, 3, 5, 7, 9. |
|
|
x1 – 1–й вариант |
x1 – 11–й вариант |
x2 – 2–й вариант |
x2 – 12–й вариант |
x3 – 3–й вариант |
x3 – 13–й вариант |
x4 – 4–й вариант |
x4 – 14–й вариант |
x5 – 5–й вариант |
x5 – 15–й вариант |
x6 – 6–й вариант |
x6 – 16–й вариант |
x7 – 7–й вариант |
x7 – 17–й вариант |
x8 – 8–й вариант |
x8 – 18–й вариант |
x9 – 9–й вариант |
x9 – 19–й вариант |
x0 – 10–й вариант |
x0 – 20–й вариант |
|
|
2
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ требуется строгое соблюдение указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены.
1.Контрольная работа выполняется в тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.
2.На обложке контрольной работы должны быть ясно написаны фамилия и инициалы студента, шифр, название дисциплины, номер и вариант контрольной работы, адрес студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись.
3.В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту.
4.Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
5.Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия по ходу решения и делаются необходимые чертежи.
6.После получения проверенной работы исправляются отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все рекомендации рецензента.
ПРОГРАММА КУРСА “МАТЕМАТИКА” ДЛЯ СТУДЕНТОВ –- ЗАОЧНИКОВ
ИНЖЕНЕРНО – ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
(ВТОРОЙ СЕМЕСТР)
Исследование функций с помощью производных
1. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума Необходимое и достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке
3
[1, гл. 5, §§1-6].
2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций [1, гл. 5, §§9-11].
Неопределенный интеграл
3.Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям
иподстановкой [1, гл.10, §§1-4,6].
4.Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных выражений [1, гл. 10, §§5,7-10,12].
Определенный интеграл
5.Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла [1, гл.11, §§1-3].
6.Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница [1, гл.11, §4].
7.Вычисление определенного интеграла интегрированием по частям и подстановкой. Приближенное
вычисление |
определенного интеграла по формулам |
прямоугольников, трапеций и Симпсона [1, гл.11, §§5-6,8]. |
|
8. Приложение интегралов к вычислению площадей, длин |
|
дуг кривых, |
объемов тел и площадей поверхностей вращения. |
[1, гл.12, §§1,3,5,6].
Несобственный интеграл
9. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Основные свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости [1, гл. 11, § 7].
4
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
ККОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2
1.Каковы признаки возрастания и убывания функции? Что называется экстремумом функции? Как найти максимумы
иминимумы функции? Сформулируйте два правила.
2.Приведите пример, показывающий, что обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума функции.
3.Чем отличается максимум (минимум) функции, заданной на некотором отрезке, от ее наибольшего (наименьшего) значения?
4.Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке? Всегда ли они существуют?
5.Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции? Приведите примеры.
6.Что называется асимптотой кривой?
7.Как находятся вертикальные и наклонные асимптоты графика функции?
8.Каковы основные пункты общей схемы исследования функции и построения ее графика?
9.Дайте определение первообразной функции и неопределенного интеграла.
10.Напишите таблицу основных интегралов.
11.Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
12. Выведите |
формулу замены переменной в |
неопределенном интеграле.
13.Выведите формулу интегрирования по частям.
14.Запишите простейшие рациональные дроби I-IV типов. Вычислите неопределенные интегралы от простейших рациональных дробей I-III типов.
15.Изложите правило разложения правильной
5
рациональной дроби на простейшие методом неопределенных коэффициентов.
16.Интегрирование иррациональных выражений.
17.Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.
18.Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла.
19.Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
20.Интегрирование заменой переменной и по частям в определенном интеграле
21.Несобственные интегралы первого и второго рода.
22.Теоремы оценки сходимости несобственных интегралов первого и второго рода.
23. Формула |
площади криволинейной трапеции в |
декартовой системе координат.
24.Формулa площади криволинейной трапеции в полярной системе координат.
25.Формула длины дуги кривой в декартовой системе координат.
26.Формула длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.
27.Формула объема тела вращения.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Задача № 1
Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции y y(x).
1. y |
2x 1 |
. |
2. y |
1 |
3 |
x |
2 |
(x 5). |
|
(x 1) |
2 |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
6
3. y e2x x2 .
5. |
y |
|
|
x |
3 |
|
. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
x |
x 1 |
|||||
7. |
y x |
2 |
|
1 |
. |
|
||
|
|
x2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. y ln1 x.
1 x
11. |
y x e1/ x. |
|
|
|||||
13. |
y |
e |
2x 1 |
. |
||||
|
ex |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
15. |
y |
|
5x4 3 |
. |
||||
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
17. |
y |
|
|
5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 x2 |
|
|
||
19.y 2(x 1)2 .
x2
4.y x3 4.
x2
6. y x ln (x2 4).
8. y x ln2 x.
10.y x2 x 1.
x2 2x
12. y |
|
x5 |
||
|
|
|
. |
|
x |
4 |
|
||
|
1 |
|||
14. y x3e x2 /2.
16. y |
4ex2 |
1 |
||
|
|
|
. |
|
ex |
2 |
|
||
|
|
|
||
18. y (x 2)e1 x.
20.y (x 2)2 .
x1
Задача № 2
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0
7
1. |
y |
x5 1 |
, |
|
|
|
|
|
x 1. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x4 1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
y |
|
2(x8 2) |
, |
|
x0 |
1. |
||||||||||||||||||||
|
3(x4 |
1) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. |
y 14 |
|
|
|
153 |
|
|
2, |
x0 1. |
||||||||||||||||||
|
x |
|
x |
||||||||||||||||||||||||
7. |
y 2x |
1 |
, |
|
|
|
|
|
x0 1. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
y x2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
32, |
x0 4. |
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||
11. |
y |
|
4x x |
2 |
|
, |
|
|
|
|
x0 2. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
13. |
|
|
|
x |
|
x0 4. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15. |
y |
|
|
|
|
33 |
|
, |
|
|
|
x0 |
64. |
||||||||||||||
|
|
|
x |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
17. |
y |
|
x3 |
2 |
, |
|
|
|
|
x0 |
2. |
||||||||||||||||
|
x |
3 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
19. |
y |
|
x2 |
3x 6 |
, |
x0 3. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
164 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. y 6 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, x0 1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
y |
3x 2x3 |
, |
|
|
|
|
|
x0 1. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
y |
x29 6 |
, |
|
|
|
|
x0 1. |
||||||||||||||||||||
|
x |
4 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8. y 3(3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
), x0 1. |
||||||||||||||||||||
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||
10. |
y |
|
x2 3x 3 |
, |
x0 3. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. |
y |
x16 |
9 |
, |
|
|
|
|
x0 1. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
14. |
y |
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
x0 2. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
16. |
y |
1 3x2 |
, |
|
|
|
|
x0 1. |
||||||||||||||||||||
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
18. |
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
x0 2. |
|||||||||
|
x2 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20. |
y 34 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
x0 1. |
||||||||||||||||
x |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
8