Учебники 8065

При x значения коэффициентов k и b не изменятся. Следовательно, при x график имеет наклонную асимптоту y x 5.

5) Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Вычислим первую производную функции.

Критические точки: x 1, x 5, x 1.

Функция возрастает для тех значений переменной, при которых y 0, убывает для тех значений переменной, при которых y 0. Таким образом, функция возрастает на промежутках ( ;1) (5; ), убывает на промежутке (1;5).

6) Найдем промежутки выпуклости вверх или вниз, точки перегиба. Вычислим вторую производную функции.

29

30

8) Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с осями координат, точки экстремума, точки перегиба и соединяя их плавной кривой (рис. 1).

y

27

2

Рис. 1

Задача №5

Найти неопределенный интеграл.

а) Интегрирование по частям.

Для решения примеров данного пункта воспользуемся формулой интегрирования по частям:

31

u dv uv v du.

Этот метод удобно применять в следующих случаях.

I. Когда подынтегральное выражение содержит в виде

II.Подынтегральная функция имеет вид P(x)eax,

P(x)sin ax, P(x)cosax, где P(x) – многочлен. Если в качестве u(x) выбрать P(x), то в новом интеграле подынтегральная функция вновь будет принадлежать одному из указанных типов, но степень многочлена будет на единицу меньше.

32

Ix2e x 2 x e xdx.

Кполученному интегралу снова применим формулу

интегрирования по частям. Положив u x, dv e xdx,

получим du dx , v e x . Тогда

x e xdx xe x e xdx.

Следовательно,

Ix2e x 2 xe xdx x2e x 2 xe x e xdx

x2e x 2xe x 2e x C .

III.Подынтегральная функция имеет вид eax sinbx ,

eax cosbx, sin(ln x), cos(ln x). После двукратного применения формулы интегрирования по частям, вновь получается исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Полученное равенство является линейным алгебраическим уравнением относительно искомого интеграла.

Ix sin(ln x) cos(ln x) dx

x sin(ln x) x cos(ln x) sin(ln x) dx .

33

Получили линейное относительно искомого интеграла уравнение:

I x (sin(ln x) cos(ln x)) I ,

откуда находим

Ix (sin(ln x) cos(ln x)) C . 2

б) Интегрирование рациональных дробей.

Напомним, что рациональной называется дробь вида

Pn(x) , где Pn(x) и Qm(x) - многочлены степеней n и m Qm(x)

соответственно. Если n m, то рациональная дробь называется правильной, если n m - неправильной. Неправильную рациональную дробь, выделив из нее целую часть, можно представить в виде многочлена и правильной дроби.

Метод интегрирования правильной рациональной дроби состоит в разложении дроби на сумму простейших дробей и последующем интегрировании каждого слагаемого этого разложения.

Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Следовательно, можно сразу производить разложение на простейшие дроби. Разложение имеет вид

где коэффициенты A, B, C, D могут быть определены методом неопределенных коэффициентов.

Приведем дроби, стоящие в правой части равенства к общему знаменателю:

34

и приравняем числители получившихся дробей

3x2 2 A(2x 1)(x2 1) B(x2 1) (Cx D)(2x 1)2.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x. Приравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений для определения A, B, C и D:

при x3: 2A + 4C = 0;

при x2: -A + B – 4C + 4D = 3; при x1: 2A + C – 4D = 0; при x0: -A + B + D = -2.

Решив эту систему, находим коэффициенты A, B, C и D:

Таким образом, разложение подынтегрального выражения принимает вид:

35

в) Интегрирование иррациональных выражений.

С помощью подходящей подстановки подобные выражения сводят к рациональным и далее используют уже известные методы интегрирования рациональных выражений.

362x 1 3arctg62x 1 C .

г) Интегрирование тригонометрических выражений.

При вычислении интегралов sinn x cosm x dx, где n, m –

целые числа рекомендуется использовать следующие приемы: I. Если оба показателя n и m - неотрицательные четные

числа, то применяют формулы понижения степени:

36

применяют формулу

sin2 x cos2 x 1.

sin5 x cos4 x dx sin4 x cos4 x sin x dx

Задача №6

Вычислить несобственный интеграл или показать, что он расходится.

Решение. Напомним определение несобственного интеграла. Если существует конечный предел

37

то этот предел называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке [a, +∞) и обозначают

f(x)dx. a

Следовательно, по определению