Учебники 8065

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y(x) max 5;1;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

415.82 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

а)

y 1 arcsin x

1 x2,

0 x

б)

x 7(t sint),

2 t 4 .

y 7(1 cost),

0 x

а)

y arccos

x x2

б)

x 5cos

0 t

y 5sin

0 x

а)

1 x2

arcsin x,

(cost sint),

б)

x e

0 t

(cost sint),

а)

y ln(1 x2),

0 x

2)sint 2tcost,

б)

x (t

0 t .

(2 t

)cost 2tsint,

а)

y lncosx 5,

0 x

б)

x 6(cost tsint),

0 t

y 6(sint tcost),

7. а) y

(x 2)3

2 x 6.

(cost sint),

б)

0 t

(cost sint),

8.	а)	y 1 lnsin x,													x					.
8.	а)	y 1 lnsin x,										3			x					.
												3						2
	б)	x 2(2cost cos2t),																					0 t									.

																														3
		y 2(2sint sin 2t),																												3
9.	а)	y 1 ln(x2 1),													3 x 4.
								3		t,
	б)	x 6cos								t,					0 t								.
							3
																		3
										t,								3
		y 6sin								t,
10.	а)	y	1	(1 ex e x),													0 x 3.
10.	а)	y		(1 ex e x),													0 x 3.
			2
	б)	x 3(t sint),															0 t .
	б)																0 t .
		y 3(1 cost),
11.	а)	y 1 lncosx,												0 x							.
11.	а)	y 1 lncosx,												0 x							.
																		4
					2	2)sint 2tcost,
	б)	x (t				2)sint 2tcost,																				t 2 .
	б)								2																	t 2 .
									2		)cost 2tsint,
		y (2 t									)cost 2tsint,
																						,						1
12.	а)	y 2 arcsin														x x2															x 1.
													x
													x														4
																											4
			1								1
		x			cost							cos2t,																			2
		x	2		cost							cos2t,
	б)		2								4														t								.
			1								1
																						2								3
																						2								3
		y			sint							sin 2t,
		y	2		sint							sin 2t,
			2								4
13.	а)	y 1 lncosx,													0 x									.
13.	а)	y 1 lncosx,													0 x									.
																		3
	б)	x 2.5(t sint),																	t							3			.
																										3

		y 2.5(1 cost),															2								2

					8
14. а)	y		1 x2 arccosx,	0 x		.

				9
б)	x 6(cost tsint),			0 t
		6(sint tcost),
	y

15. а)

б)

16.а)

б)

17.а)

б)

18.а)

y lncosx 2,

0 x

x 10cos

0 t

y 10sin

y 1 lnsin x,

(cost sint),

x e

t .

(cost sint),

y e

y x

;

0 x 4.

x 4(2cost cos2t),

0 t .

y 4(2sint sin 2t),

(3 e2x e 2x),

0 x 2.

		2	2)sint 2tcost,
б)	x (t		2)sint 2tcost,					0 t					.
				2
											2
					)cost 2tsint,						2
	y (2 t				)cost 2tsint,
	y arccosx							0 x				9		.
19. а)						1 x2	1,					9
19. а)						1 x2	1,
											16
б)	x 8(cost tsint),						0	t		.

									4
	y 8(sint tcost),								4

				15
20. а)	y arcsin x 1 x2,		0 x	15	.
20. а)	y arcsin x 1 x2,		0 x		.
			16
б)	x 2.5(t sint),		t .

		2
	y 2.5(1 cost),	2

Задача № 9

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

1.	x2 y2 4,									x 4.
2.	y 4 x2,							y 0.
3.	y 4x x2,								y 3.
4.	x2 y2 4,									x 1.
5.	y	2			x	2	,	y 0.
					2

6.	y		x	2	,		y			3	2x.
			2						2

7.	y x2 1,							y 0,				x 3.
8.	y2 4 x,							y 0,				x 0.
9.	x2 y2 4,									y x 2,			x 0.
10.	y x2 1,							y 0,				x 1,	x 2.
11.	y xex,						y 0,				x 1.
												22

12.	y x2,				y 1,		x 2.
13.	y 4 x2,					y 2x 4.
14.	x2 y2				9,	y 3 x,					x 0.
15.	y 2x x2,					y x 2,					x 0.
16.	y 2 x2,					y 2 x.
17.	y 3 2x2,					y 1.
18.	y	1		,	y 0,		x 2,			x 4.

		x
19.	y	4	,		y 6 2x.

		x
20.	y2 4 x,					y		x	2.

							2

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2

Задача № 1

Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции y y(x).

Решение. Точки, в которых функция определена, а ее производная либо равна нулю, либо не существует, называют критическими точками.

Данная функция определена и непрерывна при всех x R . Найдем ее производную:

y 2	2		2		3
	2		2		3
						x 1 .
	3	x	3	x

Критические точки:

x 1 (в этой точке производная обращается в ноль); x 0 (в этой точке производная терпит разрыв).

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (-∞;-1), (-1;0) и (0;+∞), в каждом из которых производная функции сохраняет знак. Поэтому достаточно определить знак производной в произвольной точке каждого

интервала.	всех x ; 1 и		x 0; выполняется
Для	всех x ; 1 и		x 0; выполняется
неравенство	y 0.	Следовательно,	в	интервалах ; 1 и
0; функция возрастает. Для всех				x 1;0 выполняется
неравенство	y 0.	Следовательно,		в интервале 1;0

функция убывает.

Для наглядности поместим результаты вычислений в таблицу.

x	(-∞; -1)	-1	(-1; 0)	0	(0; +∞)

y	+	0	-	Не сущ.	+

y		1		0

Для отыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем исследуют каждую из них с целью выяснения, есть ли в этой точке минимум или максимум, или же экстремума в ней нет.

Таким образом, при переходе через точку x 1 в направлении возрастания переменной x производная меняет знак «плюс» на знак «минус». Следовательно, точка x 1 является точкой максимума и ymax y( 1) 1. При переходе

через точку x 0 производная меняет знак «минус» на знак «плюс». Следовательно, точка x 0 является точкой минимума и ymin y(0) 0.

Задача №2

Составить уравнение касательной и уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0

			y 84						70,						x0 16.
			y 84				x		70,						x0 16.
Решение.	Уравнение							касательной										к кривой			y f (x) в
точке M0(x0, y0)			имеет вид
				y y0 y0(x x0),
а уравнение нормали
			y y0								1			(x x0).
			y y0											(x x0).
												y0
При x0 16			получим y0									8 4					70 16 70 54.
При x0 16			получим y0									8 4				16	70 16 70 54.
																					3
																			1	x			2		.
Найдем	y заданной								кривой:									y 8	1			4	2
Найдем	y заданной								кривой:									y 8				4
																		4			4		x	3
																							x
					2					2			1
												.
Следовательно, y0						3				8		.
			4		16	3				8			4
					16
Уравнение касательной
y 54		1	(x 16)						или x 4y 200 0.
y 54			(x 16)						или x 4y 200 0.
	4

Уравнение	нормали:			y 54	1		(x 16),

				1 4
y 54 4(x 16) или	4x y 118 0.
		Задача №3
Найти наибольшее		и	наименьшее значения			функции
y x3 3x 3 на отрезке			3
		3;		.

			2

Решение. Если функция y y(x) непрерывна на отрезке

a;b , то на этом отрезке существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение. Причем, если функция имеет

на отрезке максимумы в точках							x1, x2, ,xk , то наибольшее
значение			функции y y(x)				на отрезке a;b		равно
наибольшему из чисел
				y(a), y(x1), y(x2), , y(xk), y(b).
	Аналогично, если функция имеет на отрезке минимумы в
точках					то	наименьшее		значение функции
точках		x1	, x2	, ,xm,	то	наименьшее		значение функции
y y(x) на отрезке a;b					равно наименьшему из чисел
								y(b).
				y(a), y(x1), y(x2), , y(xm),				y(b).
	Найдем максимумы и минимумы функции на								отрезке
	3
3;		. Вычислим производную функции:
3;	2	. Вычислим производную функции:
	2
					y 3x2		3.
Точки, подозрительные на экстремум, найдем из условия
				y 0,		т.е. 3x2 3 0.

Критические точки: x1 1, x2 1. Наличие экстремума в указанных точках определим с помощью достаточного условия экстремума. Найдем вторую производную функции:

	y 6x.
	6 0, а	y		0, то в точке x 1
Так как y ( 1)	6 0, а	y	(1) 6	0, то в точке x 1
имеется максимум,	а в точке		x 1 –	минимум. Вычислим

значения функции в точках экстремума и на концах заданного отрезка:

y( 1) 5,	y(1) 1,	y( 3) 15,	y(3/2)	15	.

			8

Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции

а наименьшее значение функции

Задача №4

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию

y(x 1)3 (x 1)2

и построить ее график.

Решение. Исследование функции будем проводить, придерживаясь следующей схемы:

1) Найдем область определения функции.

Так как функция представляет собой дробь, знаменатель дроби должен быть отличен от нуля.

x 1 0, x 1.

Таким образом, D(y) ( ;1) (1; ).

2) Проверим, является ли функция четной, нечетной, периодической.


y( x)	( x 1)3		( x 1)		3	y(x),
	( x 1)	2	(x 1)	2

y( x) y(x).

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической.

3) Найдем точки пересечения с осями координат. График функции пересекает оси координат в точках (0;1) и ( 1;0).

4) Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. I. Вертикальные асимптоты.

Поскольку функция разрывна в точке x 1 и

lim y(x) , x 1 0

то прямая x 1 – вертикальная асимптота графика.

II. Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых y kx b ,

где

y(x)

lim

;

lim

y(x) kx

y(x)

lim

;

lim

y(x) kx

Вычислим пределы:

y(x)

(x 1)3

lim

x x

x x(x 1)2

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2022410.54 Кб2Учебники 8060.pdf
#
01.05.2022412.32 Кб24Учебники 8061.pdf
#
01.05.2022413.37 Кб6Учебники 8062.pdf
#
01.05.2022413.48 Кб1Учебники 8063.pdf
#
01.05.2022413.49 Кб3Учебники 8064.pdf
#
01.05.2022415.82 Кб2Учебники 8065.pdf
#
01.05.2022416.79 Кб9Учебники 8066.pdf
#
01.05.2022417.19 Кб2Учебники 8067.pdf
#
01.05.2022421.51 Кб2Учебники 8068.pdf
#
01.05.2022421.7 Кб1Учебники 8069.pdf
#
01.05.2022268.45 Кб3Учебники 807.pdf