Примеры решения задач

1 . В однородном магнитном поле с индукцией В=(0,В,0) расположен тонкий проводник в виде полуокружности радиуса

, по которому течёт ток I в направлении, указанном на рисунке 3.1. Определить силу, действующую на проводник.

Решение

Все элементарные векторы направлены вдоль оси Oz. Поэтому векторное суммирование сводится к арифмети-ческому. Учитывая, что получим

.

2 . Найти модуль и направление силы, действующей на единицу длины тонкого проводника с током I=8,0А в точке О, если проводник изогнут, как показано:

а) на рис. 3.2а, и радиус закругления ;

б) на рис.3.2б, и расстояние между длинными параллельными друг другу участками проводника l=20см.

Решение

а) Магнитная индукция в точке O создается током I, текущим по полуокружности радиуса R, вследствие этого . Вектор индукции направлен за чертёж (рис. 3.2а). Сила Ампера, действующая на прямолинейный элемент контура , направлена вниз, так как (рис. 3.2а).

Определим силу, действующую на единицу длины проводника с током в точке О следующим образом

. Таким образом,

б) В данном случае индукция в точке О определяется по принципу суперпозиции ,

где - индукция магнитного поля, создаваемого проводни-ком с током 12 (рис. 3.2б), а - проводником (рис.3.2б).

,

где и .

Таким образом,

(рис. 3.2б).

Таким образом, .

Так как и направлены в одну сторону, за чертёж, то .

Направление силы Ампера, действующей на проводник 22’ определится из векторного произведения

(рис. 3.2б).

Силу, действующую на единицу длины проводника, определим тем же способом, что и в случае а).

,

где и

3 . Постоянный ток I=14A течет по длинному прямому проводнику, сече-ние которого имеет форму тонкого по-лукольца радиуса R=5см. Такой же ток течет в противоположном направлении по тонкому проводнику, расположено-му на «оси» первого проводника (точка О на рис. 3.3). Найти силу магнитного взаимодействия данных проводников на единицу их длины.

Решение

Прямолинейный проводник, по которому течет ток I₂, на-ходится в поле, созданном проводником с током I₁. Индукция магнитного поля проводника в виде полукольца в сечении рассчитана в задаче 8 главы 5 [4].

.

Вектор направлен вдоль оси х, так как из соображений симметрии .

Направление действия силы на проводник I₂ найдем из стандартной формулы .

Направление действия сил совпадает с осью у, так как векторы и взаимно перпендикулярны.

Найдем силу магнитного взаимодействия данных проводников на единицу их длины ,

=

4 . По двум длинным тонким параллельным проводникам, вид которых показан на рис. 3.4, текут постоянные токи I₁ и I₂ . Расстояние между проводниками а, ширина правого проводника

. Имея в виду, что оба проводника лежат в одной плоскости, найти силу магнитного взаимодействия между ними в расчете на единицу их длины.

Решение

Проводник, по которому течет ток I₂ (рис 3.4), находится в поле с индукцией В₁, созданном проводником с током I₁ .

где х – расстояние от линейного проводника.

Силу, действующую на ленточный проводник с током I₂, найдем по формуле .

В данном случае между проводниками действует сила притяжения, которая в расчете на единицу длины проводников равна

.

Ленточный проводник с током I₂ находится в изменяю-щемся магнитном поле, поэтому на элемент проводника dx действует переменная сила df

,

где – ток, текущий по ленте шириной dx.

,

.

5. Квадратная рамка с током I расположена в одной плоскости с длинным прямым провод-ником, по которому течет ток I₀. Стороны рамки а. Проходящая через середины проти-воположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в η раз больше стороны рамки. Найти амперову силу, действующую на рамку.

Решение

Рамка с током I находится в магнитном поле, созданном током I₀.

где r – расстояние от прямолинейного проводника.

Сила Ампера, действующая на каждую из сторон рамки определяется из (рис.3.5),

.

Результирующая сила равна

.

Силы и равны по величине и направлены в противоположные стороны.

Таким образом, результирующая сила действующая на рамку определится

(рис.3.5).

,

где ,

6 . Провод в виде тонкого полу-кольца радиусом R находится в однородном магнитном поле В. По проводу течет ток I. Найти силу действующую на провод, если плоскость полукольца пер-пендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Решение

Силу, действующую на элемент dl, найдем по закону Ампера ,

где (рис 3.6).

Силу, действующую на весь провод, найдем интегрированием

.

Из соображений симметрии: и

.

(рис.3.6),

где .

Так как вектор перпендикулярен вектору , то

,

где . Тогда ,

.

Сила направлена в направлении оси OY (рис 3.6).

7. По тонкому проводу в виде кольца радиусом R течет ток I. Перпендикулярно плоскости коль-ца возбуждено однородное маг-нитное поле с индукцией В. Найти силу Т растягивающую кольцо.

Решение

Силу, действующую на элемент dl, найдем по закону Ампера

.

Так как вектор перпендикулярен вектору , то

_,

где .

Таким образом, .

Условие равновесия элемента dl запишется в виде

.

В проекции на вертикальную ось

.

Учитывая, что (рис. 3.7),

, где .

Найдем Т из условия равновесия проводника

,

.

8. Тонкий жесткий проводник массой m, согнутый в виде полукольца радиусом R, расположен в вертикальной плоскости. В горизонтальной плоскости возбуждено однородное магнитное поле с индукцией В. В результате кратковременного прохождения тока через проводник, он подбрасывается на высоту h. Определить импульс тока прошедший в цепи.

Решение

Движение проводника происходит под действием силы Ампера, величина которой равна (см. решение задачи 6).

Используем уравнение движения тела в соответствии со вторым законом Ньютона

,

где v₀ – начальная скорость движения проводника.

.

, , .

9 . Система состоит из двух парал-лельных друг другу плоскостей с токами, которые создают между плоскостями однородное магнит-ное поле с индукцией В. Вне этой области магнитное поле отсут-ствует. Найти магнитную силу, действующую на единицу поверх-ности каждой плоскости.

Решение

Силу Ампера, действующую на элемент поверхности dS, найдем по формуле

,

где – ток, идущий через элемент поверхности шириной dx, i – линейная плотность тока, - вектор индукции магнитного поля, созданного плоскостью с током I₁ (рис.3.8).

Индукция магнитного поля плоскости с током

( см. задачу 4 главы 5) [4].

Так как индукция магнитного поля между плоскостями

, а , то . .

Сила, действующая на единицу поверхности

.

1 0. Проводящую плоскость с током поместили во внешнее однородное магнитное поле. В результате индукция маг-нитного поля с одной стороны плоскости оказалась В₁, а с другой В₂. Найти магнитную силу, действую-щую на единицу поверхности плоскости в случаях, пока-занных на рис. 3.9. Выяснить, куда направлен ток в плоскости в каждом случае.

Решение

Линии магнитной индукции В₁ гуще, чем В₂, следовательно В₁>В₂. В₁ и В₂ определяются по принципу суперпозиции

,

где В₀ – магнитная индукция внешнего поля.

В_I – магнитная индукция поля, образованного плоскостью с током.

Направление слева от плоскости совпадает с , а справа направлено в противоположную сторону. Таким образом, в обоих случаях а и б ток в плоскости направлен от нас (рис.3.9).

Различные направления вектора обусловлены тем, что в случае а) В₀>В_I, а в случае б) В₀<В_I.

Направление силы Ампера, действующей на плоскость найдем из векторного произведения

,

где , i – линейная плотность тока; dx – элемент проводника в направлении перпендикулярном току; dl – элемент проводника в направлении, по которому течет ток.

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то

.

Направление силы Ампера показано на рис.3.9.

Силу, действующую на единицу поверхности плоскости найдем из соотношения

.

Учитывая, что индукция магнитного поля плоскости

(см. задачу 9), найдем линейную плотность тока

.

Таким образом, .

Из соотношения для В₁ и В₂ найдем их сумму и разность

⇒ .

⇒ .

.

1 1. Квадратная рамка из тонкого провода массой m может без трения вращаться относительно вертикальной оси ОО₁, проходящей через ее центр перпендикулярно двум противоположным сторонам рамки (рис. 3.10). Рамка помещена в однородное магнитное поле с индукцией В, направленной перпендикулярно плоскости чертежа. По рамке идет ток I. Определить период малых колебаний рамки около положения ее устойчивого равновесия.

Решение

При отклонении рамки на малый угол α от положения равновесия возникает момент сил Ампера, стремящийся вернуть рамку в положение равновесия. В этом отношении момент сил аналогичен квазиупругой силе, поэтому момент сил выбран со знаком «-».

,

,

где - магнитный момент рамки, – ее сторона.

Применим к движению рамки основное уравнение динамики вращательного движения

,

где J – момент инерции рамки относительно оси ОО₁,

- угловое ускорение рамки.

Момент инерции рамки

.

Приравняв полученные моменты сил, получим

.

Для малых колебаний и .

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний рамки, где

,

и период ее колебаний .

Известно, что при перемещении плоского контура с током I в магнитном поле совершается работа

где ∆Φ – изменение магнитного потока через контур.

Если перемещается точечный магнитный диполь (плоский контур с током I достаточно малых геометрических размеров), вектор магнитного момента которого параллелен вектору индукции магнитного поля, то расчет работы в этом случае сводится к расчету индукции магнитного поля

1 2. Квадратная рамка со стороной а может поворачиваться вокруг горизонтальной оси

(рис.3.11). Рамка находится в однородном вертикально направленном магнитном поле с индукцией В. Определить равновесное положение рамки при пропускании по ней тока , если её масса равна m.

Решение

Условие равновесия рамки выразится условием , то есть момент сил Ампера равен моменту сил тяжести (рис. 3.11)

^{(см. задачу 11).}

где

- магнитный момент рамки.

Таким образом,

,

.

.

13. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент , находится на оси кругового витка радиусом R, по которому течёт ток I. Найти силу F, действующую на катушку, если её расстояние от центра витка равно z.

Решение

Искомая сила определяется по формуле ,

где -магнитная индукция поля, создаваемого витком в месте нахождения катушки. Выбираем ось в направлении вектора , тогда

,

где при заданном направлении тока в витке .

Для витка с током , а .

Вследствие того, что , проекция силы , т.е. вектор направлен в сторону витка с током I. В векторном виде полученный результат можно записать:

.

14. Найти силу взаимодействия двух катушек с магнитными моментами и , если их оси лежат на одной прямой и, расстояние между катушками значительно превышает их линейные размеры.

Решение

Искомая сила определяется по формуле ,

где - магнитная индукция поля, создаваемого катушкой с индукцией в месте нахождения второй катушки

.

Ось Оz выбрана в направлении векторов и (рис. 3.12а), тогда

,

.

Так как , а и , то .

.

П роекция

, то есть вектор направлен в отрицательном направлении оси Oz (рис. 3.12а). Если бы вектор был направлен в противоположную сторону (рис. 3.12б), то и , а следовательно и вектор был бы направлен в положительном направлении оси Oz, т.е. опять против вектора .