Учебное пособие 800669
.pdfсигнала y(t) и ошибки (t).
Рис. 3.22. Структурные схемы автоматического регулирования
уравнения для сравнивающих устройств в виде
Рассмотрим снача-
ла определение переда-
точных функций замк-
нутой системы по струк-
турной схеме рис. 3.22, а
при действии задающего g(t) и возмущающего f(t)
воздействия. Запишем
(s) G(s) Y(s);
(3.128)
Y2( s) Y1( s) F(s),
где
Y1(s ) W1(s ) ( s);
Y( s) W2 (s )Y2 (s ). .
Последнее уравнение системы (3.128) можно представить в виде
|
|
|
Y(s ) |
W ( s) (s ) F( s) |
(3.129) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
W2( s) |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Y( s) |
W (s)[G( s) Y(s)] F( s), |
(3.130) |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
W2 ( s) |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
W1( s )W2 ( s ) |
W2 ( s ) |
|
|||||||
Y( s) |
|
|
|
|
G( s) |
|
F( s). |
(3.131) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 W1( s)W2 ( s ) |
1 W1( s )W2 ( s ) |
|
В это выражение введем передаточную функцию всей разомкнутой системы, т.е.
W1( s )W2 ( s ) W( s ) |
(3.132) |
и представим (3.131) в виде
231
|
W( s) |
W2 |
(s ) |
(s )F(s ), (3.133) |
||
Y(s ) |
|
G(s) |
|
|
F( s) ( s)G( s) f |
|
|
|
|
||||
|
1 W( s) |
1 W( s) |
|
где Y(s) (s) – передаточная функция замкнутой системы по управляю-
G(s)
щему воздействию, Y(s) f (s ) - передаточная функция замкнутой систе-
F(s )
мы по возмущающему воздействию, т.е.
( s ) |
|
W( s ) |
, |
(3.134) |
|
|
|
||||
|
1 W( s) |
|
|||
и |
|
|
|
|
|
f ( s) |
|
W2 ( s) |
|
||
|
|
. |
(3.135) |
||
|
|||||
|
|
1 W( s ) |
|
С помощью полученных передаточных функций в теории автоматиче-
ского управления производится оценка показателей качества процессов регу-
лирования. Передаточные функции относительно ошибки получим, исклю-
чив из выражения (3.130) переменную Y(s), т.е.
|
|
G( s) (s ) |
W (s ) ( s) F( s), |
(3.136) |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
W2 (s ) |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( s ) |
1 |
|
G( s ) |
|
W2 ( s ) |
F( s ) |
|||
1 W1( s )W2 ( s) |
1 W1( s)W2 ( s ) |
||||||||
|
|
|
(3.137) |
||||||
( s )G( s ) f ( s )F( s) |
|
|
|
|
|||||
В выражении (3.137) обозначим |
(s) |
(s) - передаточная функция |
|||||||
G(s) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
замкнутой системы относительно ошибки по управляющему воздействию;
(s) f (s)- передаточная функция замкнутой системы относительно ошиб-
F(s)
ки по возмущающему воздействию.
Итак,
232
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
( s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.138) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 W1(s )W2 ( s) |
|
1 W( s) |
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
( s) |
W2 ( s ) |
|
W2 |
( s) |
|||||||
|
|
|
|
(3.139) |
||||||||
1 W1( s)W2 ( s) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 W(s ) |
передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки по возму-
щающему воздействию.
Из выражений (3.135) и (3.139) видно, что для системы, изображенной на рис. 3.22, а:
f ( s ) f ( s )
По передаточным функциям (3.138) и (3.139) в теории автоматического управления производится оценка точности систем.
Передаточные функции (s) и f(s) для системы регулирования, рас-
четная схема которой представлена на рис. 3.22, б можно найти аналогично,
имея в виду, что в данном случае
|
|
Y(s) Y1( s) F(s); |
|
|
|||||||
|
|
(s ) G(s) Y(s); |
|
(3.140) |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y1(s) W1(s )W2 ( s) (s ). |
|
||||||||
Исключив из выражений (3.140) переменные Y1(s) и E(s), найдем |
|||||||||||
|
W1 |
( s )W2 ( s ) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Y( s) |
|
|
G( s) |
|
|
|
|
F( s) |
,(3.141) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 W1( s)W2 ( s ) |
|
|
1 W1( s )W2 ( s ) |
|
||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( s ) |
|
W( s ) |
|
|
|
|
(3.142) |
||
|
|
1 W( s) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( s) |
1 |
|
|
. |
|
|
(3.143) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 W( s ) |
|
|
|
Если из выражений (3.140) исключить переменные Y1(s) и Y(s), полу-
чим аналогично (3.137)
233
(s ) |
G( s) |
|
|
|
|
F(s ) |
. |
(3.144) |
||||
1 W1( s)W2 (s ) |
1 W1(s )W2 ( s) |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( s) |
|
|
|
1 |
|
; |
|
(3.145) |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 W( s) |
|
|
|||||||
|
f |
( s ) |
|
|
1 |
|
. |
|
(3.146) |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 W( s ) |
|
|
Для схемы, представленной на рис. 3.22, в, можно записать:
( s ) G( s) Y2 ( s ); |
|
|||||
Y ( s ) W ( s ) ( s); |
|
|
||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Y2 |
|
|
|
|
|
(3.147) |
( s ) Y1( s) F( s); |
||||||
Y ( s ) W |
3 |
( s )Y( s); |
|
|
||
3 |
|
|
( s). |
|
|
|
Y( s) Y ( s )W |
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
Опуская промежуточные преобразования, аналогичные ранее рассмот-
ренным, и обозначая W(s)= W1(s)W2(s)W3(s), искомые передаточные функции запишем в виде:
( s ) W1( s )W2 ( s );
1 W( s )
f |
( s) |
W2 |
( s) |
|
|
|
. |
||
|
|
|||
|
|
1 W( s ) |
и
1
( s) ;
1 W( s)
f ( s ) W2 ( s )W3 (s ) .
1 W( s )
(3.148)
(3.149)
(3.150)
(3.151)
Перейдем к рассмотрению последней структурной схемы (рис. 3.22, г).
Для нее можно написать следующие выражения:
234
|
|
|
( s) G(s) Y3( s); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Y( s) Y1( s) F(s) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.152) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Y1( s) W1(s)W2 ( s) (s ); |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Y3 (s) W3 (s)Y( s). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Из (3.152) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Y( s) |
|
W1( s)W2( s ) |
|
G(s ) |
|
|
1 |
|
|
|
F( s) |
(3.153) |
||||||||
1 W1(s )W2(s )W3(s ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 W1( s)W2( s )W3( s) |
|
||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( s) |
|
|
|
|
1 |
|
G(s ) |
|
|
|
W3( s) |
|
|
F( s). |
(3.154) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 W1(s )W2(s )W3( s) |
|
|
1 W1( s)W2(s )W3(s ) |
|
|||||||||||||||
Из выражений (3.153) и (3.154) нетрудно найти: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
( s ) |
W1( s )W2 ( s ) |
; f ( s ) |
1 |
|
; |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 W( s ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 W( s ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.155) |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
W3 ( s ) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(s ) |
|
; |
|
f (s ) |
|
|
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 W(s ) |
|
|
|
|
1 W(s ) |
|
|
|
|
где W(s)= W1(s)W2(s)W3(s).
3.6. Построение частотных и логарифмических частотных характеристик линейных систем управления
В разделе 2.4.2 дано понятие частотных и логарифмических частотных характеристик непрерывных систем, указаны общие правила их построения и в разделе 3.1 приведены частотные характеристики типовых звеньев систем автоматического управления. Детализируем некоторые особенности по-
строения логарифмических частотных характеристик применительно к по-
следовательному соединению звеньев, имеющему большое значение в теории автоматического управления.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы представлена по-
следовательным соединением интегрирующих, m апериодических, l коле-
бательных и k дифференцирующих звеньев первого порядка в виде:
235
|
|
k |
|
|
W ( j ) |
|
K (1 j Ti |
) |
, (3.156) |
|
i 1 |
|
||
m |
l |
|
||
|
( j ) (1 j Tr ) [( q2 2 ) j2 q ] |
|||
|
r 1 |
q 1 |
|
|
1
где K – общий коэффициент усиления системы, – собственная час-
q Tq
тота колебательного звена.
Так как аргумент W(j ) равен алгебраической сумме аргументов мно-
жителей, фазовая характеристика разомкнутой системы
|
|
|
m |
|
|
|
||
( ) |
|
arctg( Tr ) |
|
|
||||
2 |
|
|
||||||
|
|
r 1 |
|
. |
(3.157) |
|||
l |
2 q |
k |
||||||
|
|
|||||||
arctg |
|
|
0 |
|
arctg( Ti ) |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||
q 1 |
q |
|
i 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Порядок построения асимптотических характеристик одноконтурной разомкнутой системы таков /10/.
Сначала строится логарифмическая амплитудная характеристика:
Вычисляют сопрягающие частоты и наносят их на оси частот.
Вычисляют ординату при частоте = 1, которая равна 20lgK.
Через эту ординату проводят низкочастотную часть характеристики
(при < 1), с наклоном -20 дБ/дек, где – порядок астатизма системы, до первой сопряженной частоты 1.
В точке 1 изменяют наклон характеристики в соответствии с тем ка-
кому звену эта сопрягающая принадлежит, затем также поступают при со-
прягающей частоте 2 и т. д. Например, при инерционном звене наклон из-
меняют на -20 дБ/дек, при колебательном звене – на -40 дБ/дек, при диффе-
ренцирующем звене (первого порядка) на +20 дБ/дек и т. д.
Пользуясь кривой поправок (рис. 3.12), уточняют форму логарифмиче-
ской амплитудной характеристики.
По формуле (3.156) определяются наиболее важные точки фазовой ха236
рактеристики системы.
Пример 3.1. Построим логарифмическую амплитудную (асимптотическую) частот-
ную характеристику системы с передаточной функцией
50(0,2s 1)
W( j )
s(0.5s 1)(0.08s 1)2(0.005s 1) .
Следуя порядку, указанному выше, вычисляем сопрягающие частоты, начиная с той, ко-
торая обратна наибольшей из постоянных времени
|
|
|
|
1 |
|
2; |
|
|
1 |
5; |
|||
|
1 0.5 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
12.5; |
||||||||
|
3 |
0.08 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
200. |
|||||||
|
4 |
0.005 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отмечаем сопрягающие частоты на оси |
||||||||||||
|
частот (рис. 3.23) и вычисляем ординату при |
||||||||||||
|
частоте = 1. Она равна |
||||||||||||
Рис. 3.23. Фазовая и логарифмическая |
20lg K 20lg50 34дБ . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
амплитудная (асимптотическая) |
Через эту ординату проводим прямую |
||||||||||||
частотные характеристики системы, |
с наклоном -20 дБ/дек, которая соответствует |
||||||||||||
содержащей интегрирующее, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дифференцирующее и |
интегрирующему звену нашей системы. |
||||||||||||
четыре инерционных звена |
При частоте 1 = 2 наклон логарифми- |
||||||||||||
|
ческой характеристики увеличивается еще на -20 дБ/дек, так как сопрягающая частота со-
ответствует инерционному звену |
1 |
. Далее характеристика, имея наклон -40 |
|
0.5s 1 |
|||
|
|
дБ/дек, продолжается до сопрягающей частоты 2=5, соответствующей дифференци-
рующему звену (0,2s+ 1).
Здесь наклон логарифмической характеристики изменяется на +20 дБ/дек и стано-
вится равным опять -20 дБ/дек. Проводим прямую до сопрягающей частоты 3 = 12,5, со-
ответствующей двум одинаковым инерционным звеньям |
1 |
и в этой точке увели- |
|
||
|
0.08s 1 |
чиваем наклон характеристики на 2 (-20) = -40 дБ/дек.
Далее логарифмическая характеристика продолжается с наклоном -60 дБ/дек до последней сопрягающей частоты 4 =200, которая соответствует инерционному звену
237
1
0.005s 1
. При 4 =200 наклон характеристики возрастает еще на -20 дБ/дек, становясь
равным -80 дБ/дек.
Таким образом, получаем всю логарифмическую амплитудную характеристику данной одноконтурной системы. Форму ее нетрудно уточнить, уменьшив ординаты ее при сопряженных частотах 1 = 2; 4 = 200 на 3 дБ при 3 = 12,5 на 6 дБ и увеличив ордина-
ту при сопрягающей частоте 2 = 5 на 3 дБ.
Практически это сводится к сглаживанию углов асимптотической характеристики,
в чем в конкретном случае нет большой необходимости.
Легко видеть, что логарифмическая амплитудная характеристика (рис. 3.23) могла быть также получена сложением асимптотических логарифмических характеристик от-
дельных звеньев системы: интегрирующего, четырех инерционных и одного дифференци-
рующего.
3.7. Критерии устойчивости линейных
систем автоматического управления
Наряду с изложенным в разделе 2.6 подходом к анализу устойчивости линейных автономных систем используется и другие способы, связанные с анализом корней характеристического уравнения системы, позволяющие су-
дить о ее устойчивости без решения дифференциальных уравнений.
Характеристическое уравнение n-го порядка запишем в виде:
a0 n a1 n 1 an 1 an 0 |
(3.158) |
Докажем вначале, что для устойчивой системы корни характеристиче-
ского уравнения (3.158) должны располагаться в левой полуплоскости ком-
плексной переменной .
Для доказательства воспользуемся результатами, изложенными в раз-
деле 2.3.2, приняв входное воздействие в виде -импульса. Выходной реак-
цией системы в этом случае будет импульсная переходная функция, или функция веса, которую, в соответствии с (2.144), можно представить в виде
238
n |
F ( |
k |
)e kt |
n |
B( |
k |
)e k ( t ) |
|||||
y(t ) g(t, ) (t ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.159) |
||
F ( |
|
) |
A ( |
|
) |
|||||||
k 1 |
k |
k 1 |
k |
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через k, j k соответственно действительную и мнимую
части корня k характеристического уравнения. Пусть 1 наибольшее из чи-
сел k (k=1,2,…, n). Тогда k- 1 0. Представим весовую функцию системы формулой /4/
(t ) e( 1 )( t ) (t ) |
(3.160) |
||
где согласно (3.159) |
|
||
n |
|
||
(t ) |
B( k ) |
e( k 1 j k ( t )) |
|
|
|
||
k 1 A ( k ) |
, |
а - произвольно малое положительное число. Так как показательные функ-
ции в (t- ) все по модулю меньше единицы, то
|
n |
|
B( ) |
|
||
(t ) |
|
|
c |
|||
|
k |
|
||||
A( ) |
||||||
|
k 1 |
|
|
|||
|
|
|
k |
|
|
где с – некоторая постоянная.
Если характеристическое уравнение имеет кратные корни, то весовая функция системы представляет собой линейную комбинацию произведений показательных функций на полиномы. Обозначая и в этом случае через 1
наибольшую из действительных частей корней характеристического уравне-
ния, выразим весовую функцию системы формулой (3.160). При этом функ-
ция (t- ) будет представлять собой сумму произведений полиномов на пока-
зательные функции с отрицательными действительными частями показате-
лей и, следовательно, будет непрерывной ограниченной функцией. Таким образом, весовая функция стационарной линейной системы, поведение кото-
рой описывается дифференциальным уравнением, всегда может быть выра-
жена формулой (3.160), где – произвольно малое положительное число, а
функция (t- ) непрерывна и ограничена.
На основании (3.160) имеем
239
t |
|
|
|
t t0 |
|
|
|
t t0 |
||||
|
|
(t ) |
|
d |
|
( ) |
|
d e( 1 ) |
|
( ) |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
t0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
Пользуясь теоремой о среднем и выполняя интегрирование, получим
|
t |
e |
( |
)(t t |
|
) |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
(t ) |
|
d |
|
( ) |
|
|
1 |
|
0 |
|
(3.161) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
cp |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При любом 1 |
< 0 положительную величину можно выбрать мень- |
шей, чем | 1|, чтобы выполнялось условие 1 + < 0. Тогда интеграл (3.161)
не будет превосходить величину |
|
|
|
c |
|
|
при любых значениях t0 и t. |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Для исследования случая 1 0 положим = 0. В этом случае функция
( ) стремится к постоянной при , если характеристическое уравнение не имеет ни одного кратного корня с действительной частью 1, и неограни-
ченно возрастает при , если характеристическое уравнение имеет крат-
ные корни с действительной частью 1. Следовательно, при = 0 величина
( ) в формуле (3.161) не может неограниченно убывать при t . Но в
cp
таком случае из формулы (3.161) при = 0 следует, что при любом 1 0 ин-
теграл от абсолютной величины весовой функции системы неограниченно возрастает при t .
Таким образом, мы доказали, что стационарная линейная система, по-
ведение которой описывается обыкновенным дифференциальным уравнени-
ем, устойчива тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части k 1<0 (k = 1, . . ., n). Иными словами, стационарная линейная система устойчива тогда и толь-
ко тогда, когда все полюсы ее передаточной функции лежат в левой полу-
плоскости комплексной переменной .
Докажем также /4/, что для того, чтобы полином (3.158) имел только корни с отрицательными действительными частями, необходимо, чтобы все
240