Учебное пособие 800669
.pdf
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
... |
0 |
, |
|
|
|
|
|
(2.133) |
|||||
|
|
|
|
|
A |
0 |
2 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
B |
|
1 1 |
... 1 |
|
T ,C |
|
c |
0 |
... |
0 |
|
,D |
|
c |
c |
2 |
... c |
|
(2.134) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
Сходным образом можно построить описание в пространстве, состоя-
ний и для случая кратных корней. Конечно, подобные описания базируются на знании корней характеристического уравнения (полюсов передаточной функции), что на практике является существенным ограничением (недостат-
ком). Естественно, что, вводя те или иные пространства состояний, одной и той же передаточной функции можно сопоставить неограниченное число описаний в этих пространствах состоянии (но, желательно единственное описание в каждом заданном пространстве).
2.3.Временные характеристики непрерывных систем
впространствах сигналов и состояний
2.3.1.Основные понятия и определения
Вобщем случае временная характеристика непрерывной системы ав-
томатического управления представляет собой зависимость (отклик) измене-
ния выходной переменной от входной переменной во времени. Наиболее часто определяются отклики на типовые входные воздействия, часть из кото-
рых получили специальные наименования. Так, переходной характеристи-
кой (функцией) h(t) элемента или системы называют отклик (реакцию) на вы-
ходе звена, вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздей-
ствия (рис.1.13, а).
Наряду с переходной характеристикой применяется импульсная пере-
ходная (временная) характеристика или функция (t), называемая еще весо-
вой функцией (функцией веса). Эта характеристика представляет собой реак-
цию звена на единичный импульс ((1.27), рис. 1.14).
121
Дельта-функция связана с единичной ступенчатой функцией зависимо-
стью (1.30), откуда следует аналогичная связь между переходной и весовой
t
функциями линейных звеньев: (t)= h(t) и наоборот h(t ) (t )dt.
0
2.3.2. Определение временных характеристик непрерывных систем в пространстве сигналов
Зная переходную или весовую функцию, можно определить реакцию звена на произвольное входное воздействие /6/ при нулевых начальных усло-
виях с помощью следующих формул:
t |
|
|
y(t ) h(t )x(0 ) h(t )x( |
)d , |
(2.135) |
0 |
|
|
t |
|
|
y(t ) h(0)x(t ) (t )x( )d , |
(2.136) |
|
0 |
|
|
где h(0) – значение y(t) при t = 0. |
|
|
Выражение (2.136) можно представить еще в таком виде: |
|
|
t |
|
|
y(t ) h(0 )x(t ) ( )x(t )d . |
(2.137) |
|
0 |
|
|
Выражения (2.136) и (2.137) будет часто использоваться в дальнейшем.
Поэтому остановимся более подробно на его геометрической интерпретации,
воспользовавшись представлением -функции импульсом (рис. 1.14).
Разобьем ось времени на равные интервалы длительности и обозна-
чим середину k-го интервала через k (k= 0, ± 1, ± 2, . . .). Значение произ-
вольной функции x(t) в точке k, равно х( k) /4/.
Построим прямоугольный импульс длительности , имеющий высоту
х( k), действующий в промежутке времени k , k Очевидно, что еди-
2 2
ничный прямоугольный импульс, действующий в этом промежутке времени,
выражается функцией (t- k).
122
Высота этого импульса равна 1 . Чтобы получить импульс высоты
|
|
|
|
|
|
||
х( k), необходимо функцию (t- k) разделить на |
1 |
и умножить на х( k). |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, один прямоугольный импульс, имеющий ту же ордина- |
|||||||
ту х( k), |
что и данная функция х(t) в точке t = k, действующий в интервале |
||||||
|
|
|
|
||||
времени |
( k |
|
, k |
|
), математически выражается функцией х( k) (t- |
||
2 |
2 |
k) . Сумма таких импульсов, соответствующих интервалам, на которые мы разбили ось t, представляет ступенчатую функцию x (t), имеющую в каждом интервале постоянное значение, равное значению функции х(t) в середине этого интервала (рис. 2.16) /4/:
|
|
|
x (t ) x( k ) (t k |
) . |
(2.138) |
k
При малой длине интервалов эта функция может быть принята при-
ближенно совпадающей с данной функцией х(t). Чем меньше , тем точнее будет совпадение. В пределе при 0 ступенчатая функция x (t) стремится к
х(t). При этом функция (t- ) стремится к -функции (t- ), а сумма стремит-
ся к соответствующему интегралу. В результате переход к пределу при 0
в (2.138) дает формулу
x(t) x( ) (t )d |
( t ). |
(2.139) |
|
|
|
Формула (2.138) при любом дает разложение соответствующей ступенчатой функции x (t) на прямо-
угольные импульсы длительности .
Следовательно, формула (2.136), яв-
Рис. 2.16. Представление непрерывной ляющаяся пределом формулы (2.138) функции через x (t)
123
при 0, дает разложение функции х(t) на мгновенные импульсы.
Выражения (2.136) и (2.137) легко получаются друг из друга, являясь вариантами интеграла Дюамеля или интеграла свертки. Заметим, что первое слагаемое в выражениях (2.136) и (2.137) у реальных инерционных звеньев равно нулю, т. к. реакция на их выходе всегда отстает от входного воздейст-
вия, поэтому в дальнейшем эти выражения используются при h(0)=0, свойст-
во равенства нулю весовой функции при >t будем называть условием физи-
ческой реализуемости системы /4/.
Переходные характеристики могут быть выражены непосредственно через передаточную функцию (2.30) с помощью (2.32). В соответствии с
(2.30)
Y(s) W(s)X(s), |
(2.140) |
что на основании (2.32) позволяет записать
|
1 |
c j |
|
|
y(t ) |
W(s)X(s )estds. |
(2.141) |
||
|
||||
|
2 j c j |
|
Из (2.141) следует, что выходная реакция звена или системы может быть определена при любом входном воздействии, изображение X(s) которо-
го известно.
Im |
|
За путь интегрирования в (2.141) может быть |
||
|
принята любая бесконечная прямая, параллельная |
|||
|
|
|
||
|
|
Re |
мнимой оси, расположенная на расстоянии с>с0 от |
|
|
|
|
последней (см. рис. 2.17), так чтобы все особые |
|
|
с |
|
||
|
|
точки функции F(s) W(s)X(s) оставались левее |
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
пути интегрирования. Интеграл в (2.141) принима- |
|
Рис. 2.17. Комплексная |
||||
ется в смысле главного значения, т.е. как предел |
||||
плоскость |
интеграла вдоль отрезка (c-j , c+j ) при .
При практическом применении обратного преобразования Лапласа путь интегрирования вдоль прямой, параллельной оси мнимых величин, за-
124
меняется замкнутым контуром, что дает возможность применить теорему о вычетах, согласно которой оригиналом F(s) служит функция
f (t ) ResF(s)est (t 0), |
(2.142) |
k |
|
где сумма вычетов берется по всем особым точкам k функции F(s).
Формула (2.142) обусловливает нижеследующую теорему разложения применительно к мероморфной функции F(s), т.е. когда особенности инте-
гральной функции в конечной области – только полюсы.
Представим изображение F(s) в виде правильной дроби F1(s)/F2(s),
причем числитель и знаменатель не имеет общих корней. Положение полю-
сов функции F(s) определяются корнями уравнения F2 (s) 0.
Обозначим n корней этого уравнения через 1, 2,…, n. Если все корни
простые, то вычет функции (s)/ (s) по полюсу первого порядка s= k равен:
|
|
(s ) |
|
|
(s ) |
|
|
( |
k |
) |
|
|
|
||
Res |
|
|
|
(s k ) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.143) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
k |
(s ) |
|
(s ) s k |
|
( k ) |
|
|
||||||||
Если функция комплексного переменного s |
|
имеет вид |
F1 ( s ) |
est (см. |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 ( s ) |
(2.141)), то на основании (2.142) и (2.143) при простых (первого порядка) по-
люсах /7/
n |
F ( |
k |
)e kt |
n |
F ( |
k |
)e kt |
|
||
y(t ) L 1 [F(s)] |
1 |
|
|
1 |
|
. |
(2.144) |
|||
F (s) |
|
|
|
|||||||
k 1 |
k 1 |
F2( k ) |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
s k s k |
|
|
|
|
|
|
В результате получена общая форма теоремы разложения для случая простых корней. Выражение в квадратных скобках в знаменателе (2.144)
сначала надо сократить на множитель (s- k), после чего произвести подста-
новку s= k. В (2.143) и (2.144) штрихом обозначена производная по ком-
плексной переменной s.
В случае комплексных корней получаются два сопряженных слагае125
мых, сумма которых равна удвоенному значению действительной части.
Если корень k повторяется m раз, то из теории комплексного перемен-
ного известно, что для функции F1 ( s )est , имеющей в точке k полюс поряд-
F2 ( s )
ка m, вычет функции в этой точке равен:
|
F ( s ) |
1 |
dm 1 F ( s ) |
|
|
|||||||
Res |
1 |
|
est |
|
|
|
|
|
1 |
|
(s k )m est |
. |
F2 |
|
(m 1)! |
|
m 1 |
F2 |
( s ) |
||||||
k |
( s ) |
ds |
|
|
|
s k |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как и в предыдущем случае, все операции производятся после сокра-
щения на множитель (s- k)m.
Обозначим R( s ) |
F1 ( s ) |
( s k )m |
и продифференцируем R( s )est по s |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 ( s ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(m-1) раз /28/: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d |
|
|
R(s )est |
est [tR(s ) R (s )]; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d2 |
|
R(s )est est [t2R(s ) 2tR (s ) R (s )]; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ds2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
.............................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
d |
m 1 |
|
|
m 1 |
R(s ) (m 1)t |
m 2 |
|
(m 1)(m 2) |
t |
m 3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
R(s )est est t |
|
R (s ) |
2! |
|
R ( s) |
. |
|||||||
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Rm 1(s ) |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
tm 1R( s ) |
|
(m 1)tm 2 R ( s) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
F ( s) |
|
|
(m 1)! |
|
(m 2 )! |
|
|||||||||||
Res |
1 |
|
|
est e k t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k |
F2 ( s) |
|
|
|
t |
m 3 |
R ( s ) |
|
R |
m 1 |
( s ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(m 3)!2! |
(m 1)! |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
m |
m i |
R |
( i 1) |
( k |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e k t |
t |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i 1 (m i )!(i 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.145)
s k
В (2.145) предполагается, что 0!=1. Если уравнение содержит несколь-
ко кратных корней, то формула (2.145) применяется поочередно для каждого корня, после чего полученные результаты суммируются.
Если имеются одновременно простые и кратные корни, то формулы
126
(2.144) и (2.145) применяются раздельно соответственно для простых и крат-
ных корней; затем производится суммирование.
Итак, если оператор преобразования входного воздействия объекта или системы управления x(t) в выходную переменную y(t) представлен в форме передаточной функции (2.30), кратные корни отсутствуют и
L{ x(t )} Bx ( s ) X( s ), то в общем случае переменная выхода с учетом
Ax ( s )
ранее принятых обозначений и (2.144) запишется в виде /7/
n B( |
i |
)B |
x |
( |
i |
) |
|
|
t |
nx |
B( |
k |
)B |
x |
( |
k |
) |
|
|
t |
n |
A ( |
i |
) |
|
|
t |
|
|
y(t ) |
|
|
|
|
e |
i |
|
|
|
|
|
|
e |
k |
|
|
0 |
|
e |
i |
|
|
|||||||
|
|
)Ax( i ) |
|
|
A( k |
|
|
( k |
) |
|
|
|
|
) |
|
, |
(2.146) |
||||||||||||
i 1 |
A ( i |
|
|
|
k 1 |
)Ax |
|
|
|
i 1 |
A ( i |
|
|
где A0(s) – полином, определяемый начальными условиями; i, i=1,...,n – по-
люсы передаточной функции W(s); k, k=1,...,nx – полюсы изображения воз-
действия X(s). Принято, что k, i, т. е. полюсы воздействия не равны полю-
сам передаточной функции (нет обобщенного резонанса).
В выражении (2.146) реакция выхода содержит: переходную состав-
ляющую вынужденного движения yпер(t) (первая группа слагаемых); устано-
вившуюся составляющую вынужденного движения yуст(t) (вторая группа слагаемых); составляющую свободного движения yс(t) (третья группа слагае-
мых).
y(t ) yпер(t ) yуст(t ) yc(t ). |
(2.147) |
Установившееся вынужденное движение yуст(t) обусловлено полюсами изображения воздействия sk; переходная составляющая вынужденного дви-
жения yпер(t) образуется из-за ненулевых посленачальных условий (измене-
ние начальных условий приложением в момент времени t = 0 конкретного воздействия) и определяется полюсами передаточной функции; свободные движения yс(t) имеют место при ненулевых начальных условиях и также оп-
ределяются полюсами передаточной функции.
Если анализируется автономная система автоматического управления,
представленная при нулевых начальных условиях в форме однородного
127
дифференциального уравнения A(s)y(t)=0, его решение имеет вид
n |
A0 ( i |
) |
|
|
|
y(t ) |
e it . |
(2.148) |
|||
A ( i |
) |
||||
i 1 |
|
|
В ряде случаев определение изображения X(s) при известном оригина-
ле x(t) представляет некоторые трудности. В этом случае определение вы-
ходных реакций возможно непосредственным решением дифференциального уравнения (2.22) с начальными условиями
x(t |
0 |
) x |
,x (t |
) x x |
,....,x(n 1)(t |
0 |
) x(n 1) x |
(2.149) |
||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
n 1 |
|
(задача Коши).
Поскольку для линейных систем справедлив принцип суперпозиции,
т.е. эффект, вызываемый суммой нескольких воздействий, равен сумме эф-
фектов каждого из воздействий в отдельности, то выходной сигнал линейной системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного движе-
ний /9/:
y(t ) yc (t ) yвын (t ). |
(2.150) |
Свободное движение yс(t) происходит при отсутствии внешнего воз-
действия вследствие ненулевых начальных условий. Оно является решением однородного дифференциального уравнения, соответствующего исходному уравнению системы при x(t)=0 с начальными условиями (2.149). В случае,
когда начальные условия нулевые, свободное движение в системе отсутству-
ет yc(t)=0. В рассматриваемом случае отсутствия взаимодействия системы со средой говорят, что система автономна.
Вынужденное движение yвын(t) происходит вследствие внешнего воз-
действия x(t) при нулевых начальных условиях, т.е. происходит взаимодей-
ствие со средой и система неавтономна. Вынужденное движение является решением неоднородного уравнения (2.22) при нулевых начальных условиях.
Вынужденное движение yвын(t) отлично от нуля только после приложения внешнего воздействия. При необходимости подчеркнуть эту причинно-
следственную связь, вынужденное движение системы при внешнем воздей128
ствии, отличном от нуля. будем обозначать yвын(t)1[t-tо] где 1[t-tо] единичная ступенчатая функция при t>tо.
Общее решение однородного (x(t)=0) уравнения (2.22) находится по формуле
yc(t ) с1 1(t ) сn n(t ), |
(2.151) |
где с1,…, сn – произвольные постоянные; 1,…, n – фундаментальная систе-
ма решений уравнения (2.22).
Если система (2.22) стационарная, т.е. описывается уравнением с по-
стоянными коэффициентами, то определяются корни 1,…, n характеристи-
ческого уравнения (2.129). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если корни действительные разные, то (2.151) имеет вид |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
y (t ) с |
e 1t c |
|
e 2t c |
e nt . |
|
(2.152) |
|||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Если среди корней есть кратный действительный корень i кратности k, |
|||||||||||||||||||||||
то ему соответствует следующая составляющая общего решения: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
yсi (t ) (с1 |
c2t сktk 1 )e it , |
|
(2.153) |
||||||||||||||||||
где c1,...,сk - произвольные постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Паре комплексных сопряженных корней i ±j i соответствует решение |
|||||||||||||||||||||||
|
|
y |
(t ) (с |
1 |
cos |
t c |
2 |
sin |
t )e it |
, |
|
(2.154) |
|||||||||||
|
|
сi |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||
а паре комплексных сопряженных корней кратности k – |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
c2t ckt |
k 1 |
)cos it |
|
|
|||||||||||||||
y |
|
(t ) |
|
|
|
(2.155) |
|||||||||||||||||
сi |
(с1 |
|
|
|
e it , |
||||||||||||||||||
|
|
(d |
1 |
d |
2 |
t d |
k |
tk 1 )sin |
i |
t |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где c1,..., сn; d1,..., dn – произвольные постоянные.
Частное решение неоднородного уравнения (2.22) находится методом вариации произвольных постоянных или методом подбора /33/.
В заключение обзора методов определения временных характеристик непрерывных систем рассмотрим формулу (2.146) для реакции системы на воздействие x(t) при нулевых начальных условиях. Если имеет место условие
B( i)=0, где i – корень характеристического полинома, т. е. A( i) = 0, то в
129
(2.152) коэффициент ci при экспоненте ехр( it) равняется нулю при любом воздействии. По реакциям такой системы нельзя полностью выявить ее соб-
ственные свойства – в реакциях будет отсутствовать составляющая (мода),
соответствующая корню i.
Говорят, что по рассматриваемой паре вход-выход система оказывается неполной. Временные характеристики – реакции на типовые воздействия при нулевых начальных условиях не отражают полностью собственных свойств системы по неполной паре вход-выход.
Операторные полиномы А и В дифференциального уравнения (2.140)
неполной системы имеют нетривиальный общий делитель (s- i), а переда-
точная функция (2.30) имеет диполь si= i. Если полиномы А и В не являются взаимно простыми, то передаточную функцию называют вырожденной.
Годографы вырожденных передаточных функций W(s); s С, построен-
ные при изменении аргумента s вдоль некоторого контура С на комплексной плоскости, в частности вдоль мнимой оси s = j , т. е. частотные характери-
стики также отражают только полную часть системы.
Потеря части собственных свойств систем особенно существенна, если
i – правый (положительный) корень. Сокращение вырожденной передаточ-
ной функции не рекомендуется. В случае правого полюса сокращение просто недопустимо. При ненулевых начальных условиях, например, вызванных воздействиями, приложенными к другим входам системы, появляются сво-
бодные движения. Если эти начальные условия таковы, что A0( i) 0, то, как следует из (2.148), свободные движения содержат моду ехр( i t).
Если даны полиномы знаменателя A(s) и числителя B(s) передаточной функции объекта или системы управления по выбранной паре вход-выход,
наличие общих делителей или диполей можно выявить несколькими спосо-
бами. Во-первых, можно непосредственно сопоставить корни полиномов А и В. Это наилучший способ, здесь выявляются и приближенные диполи пере-
130