Учебное пособие 800669
.pdfдаточных функций. Во-вторых, выявить наибольший общий делитель поли-
номов делением их по алгоритму Евклида. В-третьих, можно исследовать ре-
зультант полиномов – специальный определитель порядка m + n, построен-
ный из коэффициентов полиномов А и В. Полиномы имеют по меньшей мере один общий корень, если их результант равен нулю.
2.3.3. Определение временных характеристик непрерывных систем в
пространстве состояний
Поскольку модели пространства состояний описываются системой дифференциальных уравнений первого порядка, их относительно легко ре-
шить.
Ключом к нахождению решения уравнений состояния является экспо-
ненциальная матрица, определенная как /2, 9/
|
1 |
|
|
|
eAt I |
Aiti . |
(2.156) |
||
|
||||
i 1 |
i! |
|
Точное решение линейного уравнения состояния (вход-состояние) то-
гда выглядит так:
|
t |
|
x(t ) eA( t t0 )x0 |
eA(t )Bu( )d . |
(2.157) |
|
t0 |
|
Это утверждение может быть проверено прямой подстановкой (2.157) в
первое уравнение системы (2.102). Чтобы выполнить необходимое диффе-
ренцирование, заметим, что
|
|
|
|
|
deAt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AeAt eAt A, |
|
|
|
(2.158) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
а также напомним правило Лейбница: |
|
|
|
|
||||||
|
d |
g(t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H(t, )d |
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
|
|||||
|
f ( t ) |
|
|
|
|
|
. |
(2.159) |
||
|
|
|
|
|
|
|
g(t ) |
|||
|
|
|
|
t ) H(t, f (t ))f (t ) |
|
|
|
|||
H(t,g(t ))g( |
|
H(t, )d |
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f ( t ) |
t |
|
|
|
|
|
|
131 |
|
|
|
|
Использование (2.159) и (2.158) в (2.157) дает
x( |
t ) AeA( t t0 ) x |
|
0 |
Ax(t ) Bu(t )
t
Bu(t ) A eA( t )Bu( )d
(2.160)
t0
как и утверждалось.
Заметим, что если u(t)=0 t t0, то матрица еA(t-to) определяет переход от x( ) к x(t) t . Этот вывод объясняет название «матрица переходов», ко-
торое обычно дается матрице еAt. Выход модели у(t) (состояние-выход) полу-
ченный из второго уравнения (2.102)и (2.157), будет
t |
|
y(t ) CeA(t t0 )x0 C eA(t )Bu( )d Du(t ). |
(2.161) |
t0 |
|
Заметим, что решения для состояния (2.157) и для выхода (2.161) со-
стоят из двух членов каждое, а именно, реакции на начальные условия x0 и
принудительной реакции, которая зависит от входа u(t) в интервале [t0, t].
132
2.3.4. Временные характеристики дискретных и импульсных систем
управления
При анализе дискретных систем определение временных характеристик возможно непосредственным решением, которое получается с помощью ите-
рации первого уравнения (2.103) /2/, т.е:
n 1 |
|
x[n] An x(0 ) Ak B u[n k 1] . |
(2.162) |
k 0 |
|
Откуда |
|
n 1 |
|
y[n] Cn x(0 ) C Ak B u[n k 1] . |
(2.163) |
k 0 |
|
Вместе с тем, в теории автоматического управления важным является не установления вида реакции на какое-то входное воздействие, а их анали-
тическая связь. Для установления такой связи рассмотрим общий подход к решению разностных уравнений. Пусть имеется /33/ k решений однородного
(x[n]=0) разностного уравнения (2.63) при n=t, которые определяются на-
чальными условиями
y1 [t0 ] y10 , y1 [t0 1] y11 , , y1 [t0 |
k 1] y1( k 1 ) |
|
y2 [t0 ] y20 , y2 [t 0 1] y21 , , y2 [t0 |
k 1] y2( k 1 ) |
|
, (2.164) |
||
|
|
y [t ] y , y [t 1] y , , y [t k 1] y
k 0 k0 k 0 k1 k 0 k( k 1 )
и обозначим
|
y1 |
[t], y1 [t 1], , y1 [t k 1] |
|
|
V(t ) |
y2 |
[t ], y2 [t 1], , y2 [t k 1] |
. |
(2.165) |
|
|
|
|
|
|
yk [t ], yk [t 1], , yk [t k 1] |
|
|
Этот определитель в теории разностных уравнений играет ту же роль,
что определитель Вронского в теории обыкновенных дифференциальных уравнений /28/.
Совокупность решений y1(t), y2(t),….,yk(t) однородного разностного
уравнения, удовлетворяющих начальным условиям (2.164), называется фун-
даментальной системой решений, если отличен от нуля определитель
|
y10 |
y11 y1( k 1 ) |
|
V(t ) |
y20 |
y21 y2( k 1 ) |
|
|
|||
|
|||
|
yk0 yk1 yk( k 1 ) |
Если, в свою очередь, y1(t), y2(t),….,yk(t) – фундаментальная система решений однородного разностного уравнения в форме (2.63), то любое реше-
ние y(t) этого уравнения может быть представлено в виде
y[t ] С1 y1 [t ] C2 y2 [t ] Ck yk [t ] , |
(2.166) |
где С1, С2,.... Сk, – постоянные числа.
Если фундаментальная система решений является нормальной, т.е. если
y1(t), y2(t),….,yk(t) удовлетворяют начальным условиям
y1 [t0 ] 1, y1 [t0 1] 0, , y1 [t0 k 1] 0
y2 [t0 ] 0, y2 [t0 1] 1, , y2 [t0 k 1] 0 |
|
|
|
|
yk [t0 ] 0, yk [t0 1] 0, , yk [t0 k 1] 1
то любое решение y(t) разностного уравнения с начальной точкой t0 может быть представлено в виде
y[t ] y[t0 ] y1 [t ] y[t0 1] y2 [t ] y[t0 k 1] yk [t ]
Если x[n] 0, то решение неоднородного разностного уравнения ищет-
ся в форме
y[t ] С1 y1 [t ] C2 y2 [t ] Ck yk [t ] Y [t ], |
(2.167) |
где С1, С2,.... Сk, – постоянные числа, а Y[t] – какое-нибудь частное решение уравнения (2.64).
Если известна фундаментальная система решений однородного разно-
стного уравнения, то частное решение уравнения (2.64) может быть найдено методом вариации постоянных /28/.
134
В случае линейных разностных уравнений с постоянными коэффици-
ентами решение может быть найдено в виде y=zt, где z – число, подлежащее определению. После подстановки в уравнение (2.64) и сокращения на bkzt,
получаем характеристическое уравнение
zk p |
zk 1 p |
0. |
(2.168) |
1 |
k |
|
|
Предположим, что уравнение (2.168) имеет действительные корни z1, z2,…,zk. Тогда мы получим k линейно независимых решений уравнения (2.64)
y1 z1t , y2 z2t , , yk zkt
Следовательно, общее решение однородного уравнения (2.64) может быть записано в виде
y[t] С1z1t C2z2t Ckzkt . |
(2.169) |
Если x[n] 0, то, применяя к неоднородному уравнению |
|
ak y[t k ] ak 1 y[t k 1] a0 y[t ] x[t ] |
(2.170) |
преобразование Лорана (z-преобразование) и используя теорему опережения для преобразования Лорана, получаем
|
|
(a0 z |
k 1 |
a1z |
k 2 |
ak 1 ) |
|
|
|
|
|||||||
|
z y0 |
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||
|
y |
(a |
0 |
zk 2 a |
k 2 |
) y |
k 1 |
0 |
|
|
|||||||
Y(z ) X(z ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.171) |
|||||
|
|
(a0 zk a1zk 1 ak ) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения оригинала (временной характеристики) может быть использована теорема разложения для преобразования Лорана /33/
y[t] Вычz |
|
t 1 |
, |
(2.172) |
Y(z)z |
|
|||
m k |
|
|
|
|
где сумма распространена на все особые точки функции Y(z).
Пример 2.5. Решить уравнение
y[t 2] 5y[t 1] 6y[t] 1
с начальными условиями y[0]=0, y[1]=0.
По формуле (2.171) получаем
135
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
||
Y(z ) |
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
z2 5z 6 |
|
(z 1)(z 2)(z 3) |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
Используя формулу (2.172), находим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
z |
t |
|
|
1 |
1 3t 2t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y[t ] Выч |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( z 1)(z |
|
2 |
|||||||||||
m |
zk |
2 )(z 3) |
|
|
Рассмотрим далее многомерную ста-
ционарную импульсную систему, структур-
ная схема которой изображена на рис. 2.18.
Непрерывная часть этой системы имеет r
входов x1, x2,…, xr и столько же выходов y1,
Рис. 2.18. Многомерная импульсная y2,…, yr.
система |
Как известно, систему дифференци- |
|
альных уравнений, описывающих многомерную систему, всегда можно при-
вести к нормальному виду (2.102), в которой, например, аналогично (2.128), в
данном случае, u(t)=x(t), т.е.
dy(t ) |
y(t ) x(t ). |
(2.173) |
|
||
dt |
|
Рассматриваемая импульсная система имеет r импульсных элементов
/28/. Ради простоты будем предполагать, что все элементы работают син-
хронно и синфазно. Тогда их уравнения имеют вид, аналогичный (2.66), т.е.
|
|
|
|
|
|
xi [t ] u[n] ( |
|
n), |
i 1, ,r . |
(2.174) |
|
t |
|||||
n |
0 |
|
|
|
|
Если ввести вектор-столбец u[n] и диагональную матрицу S(t ) S[t]
|
u1 [n] |
|
|
|
|
|
s1 [t ] |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
[n] |
|
|
|
|
|
|
0 |
s2 [t ] |
0 |
0 |
|
, |
(2.175) |
||
u[n] |
, |
S(t ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
[n] |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
ur |
|
|
|
|
|
|
sr [t ] |
|
|
то систему уравнений (2.174) можно записать в виде одного векторного уравнения
136
|
|
|
|
|
x[t ] u[n]S( |
|
n). |
(2.176) |
|
t |
||||
n |
0 |
|
|
|
Пусть Y(t) – фундаментальная матрица решений однородной системы дифференциальных уравнений
dy |
y, |
(2.177) |
|
||
dt |
|
удовлетворяющая условию Y(0)=Е. Решение неоднородной системы уравне-
ний (2.173) имеет следующий вид:
[t ]
y[t] Y[t] y(0 ) Y(t )By( )d , |
(2.178) |
0 |
|
где y(0) – вектор начальных условий. Подставляя в (2.178) при нулевых на-
чальных условиях значение x[t] из (2.176), найдем
[t ] [t ]
y[t] Y(t )B S( n)u[n]d Y(t )BS( n)d u[n] .(2.179)
0 n 0 n 0 0
Рассмотрим выражение, стоящее под знаком интеграла. Вводя новые переменные t n , n , получим
[ t ]
Y(t )BS( n )d |
Y( )BS( )d . |
(2.180) |
0 |
n |
|
Матрица S( ) обращается в нулевую матрицу при 0, поэтому ин-
теграл можно записать следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при 0, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.181) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
K( ) Y( )BS( )d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Y( |
|
|
|
)BS( |
|
)d |
|
при |
|
0. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая обозначение (2.181), запишем уравнение импульсной много-
мерной системы при нулевых начальных условиях в виде
|
|
y[t ] K(t m )u[m] . |
(2.182) |
m 0
Для смещенной решетчатой функции, полагая [t]=n+ и учитывая пер-
вое из равенств (2.181), можно окончательно записать
137
|
|
y[n, ] K(n m, )u[m] . |
(2.183) |
m 0
2.4.Частотные характеристики линейных систем управления
2.4.1.Представление возмущений произвольной формы в виде гармонических колебаний. Ряд, интеграл и преобразование Фурье
Элементарные возмущения, на которые можно разложить произволь-
ное возмущение, можно выбрать различными способами. В зависимости от выбора типа элементарных возмущений получаются различные характери-
стики линейных систем. Во многих задачах практики удобно взять в качестве элементарных возмущений гармонические колебания всех возможных час-
тот.
Пусть имеется некоторое возмущение произвольной формы, которое может быть представлено рядом вида
|
a0 |
|
|
|
|
f (t ) |
(ak coskt bk sinkt ) , |
(2.184) |
|||
|
|||||
2 |
k |
1 |
|
составляющие которого имеют период 2 , а коэффициенты a0, ak, bk подле-
жат определению.
Предварительно отметим свойство ортогональности семейства функ-
ций /28/
1, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, …, cos nt, sin nt,…, |
(2.185) |
на интервале длиной 2 , состоящее в том, что интеграл, взятый от произве-
дения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину
2 , равен нулю независимо от выбора нижнего предела интегрирования /33/.
Найдем коэффициент a0. Предполагая, что ряд (2.184) является равно-
мерно сходящимся, проинтегрируем этот ряд почленно от - до + :
|
|
a0 |
|
|
|
|
f(t )dt |
dt (ak coskt bk sinkt )dt . |
|||
2 |
|||||
|
|
k |
1 |
||
|
|
|
|
138 |
Заменим интеграл от бесконечной суммы суммой интегралов от от-
дельных слагаемых (это возможно благодаря равномерной сходимости ряда
(2.184)), тогда
|
|
|
|
|
|
f (t )dt a0 (ak coskt dt bk sinktdt ) a0 . |
|||
|
k |
1 |
|
|
Так как все интегралы под знаком суммы равны нулю из-за ортогональности семейства функции (2.185), получим
|
1 |
|
|
|
a0 |
f (t )dt . |
(2.186) |
||
|
||||
|
|
|
||
|
|
|
Определим коэффициенты ak, bk. Для этого умножим обе части равен-
ства (2.184) на cos nt, где n – целое положительное число, и проинтегрируем в прежних пределах от - до + :
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
f (t )cosntdt |
cosntdt (ak cosktcosnt dt bk sinktcosntdt ) |
|||||
|
|||||||
|
2 |
|
k 1 |
|
|
Первое слагаемое правой части, а также все интегралы под знаком суммы, кроме одного при k=n, из-за ортогональности семейства (2.185) об-
ращаются в ноль, т. е.
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2nt |
|
|
||
f(t )cosntdt an cos2 ntdt an |
|
1 |
dt an |
|
||||||||
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
ak |
|
|
f(t )cosktdt (k 1,2,3,....). |
(2.187) |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично, при |
|
умножении слева |
|
и |
справа ряда |
(2.184) на |
||||||
sin nt после интегрирования в тех же пределах получим |
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
bk |
|
|
|
f(t )sinktdt (k 1,2,3,....). |
(2.188) |
|||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (2.186) – (2.188) позволяют по заданной функции f(t) с пе-
риодом 2 найти коэффициенты разложения этой функции в тригонометри-
ческий ряд (2.184), называемый рядом Фурье. Коэффициенты a0, ak, bk назы139
ваются коэффициентами Фурье.
В формулах (2.186) – (2.188) интегрирование производится на интерва-
ле (- , + ). Однако результат интегрирования не изменится, если произво-
дить интегрирование на каком-либо другом интервале длиной 2 , например,
на интервале (0, 2 ).
Зная коэффициенты ak, и bk, легко определить значения амплитуды и начальной фазы k-ой гармоники:
|
|
|
|
|
|
artg |
bk |
. |
(2.189) |
|
A |
a2 |
b2 |
, |
|
k |
|||||
|
||||||||||
k |
k |
k |
|
|
|
ak |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом функция f(t) может быть непериодической. Разложение по-
добной функции в ряд Фурье на интервале (- , + ) означает, что функция f(t)
периодически продолжена вне интервала (- , + ) (рис. 2.19) на всю ось абс-
цисс. Функция, получившаяся в результате продолжения функции f(t), будет периодической функцией с периодом 2 ; на интервале (- , + ) эта новая функция совпадает с функцией f(t). Гармоники полученной периодической функции, суммируясь в интервале (- , + ), составляют значения заданной функции f(t).
|
Таким образом, в виде суммы гармони- |
|
ческих составляющих может быть представ- |
|
лена не только периодическая функция, до- |
|
пускающая разложение в ряд Фурье. Ряд Фу- |
Рис. 2.19. Разложение |
рье для непериодической функции f(t), за- |
непериодической функции в ряд |
данной в интервале (- , + ), совпадает с ря- |
Фурье |
дом Фурье для функции, периодически продолженной на всю ось абсцисс
(времени).
Результаты распространимы и на случай, если период функции f(t) от-
личен от 2 и равен, например, Т.
В этом случае
140