Учебное пособие 800652
.pdfкак |
z |
z1 |
|
|
z |
|
|
|
|
z2 |
|
– сумма расстояний от точки |
z до точек z1 |
||||||||||||||||||||||||||
и z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.7. Аналогично, уравнение |
|
z |
|
z1 |
|
z |
z2 |
|
2a , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
где a |
1 |
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
, является уравнением гиперболы с фокусами в |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
точках |
z1 , |
z2 |
и с действительной полуосью, равной a . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Неравенство треугольника. Для любых комплексных чи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сел z1 и z2 |
имеют место неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
z2 |
|
z1 |
z2 |
|
z1 |
|
|
|
z2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(1.15) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Доказательство. Длины сторон треугольника с верши- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нами в точках 0, |
z1 , z1 |
z2 |
равны |
|
z1 |
|
, |
|
z2 |
|
и |
|
z1 |
z2 |
|
(рис. 2.1). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Следовательно, неравенства (1.15) являются известными из элементарной геометрии неравенствами для длин сторон треугольника.
Следствие. Для любых комплексных чисел z1 , z2 , , zn имеет место неравенство
n |
n |
|
||
zk |
|
zk |
. |
(1.16) |
k 1 |
k 1 |
|
1.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Положение точки z x iy на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами x , y , но и полярными координатами r . (рис. 1.3), где r z – расстояние от точки 0 до точки z , а – угол между
действительной осью и вектором z , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного чис-
11
ла z ( z 0 )и обозначается arg z (обозначение arg является сокращением французского слова argument ). Он определя-
ется не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2
:
|
Arg z arg z |
2k |
( k |
0, |
1, |
2, ), |
|||||
где |
arg z есть главное значение |
Arg z , |
определяемое условия- |
||||||||
ми |
arg z |
, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
если |
x |
0, y |
0 |
||||
|
|
arctg |
y |
, |
если |
x |
0, y |
0 |
|||
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
если |
x |
0, y |
0 |
||||
|
|
arctg |
y |
|
, |
если |
x |
0, y |
0 |
||
|
|
x |
|
||||||||
|
arg z |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
, |
если |
x |
0, y |
0 |
|||
|
|
arctg |
y |
|
, |
если |
x |
0, y |
0 |
||
|
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
если |
x |
0, y |
0 |
||||
|
|
arctg |
y |
, |
если |
x |
0, y |
0 |
|||
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из рис. 1.3. видно, что |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x r cos |
, |
y |
r sin . |
(1.18) |
Следовательно, любое комплексное число z 0 можно представить в виде
z r(cos i sin ) . (1.19)
Запись комплексного числа в виде (1.19) называется тригонометрической формой комплексного числа. Из формул (1.18)
вытекает, что если z |
|
x iy , |
Arg z , то |
|
|
|
|||||
cos |
|
|
x |
|
, sin |
|
|
y |
|
. |
(1.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
x2 y2 |
|
|
|
12
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=x+iy=r(cos |
isin |
)=rei |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пример |
1.8. |
|
|
|
Найдем |
|
|
аргумент |
комплексного |
|
числа |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
1 |
i . Так как точка |
z |
1 |
|
|
i |
лежит в третьей четверти и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arctg |
|
y |
arctg |
|
1 |
|
|
|
|
arctg1 |
|
|
|
|
|
|
, то по формуле (1.17) получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
arg z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
, |
|
|
а |
|
Arg z |
|
arg z |
2k |
3 |
|
2k |
, |
|
где |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
k 0, |
1, |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пример 1.9. Записать в тригонометрической форме ком- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)2 |
( |
|
|
|
|
|
|
||
плексное число z |
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
3 . Имеем r |
z |
( |
3)2 |
|
2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
arctg |
|
y |
arctg |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Следовательно, |
arg z |
|
|
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
i sin |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
z |
1 |
i |
3 |
|
|
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Любое комплексное число z |
0 можно записать в пока- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зательной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
rei |
, где |
r |
|
z |
|
, |
Arg z . |
|
|
|
|
|
|
(1.21) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция |
|
ei |
для любого действительного числа |
|
определя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ется формулой Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
i sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.22) |
13
В частности, e2 i 1, |
e i |
|
e i / 2 i , e i / 2 |
|
|
|
1, |
i , |
ei |
1. |
|||
Из (1.22) получается равенство |
|
|
|
|
||
e i |
cos |
|
i sin . |
(1.23) |
Сложением и вычитанием равенств (1.22) и (1.23) получаются
формулы Эйлера:
|
|
|
|
ei |
e i |
|
|
|
|
|
|
|
ei |
e |
i |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
, |
sin |
|
|
|
|
|
|
. |
(1.24) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функция |
ei |
обладает обычными свойствами показательной |
|||||||||||||||
функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
1 ei 2 |
ei( 1 |
2 ) , |
|
ei |
1 |
|
ei( 1 |
2 ) , |
|
(1.25) |
|||||
|
|
ei |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ei |
|
n |
ein , |
|
n |
0, |
1, |
2, |
|
|
|
(1.26) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Из равенств (1.26) и (1.23) вытекает формула Муавра: |
|
||||||||||||||||
cos |
i sin |
n |
cos n |
|
i sin n , |
|
n |
0, |
1, 2, |
(1.27) |
|||||||
|
|
|
|
С помощью равенств (1.25) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме:
z z |
2 |
r ei |
1 r ei |
2 |
|
r r ei( |
1 2 ) , |
(1.28) |
||||||
1 |
1 |
|
2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
z1 |
|
r1ei 1 |
|
r1 |
|
e |
i( |
1 |
2 ) |
. |
(1.29) |
|
|
|
z2 |
|
r ei 2 |
|
r2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы (1.28) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел: z1z2 z1 z2 , а сумма аргументов сомножителей является ар-
гументом произведения: arg z1 arg z2 arg(z1z2 ) . Аналогично из формулы (1.29) вытекает, что модуль частного двух ком-
плексных чисел равен частному модулей этих чисел: |
z1 |
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
14
( z2 |
0 ), а разность аргументов делимого и делителя является |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
аргументом частного: arg z |
|
arg z |
2 |
|
arg |
z1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 1.10. |
|
|
|
|
|
|
3 1 i |
2 |
|
|
|
i |
3 3 |
|
|
ei |
4 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
i |
|
3 |
|
2e |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
8 2 e i |
ei |
2 16e i |
2 |
|
|
|
|
16i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пример |
1.11. |
Вычислить |
|
|
|
z |
|
z |
2 |
где z |
1 |
|
i 3 , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z2 |
1 |
i . |
Имеем |
|
|
z1 |
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
2 , |
|
|
1 |
|
|
|
3 , |
|
|
z2 |
|
2 , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
3 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
210 |
e 13 i |
12 |
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
4 . |
Тогда |
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
210 e 65i |
3 |
210 e 22i ei |
|
3 |
|
|
210 ei |
3 |
210 |
|
cos |
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
29 1 i3 .
Корень n -й степени ( n плексного числа z 0 имеет находятся по формуле
– натуральное число) из ком- n различных значений, которые
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
i( |
|
2k |
) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n z |
n |
z |
cos |
|
|
i sin |
|
n |
z |
e |
n |
, (1.30) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
arg z , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
k |
0, 1, 2, |
, n |
|
1 . Точки, соответствующие |
||||||||||||||||||||||||||
этим |
значениям, |
являются |
вершинами |
|
|
правильного n - |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
угольника, вписанного в окружность радиуса n |
|
z |
|
с центром в |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
начале координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Пример 1.12. |
Найдем |
все значения 3 1 |
i . |
Приводим |
||||||||||||||||||||||||||
комплексное число 1 i |
к тригонометрическому виду: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||
Следовательно, |
1 i |
2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Полагая k |
0, 1, 2 , находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
k 0 , |
|
3 1 |
|
|
i |
6 2 |
cos |
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
k |
1 , |
|
3 1 |
|
|
i |
6 2 |
|
cos |
|
|
|
i sin |
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
15 |
|
|
|
15 |
. |
|
|
|||||||||||||||||
k |
2 , |
|
3 1 |
|
|
i |
6 2 |
|
|
|
i sin |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
Как уже отмечалось (1.9), модули комплексно сопряженных чисел равны. Установим связь между их аргументами.
Пусть z rei , тогда из равенств (1.22) и (1.23) видно, что z re i . Следовательно, если arg z , то arg z .
Отметим, что операция сопряжения перестановочна с арифметическими операциями над комплексными числами:
|
|
|
z2 , |
|
|
|
, |
|
z1 |
|
z1 |
( z2 |
0 ), |
|
z1 z2 |
z1 |
z1z2 |
z1z2 |
|||||||||||
|
z2 |
|
z2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
zn |
( n |
0, 1, |
2, |
|
), z |
0 при n |
0 . |
1.4. Кривые и области на комплексной плоскости |
|
|
Пусть функция z |
(t) определена на отрезке |
t |
и принимает комплексные значения. Эту комплекснозначную
функцию |
можно |
представить |
в |
виде (t) (t) |
i (t) , где |
(t) Re |
(t) и |
(t) Im (t) |
– |
действительные |
функции. |
Многие свойства действительных функций естественным образом переносятся на комплекснозначные функции.
16
Предел функции |
(t) |
(t) |
i |
(t) определяется так |
|
|||||||||||||
|
|
lim |
(t) |
lim |
(t) |
i lim |
(t) . |
|
(1.31) |
|||||||||
|
|
t |
t0 |
|
|
|
t |
|
t0 |
|
|
t |
t0 |
|
|
|
|
|
Таким образом, |
предел |
lim |
(t) |
существует, |
если существуют |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пределы lim |
(t) и lim |
(t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t t0 |
|
|
t |
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пределы комплекснозначных функций обладают сле- |
||||||||||||||||||
дующими свойствами: если существуют пределы |
lim 1(t) |
a1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t0 |
|
и lim |
2 (t) |
a2 , то существуют пределы |
|
|
|
|||||||||||||
t t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1(t) |
|
2 (t) |
|
a1 |
a2 , |
lim |
1(t) 2 (t) |
a1a2 , |
|
||||||||
t |
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t0 |
|
|
|
|
а если |
a |
0 , то |
lim |
|
1(t) |
|
|
a1 |
. Аналогичны определения и |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
t |
t0 |
|
(t) |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
свойства пределов |
|
lim |
|
|
(t) |
и |
lim |
|
(t) . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t |
t0 |
0 |
|
|
|
|
t |
t0 |
0 |
|
|
|
|
|
Функция |
(t) |
(t) |
i |
(t) |
называется |
непрерывной |
в |
точке (или на отрезке), если в этой точке (на отрезке) непрерывны функции (t) и (t) . Ясно, что сумма, разность и про-
изведение непрерывных комплекснозначных функций являются непрерывными функциями, а частное двух непрерывных комплекснозначных функций является непрерывной функцией в тех точках, в которых знаменатель не равен нулю. Отметим
также, что комплекснозначная функция |
(t) , непрерывная на |
|||||||||
отрезке |
, |
, ограничена на этом отрезке: |
|
(t) |
|
M для не- |
||||
|
|
|||||||||
которого |
M |
0 и всех t |
, |
. |
|
|
|
|
|
|
Производная функции |
|
(t) |
(t) i |
(t) |
определяется так |
|||||
|
|
(t) |
|
(t) |
i (t) . |
|
(1.32) |
|||
Следовательно, производная |
|
(t) |
существует, если существу- |
ют производные (t) и (t) . Это определение эквивалентно определению производной с помощью формулы
17
|
|
|
|
(t) |
lim |
(t |
|
t) |
(t) |
. |
(1.33) |
|||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|||
Если существуют производные |
1(t) и |
2 (t) , |
то существуют |
|||||||||||
производные |
1 |
2 |
1 |
|
2 , |
1 |
2 |
|
1 2 1 2 , а |
|||||
если |
2 |
(t) 0 , то |
|
1 |
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Однако не все свойства дифференцируемых действительных функций переносятся на комплекснозначные функции. В частности, для комплекснозначных функций теоремы Ролля и Лагранжа, вообще говоря, неверны.
Пример 1.13. Функция |
(t) |
eit дифференцируема на |
||||||||||
отрезке 0, 2 |
, |
(t) ieit , |
|
|
(t) |
|
1 |
при всех t |
0, 2 |
. Та- |
||
|
|
|||||||||||
ким образом, |
(t) |
не обращается в нуль ни в одной точке от- |
||||||||||
резка 0, 2 , хотя |
(0) |
(2 |
) 1 . |
|
|
|
|
|||||
Комплекснозначную |
функцию |
(t) |
(t) |
i (t) |
можно |
|||||||
рассматривать |
как |
вектор-функцию |
(t), |
(t) . |
Рассмотрен- |
ные выше определения предела, непрерывности и производной для функции (t) являются обычными определениями соот-
ветствующих понятий для вектор-функции, сформулированные в терминах комплексных чисел. Комплекснозначная функция z (t) , t , отображает отрезок , на не-
которое множество точек комплексной плоскости, которое можно рассматривать как график этой функции. В частности,
если функция z |
(t) |
непрерывна, |
то ее графиком является |
||
некоторая кривая на комплексной плоскости. |
|||||
Пусть на конечном отрезке |
|
t |
задана непрерывная |
||
комплекснозначная функция z |
(t) . Тогда говорят, что зада- |
||||
на непрерывная кривая |
|
|
|
|
|
|
z |
(t) , |
t |
, |
(1.34) |
18
а уравнение (1.34) называется параметрическим уравнением
этой |
кривой. При этом, если z1 |
(t1) и z2 |
(t2 ) , где |
|
t1 |
t2 |
, то говорят, что точка |
z2 кривой (1.34) следует |
|
за точкой |
z1 . Таким образом, кривая (1.34) является упорядо- |
ченным множеством точек комплексной плоскости. Другими словами, кривая (1.34) всегда считается ориентированной в направлении возрастания параметра t . Направление движения точки z вдоль кривой (1.34), соответствующее возрастанию параметра t , называется положительным. Пусть кривая задана уравнением (1.34). Тогда на комплексной плоскости точки z (t) , t , образуют некоторое множество M ( ) . Это
множество отличается от самой кривой, во-первых тем, что кривая является упорядоченным множеством точек.
Пример 1.14. Кривая z eit , 0 t является полуок-
ружностью |
z |
1, Im z 0 , |
ориентированной против часовой |
стрелки (рис. 1.4). |
|
||
Второе отличие кривой |
от множества M ( ) состоит в |
том, что различным точкам кривой может отвечать одна и та
же точка плоскости: |
если (t1) |
(t2 ) при t1 t2 , то |
точки |
||
z1 |
(t1) и z2 |
(t2 ) |
являются различными на кривой |
, но |
как точки плоскости они совпадают. Такие точки называются
точками самопересечения кривой (1.34). Исключением являет-
ся совпадение начала и конца кривой: если ( ) ( ) , то эта
точка не считается самопересечением кривой (1.34). Кривая, не имеющая точек самопересечения, называется простой кривой. Кривая, у которой начало и конец совпадают, называется замк-
нутой кривой.
Кривая в примере 1.14 является простой незамкнутой.
19
y
1
-1 |
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
Рис. 1.4 |
|
|
Кривая называется гладкой, если ее уравнение можно за- |
|||||
писать в виде |
z |
(t) , |
t |
, где функция |
(t) имеет на |
отрезке , |
непрерывную и отличную от нуля производную |
(t) 0 , причем, если кривая замкнута, то должно выполнять-
ся равенство |
( ) |
( ) . |
|
|
|
|
Кривая называется кусочно гладкой, если ее можно раз- |
||||||
бить на конечное число гладких кривых. |
|
|
||||
Пусть на |
луче |
t |
задана |
непрерывная |
комплексно- |
|
значная функция z |
(t) и |
( ) |
, т.е. lim |
(t) |
. То- |
|
|
|
|
|
t |
|
|
гда говорят, что задана неограниченная кривая |
|
|
||||
|
z |
(t) , |
t |
, |
|
(1.35) |
а уравнение (1.35) называется параметрическим уравнением
этой кривой. Неограниченная кривая (1.35) называется кусочно
гладкой, |
если для каждого конечного |
кривая |
z |
(t) , |
||||
|
t |
является кусочно гладкой. |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично определяются неограниченные кривые в |
|||||||
случае, |
когда параметр t пробегает полуось |
t |
|
|
или |
|||
всю числовую ось. |
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 1.15. Какая кривая задается уравнением |
|
z |
c |
|
|||
|
|
|
||||||
|
z c |
|
2a , где c и a – действительные положительные чис- |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ла, причем a c ?
20