Учебное пособие 800652

131

132

ГЛАВА 6 ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

ПЕРЕМЕННОГО ПРИ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ СИСТЕМ

6.1. Обобщенная восприимчивость прямолинейной бесконечной дислокации

В работе [16] для обобщенной восприимчивости получено следующее выражение

133

речных и продольных звуковых волн, kD – волновое число Де-

бая, под ln z понимается функция, аналитическая в верхней комплексной полуплоскости: она означает ветвь, определяе-

ляющимся по бесконечно малой полуокружности сверху, так что ln x ln x i . При учете этого обстоятельства в фор-

является мнимая часть, соответствующая радиационным потерям на излучение. Из формулы (6.2) находим, что

Подставляя (6.2) и (6.3) в (6.1), получаем явное выражение для обобщенной восприимчивости дислокации. При этом

слагаемое с kD2 в (6.2) сокращается с G 0, 0 . Если в получившемся выражении знаменателя kz , сделать перегруппи-

ровку, разбивая его на действительную и мнимую части и в каждой части разделить слагаемые, соответствующие краевой и винтовой компонентам дислокации, то можно увидеть, что обратная величина нашего выражения для kz , совпадает

с выражением k 2T k F 2 i , полученным Ниномией [17] с

точностью до знака мнимой части. Различие в последнем объясняется тем, что в работе [17] устранение расходимости интегралов осуществлялось добавлением к частоте бесконечно малой величины i0 в отличие от используемого здесь добавления i0 .

134

6.2.Обобщенная восприимчивость дислокационного сегмента

Данный вопрос исследовался в работах [18-24]. Для матрицы обобщенных восприимчивостей дислокационных осцил-

понента волнового вектора вдоль линии дислокации, G0 q, не содержит слагаемого с kD в отличие от G q, . Для вычисления интеграла в (6.4) добавим к m L и n L бесконечно

малые мнимые добавки i0 . Тогда выражение в знаменателе подынтегральной функции не будет иметь особенностей на действительной оси и в числитель можно добавить член

1 m 1 i sin qL , интеграл с которым равен нулю в силу нечет-

ности подынтегральной функции. В результате получим следующее выражение

Этот интеграл может быть вычислен по теореме о вычетах, если замкнуть путь интегрирования дугой бесконечного радиуса в верхней комплексной полуплоскости. Интегралы от логарифмических особенностей функции G0 q, , вычисляемые

обходом по бесконечно малой окружности сверху от точки разветвления, дают нуль [12]. Вычисление же интеграла по

дает нуль при m n и m n (устранимые особенности). Изобразим систему разрезов на комплексной плоскости и проведем контур интегрирования C (рис. 6.1).

Очевидно, что вычисление интеграла в (6.5) ввиду отсутствия полюсов внутри области сводится к интегрированию по разрезам и по дуге C :

136