Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800652

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

13.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

			1							1					1						1

			z 2i				z 3 2i					3 z 3 2i					1				3
			z 2i				z 3 2i					3 z 3 2i
																				z	3	2i
																				z	3	2i
		1						3					3		2					3		3
		1			1			3					3							3			, (4*)

	z	3		2i		z		3		2i		z	3	2i					z	3	2i
Так как					3			3		1, то ряд (4*) сходится в области II.
					3			3

				z	3	2i		3
				z	3	2i		3
Подставив (2*)							и(4*)			в	(1*),		получим					разложение функции
f z		в области II:
	f	z				1 n 3 4i					n 1		z	3		2i n						1 n 3n		.
	f	z							n 1				z	3		2i n					z	3 2i	n 1	.
				n	0			25											n	0	z	3 2i
		III.	В этой области								5		z	3		2i				,	поэтому условие
		III.	В этой области								5		z	3		2i				,	поэтому условие

сходимости ряда (4*) выполняется, а для ряда (2*) нарушается. Преобразуем первую дробь и разложим ее в ряд следующим образом:

z 2i

z 3 2i

3 4i

z 3 2i

z 3

, (5*)

Так как

, то ряд (5*) сходится в об-

ласти III.

Подставив (5*) и(4*) в (1*), получим разложение функ-

ции

f z

в области III:

1 n

1 n 3n

n 0 z 3 2i n 1

1 n 1

n 1

3n 1

n 1

4.5. Нули функции

Пусть функция

f z

является аналитической в точке z0 .

Точка z0

называется нулем функции

порядка (или крат-

ности)

n , если выполняются условия:

f z

0 ,

f n 1

0 ,

f n

0 .

Если n

1 , то точка z0 называется простым нулем.

Точка z0

тогда и только тогда является нулем

n -го по-

рядка функции

, аналитической в точке z0 , когда в неко-

торой окрестности этой точки имеет место равенство

f z

где функция

аналитична в точке z0

0 .

Пример 16. Найти нули функции f

1 cos z

и опре-

делить их порядок.

Решение. Приравнивая

нулю,

получим

cos z 1 ,

откуда

( n

) – нули данной функ-

ции. Далее находим

2n 1

sin

0 ,

cos 2n

0 .

Следовательно, точки zn

( n

) являют-

ся нулями второго порядка данной функции.

Пример 17. Найти нули функции f z 1 ez и определить их порядок.

Решение. Приравнивая f z

нулю, найдем нули данной

функции zn

i ( n

). Далее находим

f 2n i

e2n i

1 0 .

Следовательно, точки zn

( n

)

– простые

нули данной функции.

Пример 18. Найти порядок нуля z0

0 для функции

sin z

Решение. Используя

разложение

функции

sin z

ряд

Тейлора в окрестности точки z0 , получим

sin z

z .

–

функция, аналитическая

в точке

0 ,

причем

0 . Следовательно, точка

является нулем пя-

того порядка данной функции.

Пример 19. Найти нули функции

1 3 sh z и

определить их порядки.

Решение. Полагая

0 ,

получим

1 3 sh z

0 ,

откуда

1 0

или

sh z

0 . Решая эти уравнения, находим

нули функции

z :

i ,

z k i ( k 0, 1, 2,

Пусть z

i , тогда функцию

f z

можно представить в виде

i 3

где функция

i 3 sh z

является

аналитической

точке

i ,

причем

8i sh i

8sin1

0 . Это означает, что точка z

есть нуль третьего

порядка. Аналогично доказывается,

что и точка z

является

нулем

третьего

порядка.

Исследуем

нули

k i (

). Находим производную

f z

6z z2

1 2 sh z

1 3 ch z ,

k i

cos k

0 .

Следовательно, z

i ( k

) – простые нули.

4.6. Изолированные особые точки

Если функция

f z

аналитична в области D , за исклю-

чением некоторых точек, то эти точки называют особыми.

Пусть однозначная функция

аналитична в некото-

рой проколотой окрестности точки

(т.е. в некотором

кольце

R ), но не аналитична в точке

z0 .

В этом

случае

точка

называется

изолированной особой

точкой

функции f z .

Проведем классификацию изолированных особых точек.

1) Изолированная особая точка z0

функции

назы-

вается устранимой особой точкой, если существует конечный

предел lim f z .

z z0

Изолированная особая точка является устранимой тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функции f z в окрестности этой точки тождественно равна нулю.

Пусть функция f

представима в виде

изолированная особая точка z0

– нуль порядка

для функции

и нуль порядка m для функции

z . Тогда, если k

m ,

то z0

является устранимой особой точкой.

Пример

20.

Определить

характер

особой

точки

для

e z

функции f z

Решение. Особая точка функции

есть z0

0 .

Первый способ. Найдем предел, пользуясь следствием из

второго замечательного предела

1 .

lim f

lim

Следовательно, точка z0

0 есть устранимая особая точка.

Второй способ. Используя разложение в ряд Тейлора для

функции e z в окрестности точки z0

0 , получим лорановское

разложение функции f

в окрестности нуля

1 e z

1 1 z

Это разложение не содержит главной части, поэтому точка

0 является устранимой особой точкой.

Третий способ. Запишем функцию в виде

e z

Точка z0

является нулем для функций

z и

z , так

как

e0 0 и

0 . Найдем производные

z e z ,

0 1 0 ,

Следовательно, точка z0

является нулем первого порядка

для функций

. Таким образом точка z0

0 явля-

ется устранимой особой точкой для функции f

z .

Заметим,

что

функция

доопределенная

в точке

0 единицей, т.е.

e z

если

является аналитической и в точке z

0 .

2) Изолированная особая точка

называется полюсом

функции f

, если lim

z z0

Изолированная особая точка является полюсом функции

z тогда и только тогда,

когда главная часть ряда Лорана

функции f

в окрестности этой точки содержит конечное

(и отличное от нуля) число ненулевых членов

c 1

( c n

0 ).

f z

z z0

При этом наибольшая степень слагаемых в главной части ряда Лорана ( n ) будет являться порядком полюса.

Точка z0	является полюсом n -го порядка функции
f z тогда и только тогда,			когда функция f z		представи-
			z
ма в виде частного	f z			, где функция	z анали-
			n
		z	z0
тична в точке z0 и	z0 0 .

Если точка z0

– полюс порядка

функции

, то z0

– нуль кратности n функции

Точка

–

полюс

порядка

функции

если

lim

n f

0 .

z z0

Пусть функция

представима в виде

изолированная особая точка z0

– нуль порядка

для функции

и нуль порядка

m для функции

z . Тогда, если k

m ,

то z0 является полюсом порядка n

k .

Пример

21.

Определить

характер

особой

точки

для

функции f

sin z

Решение. Особая точка функции

есть z0

0 . Най-

дем предел

lim

, следовательно, особая точка

0 sin z

0 является полюсом. Используя разложение в ряд Тейлора

sin z

получим,

что

функция

sin z

имеет в точке

нуль третьего

порядка. Отсюда следует, что функция

имеет в

sin z

точке z0

0 полюс третьего порядка.

Пример 22.

Определить характер особой точки для

функции f

sin z

Решение.

Разложим знаменатель

на

множители:

1 2

1 . Отсюда получаем, что функция

z имеет две особые точки z1

1 и z2

1 .

Для исследования

характера

точки

представим

функцию в виде

sin z

f z

z 1 2 z 1

z 1 2

где

аналитична

окрестности

точки

1 ,

причем

sin

sin1

0 . Следовательно, точка z1

1 явля-

ется полюсом второго порядка данной функции.

Аналогично, для исследования точки z2

1 , запишем

sin z

1 2

f z

z 1 2 z 1

z 1

где

аналитична

окрестности точки

1 ,

причем

sin1

. Следовательно, точка z2

1 является простым

полюсом данной функции.

Пример

23.

Определить характер

особой

точки для

функции f

sin2

2ez 1

Решение.

Замечаем, что z0

1 является особой точкой

функции f

так как при этом значении знаменатель функ-

ции обращается в нуль. Представим данную функцию в виде

sin2

. Найдем порядок нуля для функций

2ez 1

. Имеем:

sin2

0 ;

2 sin

z cos

sin(2

z) ,

sin

0 ;

2 cos

z ,

2 cos 2

0 ;

2e0

0 ;

2ez 1

2z ,

1 2e0

2 0 ;

2ez 1

2 ,

1 2e0

2 0 ;

2ez 1 ,

1 2e0

2 0 .

Таким образом,

1 является нулем второго порядка ( k

2 )

для

функции

нулем третьего порядка

( m

3 )

для

функции

Следовательно,

для

данной

функции точка

1 есть полюс первого порядка, так как

Пример 24. Определить характер особой точки для

функции f z

1 cos z

Решение. Очевидно, что z0

является особой точкой

функции

f z

. Раскладывая функцию cos z в ряд Тейлора по

степеням

z , получим лорановское разложение функции

f z

в окрестности нуля:

z10

cos z

10!

z10

10!

2!z5

4!z3

6!z

10!

Это разложение содержит конечное число членов с отрицательными степенями z . Следовательно, точка z0 0 является

полюсом пятого порядка, так как наибольший показатель степени у z , содержащихся в знаменателях членов главной части ряда Лорана, равен пяти.

3) Изолированная особая точка z0 называется сущест-

венно особой точкой функции f z , если lim f z не суще-

z z0

ствует.

Изолированная особая точка является существенно особой точкой функции f z тогда и только тогда, когда глав-

ная часть ряда Лорана функции f z в окрестности этой

точки содержит бесконечное число ненулевых членов.

Пример 25. Определить характер особой точки для

функции	1 z2	.
	f z e

Решение. Очевидно, что z0 0 является особой точкой функции f z . Рассмотрим поведение этой функции на дейст-

вительной и				мнимой осях.		На действительной	оси	z	x	и
f	x	1 x2		при	x	0 . На мнимой оси		z	iy	и
		e
f	iy	e	1 y2	0 при	y	0 . Следовательно, предел		f	z	в
точке		z0	0	не существует. Поэтому точка z0			0 –	сущест-

венно особая точка функции f z .

Пример 26. Определить характер особой точки для

функций f z	1		.
	z 1 cos
		z 1

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202213.19 Mб3Учебное пособие 800648.pdf
#
01.05.202213.27 Mб1Учебное пособие 800649.pdf
#
01.05.2022408.03 Кб2Учебное пособие 80065.pdf
#
01.05.202213.37 Mб1Учебное пособие 800650.pdf
#
01.05.202213.37 Mб4Учебное пособие 800651.pdf
#
01.05.202213.52 Mб1Учебное пособие 800652.pdf
#
01.05.202213.78 Mб9Учебное пособие 800653.pdf
#
01.05.202213.84 Mб5Учебное пособие 800654.pdf
#
01.05.202214.86 Mб1Учебное пособие 800655.pdf
#
01.05.202214.88 Mб12Учебное пособие 800656.pdf
#
01.05.202215.28 Mб30Учебное пособие 800657.pdf