Учебное пособие 800477

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dq du d( pv) dl

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

3.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

При совершении потоком технической работы работа деформации при расширении отдается внешнему потребителю, тогда как в каналах она воспринимается соседними элементами и изменяет их кинетическую энергию, Из сравнения (11) с уравнением первого закона термодинамики dq = du + pdv, записанного для выделенного элемента потока, который деформируется, но не перемещается, получим в интегральной форме

lтех.

pdv p1v1

p2v2

(12)

Из этого уравнения видно,

что величина lтех.

складывается из работы деформации,

разности работ вытеснения на входе и выходе из

машины p1v1 p2v2

разности

кинетических энергий в машине.

3. Уравнение состояния идеального газа.

Чаще всего оно записывается в виде

p RT

(13)

4. Уравнение импульса.

Изменение давления на участке между торцевыми сечениями струйки вызовет

возникновение силы

p1 p2 F ,

изменение которой в единицу времени должно быть

равно импульсу m w2

w1 , т.е.

p p

w w w w w

(14)

Для 1 кг массы газа при бесконечно малом расстоянии между сечениями I и 2,

заменив на основании уравнения неразрывности

w получим в дифференциальной

форме

wdw

(15)

Для интегрирования

этого уравнения надо

знать

связь между p

, т.е.

p f . При небольших скоростях газа const и (15) принимает вид p w2 const

Располагаемая работа газа в потоке

Для обратимого процесса истечения газа одновременно с уравнением (9) сохраняет силу и уравнение

dq di vdp	(16)

Подставив последнее уравнение в (9), получим

di vdp di dw2

		dw2		vdp				(17)
2

				Таким образом		записывается	уравнение
	Бернулли для упругой жидкости. Приращение
	внешней				кинетической	энергии тела,		равное
2
		vdp			называется	располагаемой	работой,
1
	которая может быть использована в машинах и
	превращена в другие виды энергии.
				Обозначим располагаемую работу через l ,
	тогда
dl	dw2		wdw vdp					(18)

2
Этот результат можно получить, если сравнивать уравнения (11) и (16) при lтех. 0 .
Равенство (18) устанавливает основные особенности истечения газов. Видно, что								dw и

dp имеют обратные знаки, т.е. при обратимом процессе увеличение скорости всегда

связано с понижением давления, и наоборот, уменьшение скорости сопровождается повышением давления.

В зависимости от вида преобразования энергии газового потока каналы подразделяются на две группы.

Каналы, в которых происходит разгон газа (расширение газа), увеличение его скорости, называются соплами или конфузорами (вне зависимости от их геометрии). Здесь внутренняя энергия газа преобразуется в кинетическую, т. а, скорость возрастает

dw 0 , давление, энтальпия, внутренняя энергия и температура уменьшаются

dp 0, di 0, du 0, dT 0 .

Каналы, в которых происходит торможение газа (сжатие газа), уменьшение его

скорости,	называются диффузорами. Здесь скорость		газового потока	уменьшается
dw 0 ,	давление, энтальпия,	внутренняя энергия	и температура	возрастают
dp 0, di 0, du 0, dT 0 , т.е.		кинетическая энергия газового потока преобразуется

во внутреннюю энергии.

Диффузоры, применяемые в ВРД, преобразуют кинетическую энергию набегающего потока воздуха в статическое давление. В ГТД диффузоры служат для предварительного сжатия воздуха и последующего его подвода к компрессору двигателя. В ПВРД диффузоры выполняют ту же функцию, что и компрессоры ГТД.

Как видно из (18), необходимым условием получения располагаемой работы

является падение	давления, т.к. только при dp 0, dl 0 .	Если в	течении			процесса
давление будет постоянным dp 0 , то dl 0 .
	p		w22		w12	p
Величину	1 vdp называют располагаемой работой,	т.к. из				2 vdp
			2
	p2			2		p1

видно, что она равна величине прироста кинетической энергии потока, которая может

быть превращена в работу. Это разность работы расширения потока pdv и работы

проталкивания p2v2 p1v1 . При этом на pv - диаграмме изобразится в виде площади, ограниченной кривой процесса, линиями p p1 и p p2 и осью ординат.

Работа расширения газа l pdv по-прежнему изображается площадью под

кривой процесса, которая ограничена крайними ординатами и осью абсцисс. Располагаемая работа в политропном процессе, где pvn const , после

подстановки в (18) значения текущего объема v

p 1nv

1 1

равна

p 1n

n 1

p v p

p v

p v 1

(19)

n 1

1 1

n 1

1 1

В общем случае l

может быть больше или меньше работы расширения или равна

ей, причем это соотношение будет определяться величиной n , т.к.

n 1

p v

, то очевидно, что

n 1

	l nl
	Для адиабатного расширения газа	l kl .Для адиабатного
	течения газа располагаемая работа может быть определена и через
	энтальпию газа. Из (16) видно, что dl di .
	Интегрируя это выражение, получим
			i2
		l di i1 i2
			i1
		(20)
		Следовательно,
располагаемая		работа	при
адиабатном	течении	равна	разности
энтальпий	в	начальном	и
конечном		состояниях. На iS -
диаграмме	показан	располагаемый
теплоперепад			h0 i1 i2
(располагаемая работа).

Скорость звука и критические параметры

Скоростью звука называется скорость распространении в среде малых возмущений. Возмущение называется малым или слабым, если вызванные им изменения параметров

газа значительно меньше, чем абсолютные значения самих параметров: p p 1;

	1 . В пределах дозвуковой волны давление меняет свой знак с «+» на «-»

(относительно давления невозмущенной среды).

и для идеального газа, с учетом уравнения Клайперона

a kRT (22)

Из формулы следует, что скорость звука возрастает с увеличением температуры, причем коэффициент пропорциональности различен для разных идеальных газов (различные k и R).

Следует также заметить, что поскольку

Чем более упругая среда, тем быстрее передается изменение давления от фронта звуковой волны в направлении ее движения, тем больше скорость звука. Следовательно, скорость звука является некоторой характеристикой сжимаемости среды, она показывает, каково соотношение между изменением плотности и изменением давления, вызывающем изменение плотности. В 1867 г. И.Ньютон предложил для расчета скорости звука в газах уравнение

a	dp	d	(21)

Для того, чтобы им пользоваться, нужно знать для каких условий следует зачислять производную dp d . Первоначальное предположение, что процесс распространения звука

в газе происходит в изотермических условиях pv const , откуда

подтвердилось прямыми измерениями ( aэксп. на 20% ). Причина

p		p	, не
			, не
	T

этого расхождения

била установлена Лапласом, который отметил, что поскольку звуковые колебания в среде распространяются очень быстро, то сколько-нибудь заметного теплообмена между зонами разряжения и сжатия звуковой волны и окружающей средой не успевает произойти, поэтому колебания среды при распространении звуковой волны можно считать адиабатными и изоэнтропными. Т.е. связь между параметрами в пределах звуковой волны подчиняется адиабатному закону

		pvk const
Поэтому производную, стоящую в уравнении (21), следует брать при условии
S const , т.е.

a	p
		- уравнение Лапласа.
		S

Выразим скорость звука через параметры рассматриваемой среды, опираясь на условие адиабатной связи между параметрами в звуковой волне

p	k const	или

ln p k ln lnconst

Продифференцируем последнее выражение, получим dpp k d 0 или

dp kp kpv d

Следовательно, скорость звука определяется по формуле a kpv

		84
R	8314,3	,	Дж
			кг К

где μ - молекулярная масса газа, то скорость звука в газе тем больше, чем меньше молекулярная масса этого газа.

Для реальных газов скорость звука зависит не только от температуры, но и от давления.

Скорость звука в газах при температуре 20°С.

Газ	μ	R	k	a , м/сек
Газ	μ		k	a , м/сек

Водород	2,016	4124	1,41	1305

Гелий	4,003	2077	1,66	1005

Водяной пар	18,016	461,4	1,33	424

Азот	28,016	296,8	1,40	349

Воздух	28,960	387,0	1,40	3i3

Кислород	32,000	259,8	1,40	327

Двуокись углерода	44,010	188,9	1,31	269

Фреон-12 (CCl2F2)	120,920	69,28	1,14	152

Отношение скорости потока к местной скорости звука в нем называется числом Маха (по имени австрийского физика Э.Маха)

M wa

При М < 1 поток дозвуковой; при М = 1 поток звуковой; при М > 1 поток сверхзвуковой.

Помимо этой безразмерной величины в газодинамике часто употребляется понятие относительной скорости M кр w aкр , обозначаемой также .

2 M кр2		k 1 M 2
		(k 1)M 2
	2

Другая безразмерная скорость

w wкр

Впрактических расчетах используют ту скорость, которая позволяет получить самые простые уравнения.

Поскольку скорость распространения звука в идеальном газе зависит только от его физических свойств и температуры, а температура пропорциональна средней кинетической энергии беспорядочного движения молекул, то отношение квадратов

скоростей	M 2	w2
скоростей		a2 является мерой отношения средней кинетической энергии

упорядоченного движения к средней кинетической энергии их беспорядочного движения. Температура газа изменяется с изменением скорости его движения. Величину этого изменения легко установить с помощью уравнения энергии газового потока

i w2 2 const

85
	2
Если в конечном сечении поток затормозить w2		2	0	, то
		2

i1 w12 2 i2 i0

где i0 cpT0 - энтальпия заторможенного потока. Поскольку для идеального газа с постоянной теплоемкостью

R ,

k 1

c T

, то можно записать

k 1

c T

2 k 1

k 1 0

k 1

p 0

Здесь p0 , 0 ,T0 - параметры торможения газа. Отсюда

T T

k 1 w2

или

T T

2cp

Видно, что при полном торможении потока температура торможения имеет одно

определенное значение, в то время как

p0 и 0 могут принимать любые значения,

совместимые с постоянством отношения p0

В идеализированном случае, когда параметры потока в сечении 2 трубки тока

соответствуют полному циклу

p 0,T 0,i 0 ,

скорость течения будет стремиться к

максимальной скорости wmax

и тогда

2 k 1

max

Этот случай противоположен случаю полного торможения потока. При

максимальной скорости течения

wmax

вся

энергия теплового движения молекул

превращается в энергию упорядоченного движения. С приближением w к wmax (а a0 -

соответственно к нулю) разрежение газа становится все большим и поэтому к такому газу нельзя применять уравнение состояния идеальных газов и уравнение энергии в нашем виде.

Скорость газа, равную скорости распространения звука в нем (в данном месте),

наживают критической wкр aкр , M 1 , В этом случае

wкр2

aкр2

k 1 aкр

k 1 2

2 k 1 2

k 1

Можно получить отношение критической температуры к температуре торможения

Tкр

aкр2

Для данного газа эта величина постоянна, так что Tкр постоянна во всех точках адиабатного течения.

Воспользовавшись уравнением адиабаты, получим аналогичные соотношения для давлений и плотностей

кр

pкр

k 1

;

k 1

Для воздуха aкр a0 0,913;Tкр T0 0,833; кр 0 0,634 .

Скоростным напором называют увеличение давления при торможении потокаp 12 w2

Динамическим напором называют величину p0 p ,

где p0 - давление адиабатного торможения. Отношение динамического напора к скоростному называют коэффициентом давления

	p p				k 1			k
								k
		2					2	k 1
	0						2
cp				1		M			1
	p	kM	2		2
	p	kM			2

Проанализируем теперь изменение состояния газа внутри трубки тока переменного сечения при течении от входного сечения к выходному. Примем, что газ является идеальным, а течение его изоэнтропное. Уравнения изоэнтропного течения газа могут быть записаны в дифференциальной форме:

уравнение неразрывности

Fw Gv

после дифференцирования имеет вид

Fdw wdF Gdv

Поделив обе части на Fw , получим

dww dFF GdvFw dvv

или

dFF dvv dww

Уравнение адиабаты

dpp k dvv 0

откуда

	dv		1 dp

	v		k p
	v		k p

Из уравнения (17)

(23)

(24)

d vdp; wdw vdp

или после деления на w2
					dw	vdp	(25)
					w	w2	(25)
					w	w2
Подставив значения	dv	и	dw	в уравнение (23), имеем
Подставив значения	v	и	w	в уравнение (23), имеем
	v		w

	dF		v		1		kpv w2
						dp		dp
				2		dp	2	dp
	F			2			2
	F	w			kp		kpw
В этом уравнении kvp a2 , следовательно,

dF	a2 w2
			dp	- уравнение Гюгонио	(26)
		2	dp
		2
F		kpw

Иногда записывается в виде выражений
		dF	M 2 1		dw
		F
						w
или
	dw			dF

		w		1 M 2		F

Из этой зависимости можно сделать следующие выводы:

1.Для несжимаемой жидкости (М = 0) уменьшение площади сечения приводит к пропорциональному увеличению скорости.

2.При дозвуковых скоростях сжимаемого газа (М = 0 1) с уменьшением площади сечения скорость увеличивается, но в большей степени, чем для несжимаемой жидкости, так как знаменатель в правой части меньше единицы.

3.При сверхзвуковых скоростях знаменатель в правой части становится отрицательным и увеличение скорости может происходить лишь за счет увеличения сечения. Это обусловлено тем, что при сверхскоростных скоростях плотность уменьшается быстрее, чем увеличивается скорость, так что для сохранения условия неразрывности потока сечение должно увеличиваться.

4.При числах Маха, близких к единице, поток очень чувствителен к изменению сечения, так как знаменатель в правой части очень мал.

Из сказанного следует, что при неразрывном увеличении скорости газа от нуля до сверхзвуковой трубка тока должна сначала сужаться (в дозвуковой части), а затем расширяться (в сверхзвуковой части). Следовательно, критических сечением трубки (т.е. сечением, соответствующим М = 1) может быть только ее наименьшее сечение – горловина. Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. в наименьшем сечении число Маха не обязательно равно единице. В случае, когда М = 1, в наименьшем сечении оказывается dw = 0, т.е. скорость достигает здесь максимума или минимума в зависимости от того, является ли сечение дозвуковым или сверхзвуковым.

Символически сущность уравнения (26) можно выразить следующей схемой, из которой видно, что один и тот же канал может работать и как конфузор и как диффузор, в зависимости от того, дозвуковая скорость на входе в него или сверхзвуковая.

КОРОСТЬ

И РАСХОД ГАЗА ПРИ ТЕЧЕНИИ. ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СУЖАЮЩИХСЯ СОПЕЛ.

Преобразование потенциальной энергии газа в кинетическую осуществляется в специально спрофилированных каналах, называемых соплами. Процесс в соплах

происходит с понижением давления и увеличением скорости газа. При этом сопла для получения дозвуковой и в пределе звуковой скорости должны быть суживающимися. Впрочем, мы уже знаем, что один и тот же канал в зависимости от скорости газа на входе может работать и как сопло, и как диффузор. Поэтому мы будем рассматривать лишь сопла, считая, что те же рассуждения при определенных скоростях применимы и к диффузорам.

Скорость истечения газа через сопло при условии, что параметры газа на входе p1 , v1 , а на выходе p2 и v2 , может быть найдена в общем случае путем интегрирования уравнения

dl dw2 wdw vdp

Располагаемая работа газа

l	w2	w2
l	2	1
	2	1
		2

где w1 и w2 - значения скорости газа в начале и в конце процесса.

Если пренебречь начальной скоростью газа, то скорость в конце истечения w2 w определяется по формуле

w 2l

Подставляя в эту формулу значение располагаемой работы при адиабатном течении газа, получим значение скорости при обратимом адиабатном расширении

					k 1

	k		p2	k
	k		p2	k
w 2						(1)

	k 1	p1v1 1	p1
	k 1		p1

или, используя формулу
l i1 i2
w	2(i1 i2 ) 2h0	(2)

Как видно из формул (1) и (2), скорость истечения определяется состоянием газа на входе в сопло и его конечным давлением на выходе или разностью энтальпий на входе и

выходе из сопла h0 .

При истечении газа в вакуум ( p2

0 ) скорость истечения должна

быть

максимальной

wmax

p1v1

(3)

k 1

Расход газа через сопло может быть подсчитан по уравнению неразрывности

F2 w

где F2 - площадь выходного сечения сопла;

- удельный объем газа в этом сечении.

Из уравнения адиабаты

v k

p v k

Расход газа через сопло после подстановки в формуле (1) и значения удельного объема

k 1

G F

p v 1

k 1

1 1

него значения скорости истечения

						2					k 1
						2		p
	k		p	p	2		k	p		2	k
		1			2					2
2
2	k 1 v
	k 1 v			p	1				p	1
		1			1					1

по

(4)

Как видно из уравнения (4), расход газа зависит от площади выходного сечения сопла F2 , параметров газа на входе p1 , v1 и давления в выходном сечении p2 .

Теперь рассмотрим процесс истечения газа из суживающегося сопла, соединенного с газовым резервуаром большого объема. Обозначим параметры газа в резервуаре через p1 , v1 ,T1 , они не меняются с течением времени. Начальную скорость газа в резервуаре

примем равной нулю (w2

0) .

Параметры на

выходе (срезе) сопла

обозначим через p, v,T, w . Давление внешней

p1 , v1 ,

среды, куда происходит истечение обозначим

w 0

через

p2 . При расчетном режиме истечения

p p2 ,

т.е. давление на срезе сопла должно в

процессе

истечения

равняться давлению

окружающей среды.

Если в рассматриваемом случае истечение газа является обратимым и адиабатным,

то из уравнений (1) и (4) следует, что

k 1

p 1 v 1 1

w 2

k 1

p 1

k 1

G F

2 k 1 v

(5)

Из этих формул видно, что при данном отношении давлений скорость истечения зависит только от начальной температуры данного газа, т.к. p1 1 RT1 . Массовый расход газа в секунду определяется по формуле Сен-Венана и Вентцеля (5).

При истечении газа из резервуара можно получить максимальный расход газа. Его значение определится давлением на срезе сопла. Для определения максимального расхода возьмем первую производную от выражения, стоящего в квадратных скобках, и приравняем ее к нулю

k 1

p k

1 p k

из последнего выражения

k 1

или

2 k			1k
k	k 1	p	1k
			0
			0
	k
	k	p1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20223.17 Mб3Учебное пособие 800472.pdf
#
01.05.20223.21 Mб2Учебное пособие 800473.pdf
#
01.05.20223.22 Mб4Учебное пособие 800474.pdf
#
01.05.20223.22 Mб2Учебное пособие 800475.pdf
#
01.05.20223.23 Mб4Учебное пособие 800476.pdf
#
01.05.20223.24 Mб2Учебное пособие 800477.pdf
#
01.05.20223.26 Mб1Учебное пособие 800478.pdf
#
01.05.20223.26 Mб6Учебное пособие 800479.pdf
#
01.05.2022370.85 Кб4Учебное пособие 80048.pdf
#
01.05.20223.3 Mб6Учебное пособие 800480.pdf
#
01.05.20223.31 Mб3Учебное пособие 800481.pdf