Учебное пособие 800477

40

понятие об ещѐ не упоминавшемся до сих пор параметре состояния термодинамической системы – энтропии и об основанной на ней TSдиаграмме. Термин введѐн в 1865 г. Р. Клаузиусом от греческого - превращение, изменение. Дело в том, что с помощью только p, , T, u, i нельзя графически изображать количество теплоты, участвующее в том или ином процессе, как это делается применительно к работе, изображавшейся в p – координатах. Понятие об энтропии строится на основе следующих соображений.

Рассмотрим одно из выражений уравнения первого закона термодинамики:

а так как из уравнения Клапейрона p = RT следует, что

(Из математики известно, что всякий двучлен можно представить в виде полного дифференциала, если его умножить на так называемый интегрирующий множитель. У нас

в качестве его T1 ).

Правая часть нашего уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции переменных Т и . Обозначив эту функцию через S, запишем:

определяемый состоянием газа (температурой и удельным объѐмом). Приращение энтропии в равновесном процессе не зависит от характера процесса. Таким образом, в термодинамике обнаруживается ещѐ одна функция состояния, которая помогла вскрыть специфичность теплоты при еѐ превращениях в работу в тепловом двигателе. В настоящее время роль и значение этой математической функции значительно возросли и с еѐ помощью анализируются уже многие процессы, происходящие в природе, вплоть до анализа развития звѐздных миров, развития жизни, теории информации и др.

Удельную энтропию, так же как и удельную внутреннюю энергию, и другие функции состояния, в термодинамике определяют лишь с точностью до постоянной:

S dS S

Поэтому вычисление удельной энтропии проводят от условно принятого состояния,

в котором полагают So =0. В некоторых случаях полагают, что при ОК So = 0.

Удельная энтропия в СИ выражается в Дж/кгК, энтропия (S=ms – произведение удельной энтропии на массу) – в Дж/К. Их нельзя измерить непосредственно приборами, как, например, давление или температуру. Еѐ или, вернее, еѐ изменение можно вычислить, если заданы параметры состояния.

41

Наше уравнение даѐт приращение энтропии при бесконечно малом изменении состояния газа. Проинтегрировав это уравнение, получим изменение энтропии для конечного изменения состояния

1 кг газа:

Подробно об энтропии и еѐ физическом смысле мы поговорим при рассмотрении второго начала термодинамики.

Сейчас нас интересует связь между изменением энтропии и количеством теплоты, которая выглядит следующим образом:

dq = Tds – из определения энтропии.

Элементарное количество подведѐнной (отведѐнной) удельной теплоты в равновесных процессах равно произведению термодинамической температуры на изменение удельной энтропии.

Полное количество удельной теплоты

2

q1,2 = TdS

1

Выражение для элементарного количества теплоты dq оказывается аналогичным

формуле для элементарной работы изменения объѐма d = pd . Эта аналогия имеет принципиальное значение, – она связана с основным существом энергетического обмена между ТРТ и окружающей средой.

Заметим следующее.

Подобно тому, как разность давлений является побудительной силой для передачи механической энергии в форме работы изменения удельного объѐма, так и разность температур – причина передачи энергии в форме теплоты. Температура выступает здесь в роли теплового потенциала. Чем больше разность тепловых потенциалов ТРТ и окружающей среды, тем интенсивнее происходит теплообмен.

Подобно тому, как изменение удельного объѐма является обязательным условием совершения (или затраты) деформационной работы, изменение энтропии является обязательным условием подвода (или отвода) теплоты. И, наоборот, только вследствие подвода (или отвода) теплоты может происходить изменение удельной энтропии в равновесных процессах.

Следовательно, энтропия – физическая величина, изменение которой является признаком обмена энергий в форме теплоты в равновесных процессах.

Произведѐм замену dq = Tds и получим

Tds = du+pd - основное уравнение I начала термодинамики называется также термодинамическим тождеством (охватывает I и II законы термодинамики).

TS – диаграмма

По степени использования теплоты судят о работе тепловых машин и об их экономичности. Этот вопрос легко разрешается графическим изображением термодинамического процесса в системе координат, где по оси абсцисс откладывают значение энтропии, а по оси ординат – значения температуры. В этом заключается огромное прикладное значение энтропии. Так же, как и на p – диаграмме, состояние ТРТ в каждый момент времени на Ts – диаграмме изображается точкой, процесс – линией. Ts – диаграмма носит название тепловой (энтропийной) диаграммы (введена Гиббсом в 1873 г.). Теплота процесса q1,2 может быть определена графически площадью под кривой процесса.

42

Действительно, элементарная площадка с основанием ds и высотой T равна Tds или равна элементарной теплоте dq. Вся площадь a12b определяет теплоту процесса

Tds = du +pd через интеграл. В анализе идеальных циклов весьма удобным оказывается

использовать такую среднюю температуру T подвода (отвода) теплоты, которая будучи умноженной на приращение энтропии в процессе, позволяет найти удельное количество

теплоты q1,2 = T (s2-s1). Величина T носит название средней термодинамической температуры. Она равна отношению удельной теплоты, сообщаемой ТРТ в процессе, к приращению его удельной энтропии, т.е.

Графически она выражается высотой прямоугольника abcd, равновеликого площади

a21d.

Заметим, что термодинамические процессы можно изображать и в ps, s и т.д. координатах. Но в p – координатах площади эквивалентны работам, а в Ts координатах

– теплотам.

Цикл изображается замкнутой кривой, направленной в

случае прямого цикла в сторону движения часовой стрелки, а

в случае обратного – против. В прямом цикле площадь AacbB

измеряет подведѐнное на участке abc тепло q1, а площадь AadbB – отведѐнное на участке bda тепло q2 .

Ts – диаграмма удобна тем, что в ней наглядно изображаются и количество тепла, подводимого и отводимого в цикле, и работа, полученная в результате осуществления

цикла (или затраченная, если цикл обратный), т.к.

Lц=Q1-Q2

Задача исследования термодинамического процесса состоит :

43

1)В нахождении уравнения процесса и изображении его в системе координат p и Ts, а также в установлении соотношений между изменяющимися в процессе термическими параметрами;

2)В установлении характера преобразования энергии, т.е. количественного соотношения между величинами, содержащимися в уравнении первого начала термодинамики, и в получении формул для вычисления изменений удельных внутренней энергии, энтальпии, а также в определении количества сообщенной теплоты и работы процесса.

Следовательно, требуется рассмотрение трѐх функций состояния, изменение

которых ( u, i, s ) не зависит от характера процесса, и двух функций процесса ( q1,2 и1,2), т.е. величин, значения которых зависят от вида кривой процесса. Поэтому формулы для вычисления q1,2 и 1,2 различны для каждого процесса; что же касается выражений для вычислений изменений u, i и s через параметры состояния начала и конца процесса, то они являются общими для всех процессов.

Схемы распределения энергии

Процессы преобразования энергии в термодинамических процессах с качественной стороны наглядно иллюстрируются с помощью схем распределения энергии, состоящих из фигурок, изображающих различные виды энергии, и стрелок, указывающих направление перехода. Предложены А.С. Ястржембским.

Стрелки, направленные от кружка, к треугольнику или прямоугольнику соответствуют подводу тепла к ТРТ, увеличению внутренней энергии или положительной работе расширения соответственно.

А направленные к кружку, от треугольника и от прямоугольника соответствуют отводу тепла, уменьшению внутренней энергии и отрицательной работе сжатия.

В тех случаях, когда одна из составляющих равна нулю, соответствующая фигурка на схеме не штрихуется, и к ней не подводят стрелок.

По этим правилам можно составить схему для любого процесса, если известны знаки q , u, . Например:

Распределение энергии в процессе количественно характеризуется коэффициентом распределения тепла .

Называется процесс, происходящий при постоянном объѐме газа. Пусть 1 кг идеального газа с параметрами p1, 1, T1, находится в цилиндре с закреплѐнным поршнем.

В результате подвода тепла (+q) параметры газа изменяются и становятся равными p2, 2 и Т2.

44

На графике в p – координатах изохорный процесс (изохора) изобразится вертикальной прямой 1-2, а уравнение процесса в p – координатах будет = const. Обратное направление процесса, соответствующее отводу тепла (-q) обозначено пунктиром.

В Ts - координатах уравнение изохорного процесса получится при подстановке в общую формулу изменения энтропии теплоѐмкости при постоянном объѐме cV и текущих значений s и T:

R n 2 0)

1

Таким образом, изохора в Ts – координатах представляет собой логарифмическую кривую. Общее изменение в изохорном процессе 1-2

SV cV n TT2

1

Площадь под изохорой в Ts – координатах соответствует теплу процесса, равному также изменению

внутренней энергии (qV = U), т.к. работа =0.

Связь между параметрами изохорного процесса найдѐм из уравнения состояния для точек 1 и 2:

p1 1=RT1

p2 2=RT2

Поделив первое уравнение на второе и учитывая, что 1= 2, получим

температуре (по закону Шарля).

Формулы для расчѐта , u, i и q вытекают из общих соотношений.

V2

Работа по уравнению Pd 0 , т.к. d =0

V1

Изменение внутренней энергии и энтальпии вычисляется по общим для всех процессов формулам

U cV (T2 T1 )

i cP (T2 T1 )

Тепло изохорного процесса по уравнению первого закона термодинамики при

0

qV U cV (T2 T1 )

Схема распределения энергии для изохорного процесса такова:

(сплошная стрелка соответствует подводу тепла, а пунктирная – отводу тепла). И схема и формула показывают, что всѐ тепло в

изохорном процессе идѐт на изменение внутренней энергии. Следовательно, коэффициент распределения тепла

45

U U 1 q U

Изобарный процесс ( p= const )

Называется процесс, происходящий при постоянном давлении. В p – координатах он изображается горизонтальной прямой линией – изобарой, имеющей уравнение p = const.

Площадь под изобарой, представляет собой работу расширения газа l в процессе. Сплошная линия соответствует процессу расширения. При этом давление

поддерживается за счѐт подвода тепла (+q).

В Ts – координатах уравнение изобары по аналогии имеет вид

T

s-s1 = cp ln T1

Т.е. изобара в TS – координатах так же, как и изохора, представляет собой логарифмическую кривую, но более пологую, поскольку cp cv. Общее изменение энтропии в

изобарном процессе 1-2

Sp Cp n T2 T1

Написав уравнение состояния для двух точек процесса

p1 1=RT1 p2 2=RT2

и поделив их почленно, получим соотношение параметров для изобарного процесса (при p1=p2):

т.е. в изобарном процессе объѐм газа пропорционален абсолютной температуре (закон Гей

– Люссака). Т.е. при увеличении объѐма газа температура его повышается, при уменьшении объѐма – понижается.

Работа изобарного процесса

V2

Pd P( 2 1 )

V1

-отсюда очевидно геометрическое толкование работы как площади прямоугольника с

основанием 2- 1 и высотой p. Работу газа можно также определить, пользуясь уравнениями:

p1 1=RT1

p2 2=RT2 но p1= p2=p=const

Вычтя из нижнего уравнения верхнее, получим

p1( 2- 1)= R(T2- T1) или = R(T2- T1)

При T2- T1=1 , получим = R, откуда вытекает физический смысл газовой постоянной как работы 1 кг газа в изобарном процессе при изменении температуры на 1 .U и i рассчитывается по общим формулам.

47

Т.к. температура постоянна, то

U = cV dT = 0i = cP dT = 0

Вычисление приращений энтропии в изотермическом процессе упрощается:

Схема распределения энергии.

Поскольку U =0, то тепло изотермического процесса равно работе ( q=l) и оно может быть подсчитано по любой из формул.

изотермическом процессе идѐт на работу расширения, в случае сжатия идеального газа вся затраченная работа преобразуется в теплоту, отводимую от него, а коэффициент

непереходимый) процесс, на любом элементарном участке которого отсутствует теплообмен с внешней средой, т.е. dq=0.

Следствием этого условия, является также и отсутствие теплообмена во всем процессе (q= о). В полной мере обеспечить отсутствие теплообмена, между ТРТ и окружающей средой не представляется возможным. Однако при достаточно хорошей тепловой изоляции ТРТ от внешней среды, или когда процесс протекает столь быстро, что теплоотдача, зависящая от времени, не успевает существенно повлиять на ход изменения состояния, процесс практически будет адиабатным (отклонение от равновесного процесса учитываются в дальнейшем введением в расчеты специального коэффициента). Последнее, однако, не может служить определением адиабатного процесса, поскольку не исключает случаев, когда подвод тепла на одном участки процесса компенсируется отводом на другом участке.

48

Кроме того, следует обратить внимание на то, что условие dq=0 не означает, что q=const, ибо dq не является полным дифференциалом. Следовательно, вообще говорить о постоянстве теплоты бессмысленно, т.к. теплота является не функцией состояния, а функцией процесса.

Уравнение адиабаты в p - координатах можно вывести на основе уравнения первого закона термодинамики:

dq cV dT pd 0

Дифференциал dT находится из уравнения состояния:

dT pd dp R

После подстановки нижнего уравнения в верхнее и преобразований с использованием уравнений

После интегрирования для произвольного конечного процесса 1-2 имеем:

Поскольку точки 1 и 2 взяты произвольно, то вообще

pk const

-уравнение адиабаты Пуассона в p - координатах.

Т.к. k > 1 , то адиабата в p - координатах представляет собой неравнобокую

гиперболу, имеющую большую крутизну по сравнению с изотермой. Поскольку dq =0, то ds=0 и s=const , т.е. энтропия в адиабатном процессе постоянна.