Учебное пособие 800450

Рис. 4.9.

6) Периодичность. Когда кривая повторяет структуру «то подъем, то спад» с примерно одинаковыми интервалами времени, это тоже ненормально (рис. 4.10).

Рис. 4.10.

4.5. Границы регулирования для контрольных карт

Сравнительно простым и наиболее эффективным статистическим инструментом, с помощью которого при управлении качеством осуществляются непосредственно регулирование технологического процесса, приемочный и входной контроль качества продукции, является контрольная карта [2].

При построении контрольных карт первостепенное значение имеет правильный выбор нижней и верхней границ допустимого изменения контролируемого параметра качества (границ регулирования для контрольных карт).

32

При гауссовском законе распределения в пределах трехсигмовых границ лежит 99,73% всех значений контролируемого параметра качества. Отсюда следует, что почти все средние, вычисленные по результатам выборок из генеральной совокупности с математическим ожиданием М(х) и стандартным отклонением σ, приходятся на участок с

границами М(х) ± 3σ/n . Эти две границы называют

границами регулирования контрольной карты для средних x

(х-карты): М(х) + 3σ/n — верхняя граница (уровень)

регулирования; М(х) — 3σ/n — нижняя граница (уровень). Следует отметить, что существует три варианта оценки

качества изготовления изделия: по измеряемым соответствующими приборами параметрам, характеризующим качество изделий (размеры, массу, электрические характеристики и т. д.); по доле бракованных изделий в процентах; по числу дефектов различных контролируемых параметров на единицу продукции. Соответственно этому различают контрольные карты и выборочные планы по количественным признакам или по числу дефектов на единицу продукции.

На контрольную карту наносятся обычно три линии: средняя и две крайние, представляющие собой верхнюю и нижнюю границы регулирования. По оси ординат откладываются значения контролируемого параметра, а по оси абсцисс — номера выборок.

Вычисление границ регулирования для x-карты.

Если известны математическое ожидание и стандартное отклонение контролируемой генеральной совокупности (эти параметры обычно задаются в документации на технологический процесс), то верхняя и нижняя границы

регулирования для x-карты или доверительной вероятности 0,9973 откладываются от математического ожидания (средней

линии) на расстоянии 3σ/n . Итак,

33

M(x) 3 M(x) A KB n

— верхняя граница регулирования, а

M(x) 3 M(x) A KH

n

— нижняя граница регулирования.

Значения коэффициента А = 3/n .

Если математическое ожидание генеральной совокупности неизвестно, то для построения средней линии находят оценку, математического ожидания — общую

В этом случае из текущего процесса отбирают как можно больше выборок (к≈20...30) объемом п.

Если неизвестно стандартное отклонение σ генеральной совокупности, то его можно оценить с помощью среднего

выборочного значения s по формуле (4.17, [2]), т. е.

где A1 3/(C2 n).

34

По известным s и С2 легко вычисляются границы регулирования

для x-карты:

KB x A1s;KH x A1s.

Коэффициент А1 зависит от объема выборки.

Как отмечается в § 4.4 [2], неизвестное стандартное отклонение σ генеральной совокупности можно оценить с помощью средней величины размаха R. С учетом (4.22 [2]) имеем

вычисляются следующим образом:

KB x A2 R,KH x A2 R.

Значение А2 находят по табл. 7 Приложения [2] в зависимости от объема выборок п. Пользоваться табл. 7 Приложения для определения значений коэффициентов А1 и А2 можно только в случае установлений трехсигмовых

границ регулирования x-карты. Если на контрольные карты наносят границы регулирования, которые базируются на доверительной вероятности 0,9973, то в коэффициентах А1 и А2 число 3 (соответствующее трехсигмовым границам регулирования) заменяют соответственно другим числом. Как следует из табл. 1 Приложения [2], для функции Ф(α) это число при доверительной вероятности, например 0,9544, равно 2, что

35

соответствует двухсигмовым границам регулирования x - карты.

Чтобы получить более полное представление о ходе

производственного процесса, наряду с x-картой ведут либо s-карту, с помощью которой непрерывно контролируют стандартное отклонение, либо R-карту для контроля размахов выборок. При этом создание контрольных карт обычно начинают с изготовления карт для стандартных отклонений или размахов, а не с контрольных карт для средних, ибо к моменту начала контроля производства имеется мало исходных данных (или вообще не имеется) для оценки с и, следовательно, для создания х-карты.

Вычисление границ регулирования для s- и R-карт. Эти карты строятся так же, как и x-карта. Вначале наносят на карту

среднюю линию, соответствующую среднему значению s или R, а затем проводят параллельно средней линии верхнюю и нижнюю границы регулирования с требуемой доверительной вероятностью.

Если генеральная совокупность, из которой сделаны выборки, распределена по закону Гаусса, то при достаточно большом числе п стандартное отклонение σc распределения s связано со стандартным отклонением σ генеральной

совокупности соотношением s /n , или с учетом (4.14 [2])

ss C2 2n

Среднюю линию и границы регулирования s-карты вычисляют следующим образом.

36

Если значение σ генеральной совокупности известно,

то среднее значение s для s -карты равно C2σ. В этом случае границы регулирования

Если значение σ генеральной совокупности неизвестно, то сначала нужно вычислить с помощью

или

где

37

табл. 7 Приложения [2], по которой они определяются в зависимости от объема выборок только при трехсигмовых границах регулирования s-карты.

При n, меньшем 25, коэффициенты B1 ,В2 ,В3 , В4 по следующим формулам:

При этом учитывается асимметричность распределения, увеличивающаяся по мере уменьшения объема выборки.

Распределение размахов R выборок одинакового объема асимметрично, так как размах является положительной величиной и теоретически может принимать какое угодно значение. При малых объемах выборок s и R связаны тесной корреляционной зависимостью. Вследствие этого стандартное отклонение σR распределения размахов можно вычислить из стандартного отклонения а генеральной совокупности с помощью коэффициента, зависящего от п:

38

Значения коэффициента b2 приведены в табл. 7 Приложения [2].

Если известно значение σ генеральной совокупности, то среднее значение размахов, представляющее собой среднюю линию R-карты,

а границы регулирования

KB R 3 R d2 3b2 (d2 3b2) ;

KH R 3 R (d2 3b2 ) ;

Если значение σ генеральной совокупности неизвестно, то его оценку вычисляют по R с помощью (4.22) или (6.5) [2]. В этом случае границы регулирования

или

KB D4 R;KH D3 R,

(4.14)

где

Значения коэффициентов D1 ,D2 ,D3 , D4 приведены в табл. 7 Приложения [2]. Они зависят, как и b2 и d2, от

39

объема выборки п и действительны, если генеральная совокупность имеет гауссовское распределение или хотя бы приближается к нему.

Так как при малых объемах выборок распределения стандартных отклонений s и размахов R являются асимметричными, то при уменьшении п до 5...6 изделий получаются отрицательные значения для нижних границ регулирования. Поэтому при малых объемах выборок коэффициенты B1 ,В3, D1 ,D3 приравниваются нулю, а за нижние границы регулирования s- и R-карт принимаются их средние линии.

Несмотря на асимметричность распределений s и R, при небольших объемах выборок в большинстве случаев на практике пользуются формулами, выведенными для гауссовского распределения, поскольку точные формулы сложны для расчетов. Хотя в таких случаях и неизвестна вероятность того, что контрольная точка попадет за границы регулирования, но очевидно, что для статистически управляемого процесса эта вероятность очень мала [2].

Отметим, что между поведением средних и стандартных отклонений или размахов выборок, сделанных из гауссовской генеральной совокупности, отсутствует взаимосвязь систематического характера. Следовательно, контрольные карты для средних и стандартных отклонений или размахов независимы. В то же время s-и R-карты зависимы вследствие корреляционной связи между s и R, которая является тесной при малых объемах выборок [2].

40