Учебное пособие 800414

скорости охлаждения), то и при этом для каждого куска проволоки мы получим разные (хотя и очень близкие друг к другу) значения пластичности металла.

И наконец, в результате количественного эксперимента необходимо найти зависимость между откликом и факторами

– функцию отклика. Причем поскольку отклик – это случайная величина, то, с точки зрения теории вероятностей, его можно задать одним из параметров своего распределения, например математическим ожиданием.

Функция отклика – зависимость математического ожидания отклика от факторов.

В примере с проволокой – это зависимость математического ожидания величины пластичности стали от температуры отжига, скорости охлаждения и химического состава металла.

С учетом приведенного выше деления факторов на три группы, функцию отклика в самом общем случае можно записать в виде:

где – математическое ожидание отклика;

–контролируемые и управляемые факторы;

– контролируемые, но неуправляемые факторы;

–ошибка эксперимента, учитывающая влияние неконтролируемых факторов.

По тому, какой группой факторов располагает исследователь, количественный эксперимент в свою очередь можно разделить еще на два вида. Если в распоряжении экспериментатора нет управляемых факторов, то такой эксперимент носит название пассивного.

Пассивный эксперимент – эксперимент, при котором уровни факторов в каждом опыте регистрируются исследователем, но не задаются.

10

Поскольку при пассивном эксперименте исследователь не имеет возможность задать уровень ни одного из факторов, то при проведении опытов ему остается лишь "пассивно" наблюдать за явлением и регистрировать результаты. Планирование пассивного эксперимента сводится к определению числа опытов, которые необходимо провести исследователю для решения поставленной перед ним задачи, а конечной целью пассивного эксперимента в большинстве случаев является получение функции отклика в виде

Если же экспериментатор имеет возможность не только контролировать факторы, но и управлять ими, то такой эксперимент носит название активного.

Активный эксперимент – эксперимент, в котором уровни факторов в каждом опыте задаются исследователем.

Поскольку в этом случае экспериментатор имеет возможность "активно" вмешиваться в исследуемое явление, то естественно, что активный эксперимент всегда предполагает какой-либо план его проведения.

План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Поэтому активный эксперимент всегда должен начинаться с планирования.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего поставленным требованиям.

К требованиям, предъявляемым при планировании активного эксперимента, можно отнести степень точности и надежности результатов, полученных после проведения эксперимента, сроки и средства, имеющиеся в распоряжении исследователя, и т.д.

Целью активного эксперимента может быть либо определение функции отклика в виде:

11

либо поиск такого сочетания уровней управляемых факторов xi, при котором достигается оптимальное (экстремальное – минимальное или максимальное) значение функции отклика. В этом последнем случае эксперимент носит еще название поискового (экстремального) эксперимента.

Например, если в случае с разрушением проволоки мы бы поставили перед собой целью найти такое сочетание температуры отжига и скорости охлаждения, при которых пластичность металла была бы максимальной, то наш эксперимент стал бы поисковым.

И наконец, по условиям проведения различают лабораторный и промышленный эксперименты.

Лабораторный эксперимент. В лаборатории меньше влияние случайных погрешностей, обеспечивается большая "стерильность" условий проведения опытов, в большинстве случаев осуществляется и более тщательная подготовка, одним словом, выше "культура эксперимента". Как правило, в лабораторных условиях экспериментатор может воспроизвести опыт "одинаково" значительно лучше, чем в промышленности. Это означает, что при прочих равных условиях для установления некоторого факта на заводе потребуется выполнить значительно больше опытов, чем в лаборатории. Другое важное отличие – это большая возможность варьировать (изменять) уровни факторов. Когда в лаборатории исследуется химическая реакция, температуру по желанию можно менять в широких пределах, а в металлургических печах, напротив, если ее и можно менять, то в значительно более узком диапазоне и с большей осторожностью.

Промышленный эксперимент. В промышленных условиях обеспечить условия лабораторного эксперимента значительно труднее. Усложняются измерения и сбор информации, значительно большее влияние на объект исследования и измерительные приборы оказывают различного рода помехи (резко возрастает число неконтролируемых факторов), поэтому в промышленном эксперименте особенно необходимо использовать специальные статистические методы обработки результатов. Кроме того, на реальном действующем производстве всегда желательно по возможно меньшему числу измерений получить наиболее достоверные результаты.

12

2. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

2.1. Проверка воспроизводимости эксперимента

Основная цель теории планирования эксперимента (ТПЭ) – построение математической модели исследуемого в эксперименте процесса. Чтобы воспользоваться методами ТПЭ, нужно сначала убедиться, что эксперимент воспроизводим.

Под воспроизводимыми экспериментами понимаются такие, в процессе которых в любой момент времени объект исследования и измерительное оборудование можно вернуть в исходное состояние и эксперимент повторить. Например, испытывая двигатель и снимая его характеристики, можно предположить, что в любой момент или за относительно короткий отрезок времени можно вернуться к исходному режиму и воспроизвести его практически без каких-либо изменений.

Большинство экспериментов в науке и технике относится к невоспроизводимым. Наиболее яркий пример – исследование изнашивания детали какого-либо узла машины при испытаниях ее на надежность.

В процессе лабораторного или эксплуатационного эксперимента объект исследования деформируется, меняя форму, или уменьшается в размерах. Такое прогрессирующее ухудшение технического состояния объекта исследований не позволит исследователю воспроизвести состояние, в котором объект был в начале исследования.

Для проверки воспроизводимости эксперимента проводят несколько серий параллельных опытов.

Параллельные опыты – опыты, проведенные несколько раз при одних и тех же значениях факторов. Результаты опытов заносятся в табл. 2.1, где k – число параллельных опытов (обычно k = 2…4); N – число серий параллельных опытов.

13

Для каждой серии параллельных опытов вычисляют среднее арифметическое значение функции отклика:

Затем для каждой серии параллельных опытов вычисляют оценку дисперсии:

Так как результаты опытов являются величинами случайными, то значения функции цели в параллельных опытах в общем случае будут различными.

Далее нужно определить расчетное значение числа Кохрана Gp (критерий проверки воспроизводимости эксперимента), для этого находят максимальную из оценок дисперсии max и относят к сумме S2j

Продолжение табл. 2.1

Значения критерия Кохрана приведены в статистической таблице (Приложение 1). Они соответствуют доверительной вероятности Р = 0,95, с которой принимается гипотеза о воспроизводимости опытов.

Величина р = 1 – Р называется уровнем значимости. Для нахождения GT необходимо знать общее количество

оценок дисперсий N и число степеней свободы f, связанной с каждой из них, причем f = k 1.

Если выполняется условие:

Gp≤GT, (2.4)

то опыты считаются воспроизводимыми, а ряд дисперсий – однородным.

Если опыты невоспроизводимы, то можно попытаться достигнуть воспроизводимости выявлением и устранением источников нестабильности эксперимента, а также использованием более точных методов и средств измерений.

Наконец, если никакими способами невозможно достигнуть воспроизводимости, то математические методы планирования к такому эксперименту применять нельзя.

2.2. Общие положения ТПЭ

Вид функции отклика y = F(x1, x2 , ..., xn ) заранее

неизвестен. Для отыскания этой неизвестной функции предложена идея рассматривать не саму функцию, а ее разложение в какой-либо степенной ряд, например, ряд

15

Тейлора:

где 0 y(0,…,0) – значение функции отклика в начале координат;

На практике ограничиваются конечным числом членов разложения ряда (2.5), аппроксимируя функцию F полиномами первой или второй степени. Коэффициенты разложения находят по результатам экспериментов [1].

2.3. Кодирование факторов

Для простоты изложения примем y=F(x1, x2).

Пусть каждому фактору соответствует координатная ось (это можно сделать, так как факторы независимы). Образованное таким образом пространство называется факторным (рис. 2.1).

Отметим диапазоны изменения факторов: xi min –

нижний уровень; xi max– верхний уровень, i = 1, 2. Найдем середины этих диапазонов – основные уровни

и шаг варьированияфактора

16

Рис. 2.1. Переход от реальных факторов к кодированным

Перенесем начало координат в точку 0 (x10 , x20) и

перейдем к новым координатам по формуле

Назовем Xi – кодированными координатами. В кодированном виде верхний уровень любого фактора имеет значение “+1”, нижний – “- 1”, основной – “0”. Кодирование уровней факторов проводится для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных.

2.4. Рандомизация эксперимента

Для того, чтобы в известной мере компенсировать систематические погрешности эксперимента, используют прием, называемый рандомизацией. Он заключается в том, что опыты проводят в случайной последовательности, которая устанавливается с помощью таблицы случайных чисел.

17

Пусть, например, требуется рандомизировать во времени 6 опытов, обозначенных цифрами I, II,…,VI. Поставим им в соответствие любые 6 последовательных чисел, взятых в любой строке или в любом столбце таблицы случайных чисел [2]. Если при этом встретятся повторяющиеся числа, то их следует отбросить.

Например, могут быть получены следующие пары: I–60; II–12; III–05; IV–15; V–34; VI–30.

Расположив случайные числа в порядке возрастания (или убывания), получим искомую последовательность реализации опытов:

III, II, IV, VI, V, I (или I, V, VI, IV, II, III).

2.5. Метод полного факторного эксперимента

В методе полного факторного эксперимента (ПФЭ) ограничиваются линейной частью разложения (2.5) и членами, содержащими произведения факторов в первой степени.

Коэффициенты искомого уравнения определяют на основе экспериментальных данных и, следовательно, несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении вместо символов β, обозначающих истинные значения коэффициентов, пишут b, подразумевая под этим соответствующие выборочные оценки.

Итак, с помощью ПФЭ ищут математическое описание процесса в виде уравнения

y b0 b1 X1 b2 X2 ... bn Xn

(2.9)

b12 X1X2 ... bn 1 n Xn 1Xn.

Его называют уравнением регрессии, а коэффициенты – коэффициентами регрессии.

Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе полного факторного эксперимента варьируют

18

на двух уровнях, соответствующих значениям кодированных переменных +1 и –1.

Таким образом, полным факторным экспериментом называется система опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации верхнего и нижнего уровней факторов.

В табл. 2.2 приведены условия проведения опытов полного двухфакторного эксперимента. Часть таблицы, обведенная пунктиром, называется матрицей планирования.

Таблица 2.2

Полный двухфакторный эксперимент

Опыты, приведенные в табл. 2.2, соответствуют на факторной плоскости вершинам квадрата с центром в начале координат (рис. 2.2).

В табл. 2.3 приведены условия опытов полного трехфакторного эксперимента. Эти опыты соответствуют в факторном пространстве вершинам куба с центром в начале координат.

19