Учебное пособие 800287
.pdf10.10.а)
10.11.а)
10.12.а)
10.13.а)
10.14.а)
10.15.а)
10.16.а)
10.17.а)
10.18.а)
10.19.а)
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
dz ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
2 |
(z 1) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
3 |
dz |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
z 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
zdz |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5z |
2 |
dz |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
z 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4z |
3 |
dz |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
dz |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z 1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zdz |
|
||||||||
|
|
|
|
|
(z 1)(z 3) |
||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
9z3 |
|
|
|
dz ; |
|
||||||||||||||||||
|
z 5 |
|
|||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z |
2 |
dz |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||
z 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5z2 |
|
|
|
dz |
; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z |
|
2 |
z 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
;
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
dz . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
z |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
(z 2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
z |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
(z 3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
z 3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
z |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
(z 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
z 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
z |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
(z i) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|z| 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
|
|
sin izdz |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
(z i) |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|z| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
|
|
|
|
cos zdz |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
(z 1) |
2 |
(z |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|z| 3 |
|
|
2) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 z |
dz |
|
|
||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
(z |
2) |
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
z 2 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
zdz |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|||
|
|
|
|
(z |
|
|
|
1) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
z 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
|
|
|
|
ez dz |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
(z 3) |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
z 3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
19
10.20. а) |
|
|
|
2 |
dz |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
z |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10.21. а) |
|
|
|
z2 |
|
dz ; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10.22. а) |
|
|
|
|
z |
2 |
|
1 |
dz ; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
zdz |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
10.23. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
z 2 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10.24. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zdz |
2 |
|
; |
||||
|
|
|
|
(z |
2)(z |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
z 3 |
|
1) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7z |
3 |
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dz . |
|||||
|
|
|
|
(z |
4) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
z i |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zdz |
||||||
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
(z 3)2 (z 1) |
||||||||||||||
|
z 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
|
|
cos2z |
|
dz . |
||||||||||||
|
(z |
i) |
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
e |
z |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
б) |
|
|
z |
3 |
|
iz |
dz . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
z i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
z |
dz |
|
|
|
|
|||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
(z |
4) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z 4 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
Задача 11. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки
z0 0 |
функцию f z |
: |
|
|
11.1. |
f z ln cos z . |
11.2. f z |
1 |
. |
|
||||
2 z |
11.3. |
f |
|
11.5. |
f |
|
11.7. |
f |
|
z cos z, z0 4.
z |
1 |
. |
|
||
2z |
5 |
|
z |
1 |
. |
|
||
1 |
sin z |
11.4. |
f z |
11.6. |
f z |
11.8. |
f z |
2 |
. |
1 e |
|
z |
|
1 |
|
|
, z0 |
1. |
|
||||
3 z 2 |
||||
1 |
|
. |
|
|
1 z |
2 |
|
||
9 |
|
|||
|
|
20
11.9. |
f |
|
11.11. |
|
f |
11.13. |
|
f |
11.15. |
|
f |
11.17. |
|
f |
11.19. |
|
f |
11.21. |
|
f |
11.23. |
|
f |
z ln z, z |
1. |
0 |
|
z 4z 2 . z3 1
z ln 1 cos z .
z |
|
1 |
, z |
|
3. |
|
|
0 |
|||
5 2z |
|
|
|||
|
|
|
|||
z |
|
4z 3 |
|
. |
|
2 |
3z |
|
|||
z |
2 |
||||
|
|
|
|
|
z ln 1 sin z .
z z , z0 2.
z |
|
1 |
. |
1 |
z |
||
|
|
2 |
|
11.10.
11.12.
11.14.
11.16.
11.18.
11.20.
11.22.
11.24.
f z |
|
1 |
|
, |
|
z |
|
|
||
3 |
z |
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f z |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
||
1 z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
f z |
|
|
|
5 2z |
||||||
z |
2 |
5z |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f z |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
||
cos z |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
f z |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|||
1 e |
z |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f z |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
||
|
2 z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
f z e |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||
1 z |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
fz sin z ,
4
3.
. 6
z |
0 |
2. |
|
|
Задача 12. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0:
12.1. z2 sin |
|
|
z 1 |
|
, z0 |
= 0 |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
12.3. |
ze |
(z-1 ) |
, |
z0 = 1 |
|
|
||
|
|
|
|
12.5. sin |
z |
, z0 |
= 3 |
|
z 3 |
||||
|
|
|
12.7. sin |
z |
, z0 |
= 1 |
|
|
|
|||
z 1 |
|
z |
2 |
4z |
|
|
||
12.2. cos |
|
, z0 |
= 2 |
||||
(z 2) |
2 |
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
12.4. z сos |
1 |
, |
|
z0 = 2 |
|||
|
|
|
|||||
|
|
z 2 |
|
|
|
||
12.6. z2 sin |
z |
3 |
|
, z0 |
= 0 |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12.8. ze z 2 , |
z0 = 2 |
|
21
12.9. cos |
|
3z |
, |
|
z0 = I |
|
|
|||||
z |
i |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12.11. sin |
3z i |
, |
z0 = |
|
i |
|||||||
3z i |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
12.13. sin |
z i |
, |
z0 = I |
|
|
|||||||
z i |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12.15. z sin |
|
|
z |
3 |
|
z0 = 1 |
||||||
|
|
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
||
12.17. z 3 cos |
z 3 |
, z0 = 0 |
||||||||||
|
z |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12.19. z sin |
|
z |
|
, |
z0 = 1 |
|
||||||
z 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12.21. z sin |
|
|
z |
2 |
|
z0 = 0 |
||||||
|
|
|
|
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
12.23. sin |
|
2z |
, |
z0 = 4 |
|
|||||||
z |
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
4z |
|
|
|
|
|||||||
12.10. сos |
|
|
|
, |
z0 = 2 |
|||||||||||||
(z 2) |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12.12. sin |
|
|
5z |
, |
|
|
z0 |
= 2i |
||||||||||
z |
|
2i |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12.14. z e z 5 , |
z0 = 5 |
|
|
|
||||||||||||||
12.16. sin |
3z i |
, |
|
|
z0 |
= |
i |
|
||||||||||
3z i |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||
12.18. z cos |
|
|
|
|
z |
|
|
|
, |
z0 = 2i |
||||||||
|
z |
2i |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12.20. ze z 4 , |
z0 = 4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12.22. e z 3 , |
|
|
|
z0 = 3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
z |
2 |
|
4z |
|
|
|
|
|||||||
12.24. sin |
|
|
|
, |
z0 = 2 |
|||||||||||||
(z 2) |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13. Найти все особые точки функции делить их тип (для полюсов указать их порядок):
f
z
, опре-
13.1.а)
13.2.а)
|
|
z |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
z |
2 |
z 2i |
||
|
|
|
|
zi
z2 1 3 ;
;
б)
б)
e |
|
1 |
|
|
z |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
sin z |
. |
|||
|
z |
3 |
||
|
|
|||
|
|
|
.
22
13.3. а) |
|
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
z |
3 |
|
2z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.4. а) |
|
z e |
z i |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13.5. а) |
e |
z |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13.6. а) |
|
|
|
|
z2 1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
z2 z i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z 1 e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
13.7. а) |
1 z |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
13.8. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z 4i |
|
|
|||||||||||||
|
z 3 |
2 |
|
z 2i |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
13.9. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
z i |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13.10. а) |
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
z |
2 |
|
z |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.11. а) |
|
|
z |
i |
2 |
z |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13.12. а) |
|
|
|
|
|
|
cos z |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13.14. а) |
|
|
|
|
ez |
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||
z 2 2 z |
|
|
|
;
|
1 e |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
1 cos z |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
. |
|||||||
|
z |
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||||||
б) z2 sin |
1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z |
2 |
4 |
2 |
|
z i |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e |
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
sin z |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) cos |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
б) z cos |
|
. |
|
|
||||||||||||
z3 |
|
|
||||||||||||||
б) ctg πz. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
e |
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 2z
б) z 1 3 z 2 3 .
23
13.15. а) |
|
sin z |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z 1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.16. а) |
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
; |
|
||||||||
z |
|
2 |
3 |
z |
5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13.17. а) |
z |
3 |
sin |
4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z 2 |
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13.18. а) |
z 2 |
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.19. а) |
(e |
z |
1)(1 z) |
3 |
; |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
13.20. а) |
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
; |
|||||||
z |
|
|
4 z |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13.21. а) |
|
z |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
z |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13.22. а) |
z |
|
2 |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13.23. а) z 1 sin |
|
1 |
|
|
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
z 1 |
|
||||||||||||||||||
13.24. а) |
z |
3 |
sin |
|
|
z |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
z 2 |
|
. |
|
|
2 |
||
z z 1 z |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
z |
|
|
|
б) e |
z 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
(z i) |
2 |
(z |
2 |
|
4) |
. |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
|
|
cos z |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
z 1 z |
4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
б) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
e |
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
z 4 |
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
z |
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
ze |
|
z |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
z |
|
i |
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z 1 |
|
|
e |
z |
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
6. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
Задача 14. Найти вычеты функций в ее особых точках:
14.1.a)
14.2.a)
14.3.a)
14.4.a)
14.5.a)
14.6.a)
14.7.a)
14.8.a)
|
|
|
|
z2 1 |
|
|
|
; |
|
б) |
|||||
3z2 2z 1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
2 z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
б) |
||
|
3z 5 z i |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
z4 16 |
|
; |
|
|
|
|
|
б) |
|||||||
|
2 z 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
sin z |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|||||
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e |
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2z 2 |
|
; |
|
|
|
б) |
|||||||
z |
2 |
|
2z 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
2 |
2z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
; |
|
б) |
|||||||||
z |
2 |
|
4z 4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
cos z |
|
; |
|
|
|
|
б) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
|
2 |
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
e |
8 z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
z |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
2z |
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|||||||||
1 cos z |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
e |
i z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
z i |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos z |
|
|
; |
|
|||||||||
z |
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
sin 2z |
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
ze |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
z |
4 |
sin |
1 |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
z |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
z |
5 |
cos |
1 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
z |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
z |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
ze |
z 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
z |
2 |
sin |
2 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
z |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) z |
|
sin |
1 |
|
1 |
|
. |
|||||
|
|
z |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
||
1 |
|
cos |
1 |
1 |
|
. |
||||||
в) |
|
z |
|
|||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
|
z |
2 |
3z |
|
||
14.9. a) |
|
|
|
|
|||
z |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
||
14.10. a) |
|
z |
3 |
; |
|||
z |
2 |
9 |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
;
б)
б)
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
z |
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
z3
4z 6 2
;
;
в)
в)
1 |
|
1 |
|
||
e |
|
z |
1 |
||
|
|
|
|
||
z |
|
|
|
||
ze |
3 |
z 1 |
|||
z |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
.
.
14.11.a)
14.12.a)
14.13.a)
14.14.a)
14.15.a)
14.16.a)
14.17.a)
|
|
|
|
e |
z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2z |
2 |
5z |
|||||||
|
|||||||||
z 1 |
|
|
; |
|
|||||
z z |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z i |
|
|
; |
|
|||||
z |
2 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos z |
|||||||||
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2z |
|
; |
|||||||
1 4z |
2 |
|
|||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
1 e |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z 1 |
|||||||||
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
; |
|
;
; б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
z |
3 |
|
|
|
|
e |
2 z |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
z |
4 |
|
; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
; |
|
|||
|
z i |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
cos z 1 |
; |
||||||||
|
|
|
|
2z |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
e |
z |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
|
z i |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
sin 2z |
; |
|
|
||||||
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z2 3z |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
z3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z |
2 |
3z |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
9z |
2 |
|
27z |
|||||||
|
|
|
27
в)
в)
в)
в)
в)
в)
;в)
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
z |
2 |
e |
z |
2 |
1 |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
z |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z |
2 |
sin |
|
1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
z |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
3 |
cos |
2i |
. |
||||||
|
|
|
||||||||
|
z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 sin |
1 |
|
||||||||
z |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos |
1 |
1 |
||||||||
z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
z |
sin |
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
||
z |
4 |
cos |
|
1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
z |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
26
14.18.a)
14.19.a)
14.20.a)
14.21.a)
14.22.a)
14.23.a)
14.24.a)
|
z |
2 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z i |
2 |
; |
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 9 |
|
; |
|||||
z 3 2 |
|
|||||||
|
z |
2 |
2z |
|||||
z |
|
|
||||||
2 |
4z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
2z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
z |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|||||
z |
|
2z 4 |
||||||
2 |
4z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z2 3 |
; |
|||||||
z 1 2 |
4
1
4
;
;
;
|
|
|
|
|
cos |
1 |
1 |
|
z |
2 |
2iz 1 |
|
|
z |
|||
|
|
|
|
|
||||
б) |
z i |
; |
в) |
|
. |
|||
|
|
5 |
||||||
|
|
3 |
|
|
z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
б)
б)
б)
б)
б)
б)
|
z2 4 |
|
; |
|||||
z 2i 3 |
||||||||
|
z |
2 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
z i |
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
z |
4 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
z |
|
|
|
|||||
|
1 |
3 |
|
|
||||
sin 3z |
; |
|
|
|||||
|
|
z |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
cos z |
; |
|
||||||
|
|
|||||||
1 z 2 |
|
|||||||
e |
2 z |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
в) |
в) |
z |
|
2 |
в) |
z |
|
в) |
|
в) |
|
ze |
4 |
z 4 |
|
|
|||||||||
|
z |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|||||
|
z |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
z |
1 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
cos |
3 |
1 |
|
. |
||||||||
|
|
z |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin |
2 |
|
2 |
|
. |
||||||||
|
z |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||
|
z cos |
|
1 |
|
. |
|
|
|||||||
|
z 1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
z sin z 1 .
Задача 15. Используя основную теорему о вычетах, вычислить интегралы:
15.1. а) |
cos z2 1 |
|
б) |
ez 1 |
||
|
|
dz ; |
|
dz . |
||
z3 |
z2 z |
|||||
|z| 1 |
|
|
|
|z| 4 |
|
|
27
|
|
|
|
(z 1)dz |
|
|
|
|
|
|
|
1 sin |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
15.2. а) |
|
|
|
; |
|
б) |
|
|
|
z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
z(z 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
dz. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|z i| 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|z| 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 2z 3z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|||||||||||
15.3. а) |
dz ; |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(z 4)(z 1) |
|||||||||||||||||||||||
|
|z| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|z 1| 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3z |
4 |
|
|
2z |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
z |
2 |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
15.4. а) |
|
|
|
|
dz ; |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
iz |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|z| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
zdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 z |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
15.5. а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
б) |
|
|
|
|
|
dz . |
|
|
||||||||||||||||
(z |
i)(z |
2) |
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z |
3 |
|
|
|
|
|z| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin z |
2 |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z sin z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
15.6. а) |
|
|
; |
|
|
|
б) |
|
|
dz . |
|
||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
(z i) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2z |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|z| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15.7. а) |
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
dz |
; |
б) |
|
|
|
cos(iz) 1 |
dz . |
|||||||||||||||||||
(z |
1)(z |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z 4 |
|
|
|
|
|z| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.8. а)
|
15.9. а) |
15.10. а)
15.11. а)
15.12. а)
15.13. а)
|
|
1 3z |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
dz ; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(z |
|
2) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z| 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z |
|
|
3z |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
dz ; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
3z |
3 |
5z |
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dz |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
5 |
|
|
|
|
|||||
|z| 0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
e |
z |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
z |
(z |
2 |
|
9) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|z| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(z2 1)(z2 |
4) |
||||||||||||||||
|z 1| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1 z2 )(z 3)2 |
||||||||||||||||
|z 2| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б)
;
;
;
|z| 1
cos z 1 |
dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
1 |
|
|
|
|
|||||
б) |
|
|
|
|
(z |
2 |
4) |
2 |
dz . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z 2i 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
e |
3iz |
dz |
|
|
|
|
|
||||||
б) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z 2 |
z |
|
|
(z 9) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
dz |
|
|||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
(z |
1)(z 2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|z 2| 0,5 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
|
|
3z sin 3z |
dz . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|z| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
|
|
2 sin z |
|
dz . |
|
|||||||||||
|
|
z(z 2i) |
|
|||||||||||||||
|
|z| 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
28