Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800287

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

				0,1		1	i
4.16.		e				2		;


4.17.	sin					i			;
					6

4.18.				2			i			;
	ch
							6
4.19.	th		1			i			;
						3

cth		1		i
cth		1		4
				4
ln 3 i
e	2(1 i )
e
			1 i
ln
			1 i

4.20. sin(		2i);
	2
4.21.	ch 2 i ;

(1 i )
e 2
	2 i
ln
	2 i

4.22.	ctg			2i
			4

4.23.	sh	1 i			;
			2

4.24. cos 2i ;

				(1 2i)
	;	e	2	(1 2i)
	;	e


ln		1 2i
ln		1 2i
		1 2i

e 1 34 i

Задача 5. Представить в алгебраической форме:

	5.1. а) cos(
	5.1. а) cos(	6
		6
	5.2. а) sin(
	5.2. а) sin(	3
		3



i);

2i);

б) Arcth	4 3i	; в) ( 1)	4i

	5

б) i3i; в) Arth	3 i2	3
б) i3i; в) Arth	7
	7

5.3. а) 12i; б) Arcctg

3 3i

;

в) ln( 2 + 5i)

5.4. а) ch(

i);

б) Arctg

4 3i

;

в)

( 1)

5.5. а) Ln(1 i);

б)

(

3 i)

;

в) cos 2i

5.6. а) cos(

3i);

б) Arsh( 4i);

в) ( i)

5.7. а) sin(

3i); б) Arccos( 5);

в) ln(3 2i)

5.8. а) Ln( 1 i);

б) Arcth

3 i2

;

в)

(1)

5.9. а) ch(1+

);

б) Arctg

3 3i

;

в) ( 3)1 i

5.10. а) sh(3 +

i); б) Arth

4 3i

;

в)

5.11. а) sin(

5i);

б) Arctg

3 8i

;

в)

5.12. а) cos(

2i);

б) Arcth

8 i3

;

в)

5.13. а) Ln( 1 + i);

б) Arctg

3 4i

;

в)

		i
e	3	i
	3

1 2i

						в) ctg i
5.14. а) Ln(1 +		3 i); б) Arch 3i;				в) ctg i
5.15. а) ch(1 i);			б) Ln	1 i	; в) 2		i 1
							i 1
				2
				2
5.16. а) sh(1 +	i);		б) ( 1 i)4i ;			в) Ln(6 3i)
	2

5.17. а) Ln(	3	+ i); б) sh(1		i); в) (1 i)	2i

			2

5.18. а) cos(		i);	б) Ln( 3 i			3 );			в) Arctg(1i)
5.18. а) cos(	4	i);	б) Ln( 3 i			3 );			в) Arctg(1i)
	4
5.19. а) sin(		i);	б) Arth	3 i2			3	;	в) ( 2)	2
										2
	3				3
	3				3
5.20. а) Ln(1 + i); б) Arсctg					4 3i	;	в)		1 i
5.20. а) Ln(1 + i); б) Arсctg					5	;	в)		(1 i)
					5
5.21. а) ch(2+		i);	б) Arcth		3 4i	;		в)	32 i
		2			5
5.22. а) cos(		+ 2i);	б) Arcsin 4;			в)			1 i
5.22. а) cos(	6	+ 2i);	б) Arcsin 4;			в)		(3 4i)
	6

5.23.а) sh(2 +

5.24.а) Ln 6;

	i); б) Arctg		2	3
4				3

б) Arch( 2);		в) ( 1)

; в) Ln

1 i 2

3. ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Задача 6. Проверить,

ности функции w f z	z
ти её производную:

выполняются ли условия аналитич-x iy . Если выполняются, то най-

6.1. 6.3. 6.5. 6.7. 6.9.

w e3z .

w z Im z

w ez2 . w Ln z . w cos z .

6.2. w i z sin z 6.4. w z z . 6.6. w z Im z . 6.8. w sin z . 6.10. w sh z .

6.11. 6.13. 6.15. 6.17. 6.19. 6.21. 6.23.

w w w w w w w

ch z .

sin z 1 .

z e			z	.

z	3	.

z sin z . z sin z .

z	2	3z .

6.12. 6.14. 6.16. 6.18. 6.20. 6.22. 6.24.

w 2z z .

w sh z 3i . w z sh z .

w z ch z .

w z2 cos z . w cos z i . w z ch z .

Задача 7. Восстановить аналитическую функцию f при данном начальном условии, если заданная функция u x, (или v x, y ) является действительной (мнимой) её частью:


7.1.	u x	3	6x				2		y 3xy					2			2 y	3	,	f (0)

7.2.	u x	3	3xy					2			x	,		f (1) 0 .

7.3.	v y(2x 1) ,										f	(0) 1.
7.4.	v x	2	y			2	y ,						f (1) i 1.

7.5.	u x	3	3xy					2			x	2	y			2	,	f (1) 2 .

7.6.	u 3(x			2	y			2		) 2xy					,		f (0) 0.

7.7.	v 3x		2	y y					3		1	,		f (0) i .

7.8.	v xy		,		f (0) 0.
7.9.	u x	2	y			2	x ,						f (i 1) i 1.

7.10. u x			2	y			2		2xy ,						f 0) i .

7.11. v 3xy x ,											f (1) 1 i .
7.12. v x2 y 2									2xy y ,								f (i) 0 .
7.13. u x2				y 2					xy ,						f (0) 0.

7.14.	u
7.15.	v
7.16.	v

x(1

3x2 y

y) ,
y	3

4xy ,


f (0)		0.
y ,	f (0)
f (0)		0.

7.17.	u
7.18.	u
7.19.	v
7.20.	u
7.21.	u

   


x		3		3xy		2			5 ,		f

4x		3		12xy				2		x ,

2e	x		cos y 2x 3y

3x				2	y y		3			2x	,

2x		3		6xy		2			x 1,

(i) 1.
f (i) i .
,	f (0) 0.

f(i) i 1. f (0) 1.

7.22.	u x	2

7.23.	v 2
7.24.	u x( y

Задача

поворота при

y		2	x 2xy 1,				f (i)

y	3	3x		2	y ,	f (i) i .

1)		,		f (0) 0.

8. Определить коэффициент отображении w в точке z0:

растяжения и угол

8.1.w = z3 + 6z, z0 = 1 i

8.2.w = z2 2z, z0 = 2 i

8.3.w = z2 + 2z, z0 = 2 i

8.4.w = z2 2z, z0 = 2 + i

8.5.w = z2 + 2z, z0 = 2 + i

8.6.w = z2, z0 = 1 + i

8.7.w = z2, z0 = 2 2i

8.8.w = z2, z0 = 2 + 2i

8.9.w = z3 2z, z0 = i

8.10.w = z3 + 2z, z0 = i

8.11.w = z3 + 2z, z0 = 1 i

8.12.w = 3z2 2z, z0 = i

8.13. w =

1 z

, z0 = 3i

8.14.w = 3z2 + 6z, z0 = 1 2i

8.15.w = z3, z0 = 1 + i

8.16. w = 3z2	+ 4z, z0	= 1 +		1
				3

8.17. w = 3z2	4z, z0	= 1	1	i
			3

8.18. w = z2, z0 =		2 + i		2

8.19.w = 3z2 + 2z, z0 = i

8.20.w = z3, z0 = 1 i

8.21.w = z3, z0 = 2 i

8.22.w = z2 2z3, z0 = 1 i

8.23.w = z2, z0 = 2 i2

8.24.w = z3 + z, z0 = 1 i

4. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО

ПЕРЕМЕННОГО

Задача 9. Вычислить интегралы:

9.1.а)

б)

			y
z Re zdz ,		L:	y
L
(cos z 3z	2	)dz;
(cos z 3z		)dz;
C

x	3	от z1	0

С:|z|=1, Imz≥0.

до z2 = - 1 + i .

Обход против часовой

стрелки.
9.2. а)		z Im zdz		,
9.2. а)				,
	L
б)		2	dz,
б)		z Re z	dz,
	C

L: прямая

C : z 1,

от

z	0
1
z 0.

до

z	2	= 2 + i
	2

(1 2z )dz ,

x y

9.3. а)

от

до

= 1 - i .

б)

z 4,

Re z 0.

zdz, C :

9.4. а)

(i z )

dz , L:

прямая

от

до

= - 1 - i .

z dz,

C : z

arg z

б)

(1 i z

9.5. а)

)dz , L: прямая от z

до

= 1 + i

б) z Im z2dz,

C : z 1 3, Re z 0.

9.6.а)

б)

ò	(	z3	)
		z3	+ 1 dz,
ABC
sin iz z dz,
C

ABC - ломаная:{z		A	= 0, z	B	= 1 + i, z	= i }
		A		B	C
C : z 1,	Re z 0.

9.7. а)

(1 L

z )dz

, L: прямая от

z	0
1

до

z	2	= -2-4i
	2

б)		Im	z	dz
			z

	C

стрелки.

C : z

Re z

. Обход против часовой

9.8. а)		(1 i z )	2	dz	, L: прямая от				z1 i 1
		(1 i z )		dz

	L
б)		z Re zdz ,		C : z 2		,		arg z		3	;
							2			2

	C
	C

		Re zdz		1	0			2
9.9. а)			, L: прямая от	z	0	до	z
	L

б)		z Im zdz , C : z 1	, arg z		;
	C			2
	C

до z2 =2+2i .

= 2+2i .

9.10.а)

б)

9.11.а)

Re zdz , L:		y x	2	от z1 0 до z2	= 1+i .
Re zdz , L:		y x		от z1 0 до z2	= 1+i .
L

	z Im zdz , C : z 2			, 0 arg z ;
C
				1		2
	Im zdz , L:	прямая от z 0 до			z		= 1+2i
L

б)

z zdz C

C : z

Re z

. Обход против часовой

стрелки.


9.12. а)	(2i z )dz
9.12. а)
	L

, L:

y x2

от

z	0
1

до

z	2	= 3 9i
	2

б)

9.13.а)

б)

9.14.а)

z Re zdz;

C: |z|=1. Обход против часовой стрелки.

z Re zdz

, L:

прямая от

z 0

до

= 1+i .

AB : y x ,

zA 0

zB 2 2i ;

Re zdz ,

z Im zdz

, L: прямая от

z 0

до

= 4+2i .

б)

	\| z \| dz;
AB

AB-нижняя дуга окружности |z|=2, zA=2, zB=-2.

9.15. а)

z L

Re zdz

, L: прямая от z1 i 1 до

z	2	= 2+2i
	2

б)

9.16.а)

б)

9.17.а)

zdz; C: |z|=1.Обход против часовой стрелки.

C
	Re zdz;		ABC – ломаная: zA=0, zB=1+i, zC=i.
	Re zdz;		ABC – ломаная: zA=0, zB=1+i, zC=i.
ABC
ò		z
ò	(z -	1)e dz,		L : { z - 1 = 1,Im(z) ³	0 }
	(z -	1)e dz,		L : { z - 1 = 1,Im(z) ³	0 }
L
z Im zdz ,			L:	прямая от z1 0	до z2 = -1-2i .
L

б)

9.18. а)

	\| z \| dz;
	AB–нижняя дуга окружности \|z\|=1, zA=-1, zB=1.
AB
	(1 2z )dz , L:	y x	2	от	1	0	до z	2	= -2+4i .
	(1 2z )dz , L:	y x		от	z	0	до z		= -2+4i .
L

б)

9.19.а)

б)

9.20.а)

| z | dz; AB-полуокружность |z|=1, Imz≥0, zA=1, zB=-1.

AB
(i z ) dz , L: прямая от			z1 0	до	z2		= -2-i .
L

	z z dz , L: z = 1, Imz 0
L
	(i 2z )dz		1			2
	(i 2z )dz	, L: прямая от	z 0	до	z		=-2-2i .
		, L: прямая от	z 0	до	z		=-2-2i .
L

б)

9.21.а)

б)

9.22.а)

б)

ydz; C: |z|=1 Обход против часовой стрелки.

2z )dz

прямая от

z 0

до

= 2+4i

z z)dz

, C – дуга окружности z =1, y 0.

(1 z

)dz ,

y x

от

z 0

до

= 2+4i .

z zdz ; L: z = 4; Re z 0

9.23. а)

ò (z	2	+ 7z + 1)dz,
ò (z		+ 7z + 1)dz,
AB

AB -	отрезок прямой : {z	A	= 0, z	B	= 1 -	i }
		A		B

б)

9.24.а)

б)

	z	1, Im z 0 , ВС–отрезок, zB=1, zC=2
	Re dz ; АВ: z
АВС	z

ò (z + 1)ez dz, L : { z = 1, Re(z) ³ 0}

(сosiz 3z2 )dz , L: z = 1, Imz 0

Задача 10. Вычислить интегралы, используя интегральную теорему Коши:

10.1.а)

10.2.а)

z 13

z 2

	9z		3
	9z				dz
z 11					dz
z 11
	dz			;
z	2	1		;
z		1

;

б)

z 1

z 2

			z 1			dz
z	2		(z 2)			dz
	2

			z	dz
			e	dz
		(z 2)			3
1		(z 2)
1

10.3.а)

10.4.а)

		7z		2
		7z			dz ;
		z 5

z 6
z 6
			21z		2
			21z		dz
			z		dz
z 1	2				3
					3

;

б)


	\|z 1\|
		z
	z 1	z
	z 1

			e		z	dz
			e			dz		.
z(z 1)							2	.
							2

e	z		dz
e			dz			.
		2				.
(z		2		4)
(z				4)

10.5.а)

10.6.а)

10.7.а)

10.8.а)

z 3

z 1

z 2

z 4

z(z2 4)

z 1			dz ;
z 2

e	z	dz

z(z	2		1)

7z2 dz ; z 2

;

б)

ez dz

z 2 1

б)

zdz

(z 1)

z 2 1

б)

zdz

dz .

25)

z 6

б)

sinz

dz .

z 2

10.9. а)

z 2

		dz
z	2	(z 1)
z		(z 1)

;

sh z dz

б) . z 2 (z 2 i)3

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20221.25 Mб2Учебное пособие 800282.pdf
#
01.05.20221.25 Mб2Учебное пособие 800283.pdf
#
01.05.20221.28 Mб2Учебное пособие 800284.pdf
#
01.05.20221.31 Mб1Учебное пособие 800285.pdf
#
01.05.20221.32 Mб3Учебное пособие 800286.pdf
#
01.05.20221.32 Mб6Учебное пособие 800287.pdf
#
01.05.20221.33 Mб4Учебное пособие 800288.pdf
#
01.05.20221.34 Mб2Учебное пособие 800289.pdf
#
01.05.2022316.82 Кб2Учебное пособие 80029.pdf
#
01.05.20221.34 Mб9Учебное пособие 800290.pdf
#
01.05.20221.35 Mб5Учебное пособие 800291.pdf