Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Математика

Файл:

Функции комплексного переменного. методические указания для выполнения индивидуальных домашних заданий по дисциплине Математика. Бондарев А.В., Ряжских А.В

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

10.10.а)

10.11.а)

10.12.а)

10.13.а)

10.14.а)

10.15.а)

10.16.а)

10.17.а)

10.18.а)

10.19.а)

z 2

dz ;

(z 1)

z 2

;

z 1

sin

zdz

;

z 2 2

;

z 3

;

z 1

zdz

(z 1)(z 3)

9z3

dz ;

z 5

;

z 2

5z2

;

z 3

;

cos

z 1

б)

dz .

б)

(z 2)

z 2 1

б)

(z 3)

z 3 1

б)

(z 1)

z 13

б)

(z i)

|z| 2

б)

sin izdz

(z i)

|z| 2

б)

cos zdz

(z 1)

|z| 3

2 z

б)

z 2 1

sin

zdz

б)

z 1 1

б)

ez dz

(z 3)

z 3 1

10.20. а)

;

10.21. а)

dz ;

z 1

10.22. а)

dz ;

sin

zdz

10.23. а)

;

z 2 2

10.24. а)

zdz

;

2)(z

z 3

б)

dz .

z i

б)

zdz

(z 3)2 (z 1)

z 1 3

б)

cos2z

dz .

z 2

б)

dz .

z i 3

б)

z 4 1

5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Задача 11. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

z0 0	функцию f z	:
11.1.	f z ln cos z .	11.2. f z	1	.

			2 z

11.3.	f
11.5.	f
11.7.	f

z cos z, z0 4.

z	1	.

2z		5
z	1	.

1	sin z

11.4.

f z

11.6.	f z
11.8.	f z

2	.
1 e	.
z

1			, z0	1.

3 z 2
1		.
1 z	2
		9

11.9.	f
11.11.		f
11.13.		f
11.15.		f
11.17.		f
11.19.		f
11.21.		f
11.23.		f

z ln z, z	1.
0

z 4z 2 . z3 1

z ln 1 cos z .

z		1	, z		3.
				0
5 2z

z		4z 3			.
	2	3z
z				2

z ln 1 sin z .

z z , z0 2.

z		1	.
z	1	z	.
		2

11.10.

11.12.

11.14.

11.16.

11.18.

11.20.

11.22.

11.24.

f z		1			,		z
f z	3		z		,		z	0
	3

f z				1					.
f z	1 z								.
								3
f z				5 2z
f z	z		2	5z
	z			5z

f z			1				.
f z	cos z						.
	cos z
f z			1				.
f z	1 e					z	.
	1 e

f z					1				.
f z		2 z							.
								2
f z e			1		.
f z e		1 z			.
		1 z

fz sin z ,

. 6

z	0	2.
	0

Задача 12. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0:

12.1. z2 sin					z 1	, z0	= 0
12.1. z2 sin						, z0	= 0
					z

			2
12.3.	ze	(z-1 )		,	z0 = 1
12.3.	ze			,	z0 = 1

12.5. sin	z	, z0	= 3
	z 3

12.7. sin	z	, z0	= 1

	z 1


	z	2	4z
12.2. cos	z		4z		, z0	= 2
12.2. cos	(z 2)			2	, z0	= 2
				2

12.4. z сos	1	,	z0 = 2

	z 2
12.6. z2 sin	z	3	, z0	= 0

		z
1

12.8. ze z 2 ,		z0 = 2

12.9. cos

z0 = I

12.11. sin

3z i

z0 =

3z i

12.13. sin

z i

z0 = I

z i

12.15. z sin

z0 = 1

12.17. z 3 cos

z 3

, z0 = 0

12.19. z sin

z0 = 1

z 1

12.21. z sin

z0 = 0

12.23. sin

z0 = 4

12.10. сos

z0 = 2

(z 2)

12.12. sin

= 2i

12.14. z e z 5 ,

z0 = 5

12.16. sin

3z i

12.18. z cos

z0 = 2i

12.20. ze z 4 ,

z0 = 4

12.22. e z 3 ,

z0 = 3

12.24. sin

z0 = 2

(z 2)

Задача 13. Найти все особые точки функции делить их тип (для полюсов указать их порядок):

, опре-

13.1.а)

13.2.а)

		z	2	4
			2
z	2	z 2i
	2

z2 1 3 ;

;

б)

e		1
	z		1

sin z				.
	z		3

13.3. а)

z 1

;

13.4. а)

z e

z i

;

13.5. а)

;

13.6. а)

z2 1

;

z2 z i

z 1 e

13.7. а)

1 z

;

13.8. а)

2z 4i

z 3

z 2i

13.9. а)

z 1

;

z i

13.10. а)

sin z

;

13.11. а)

;

13.12. а)

cos z

;

13.14. а)

;

z 2 2 z

;

	1 e						z
б)	1 e										.
б)					z						.
					z
б)	1 cos z												.
б)						z	2						.
							2

б)							z 2									.
б)		z										z		2		.

							1								1
б) z2 sin									1		.
б) z2 sin											.
									z
б)											1
б)	z			2		4						2		z i
												2


	e		z			1
			z
б)	sin z										.
	sin z
б) cos						1	.
б) cos						z	.
						z
							2
б) z cos												.
б) z cos								z3				.
б) ctg πz.
б)			1							.
б)	e	z					1			.
	e						1

z2 2z

б) z 1 3 z 2 3 .

13.15. а)

sin z

;

z 1 z

13.16. а)

z 2

;

13.17. а)

sin

;

z 2

13.18. а)

z 2

;

13.19. а)

1)(1 z)

;

13.20. а)

z 2

;

4 z

13.21. а)

;

sin z

13.22. а)

;

13.23. а) z 1 sin

;

z 1

13.24. а)

sin

;

б)		z 2		.
б)			2	.
z z 1 z			2
			2
	z
б) e	z 2	.
б) e		.

							z		2		1
									2
б)	(z i)								2		(z				2		4)			.
									2						2

б)			cos z											.
б)	z	2	z											.
	z		z

б)						z 2													.
б)	z 1 z														4				.
																		2
	б)					1							.
	б)		e		z		1						.
			e				1

	б)						z 4											.
	б)		z			z				2								.
				2											2
				2
							4
	б)		ze				z	3		.
	б)		ze							.

	б)						z			i								.
	б)															2		.
					z		2			1						2
					z					1

	б)												z							.
	б)											3								.
				z 1								3			e		z	1
																	z

6. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ

Задача 14. Найти вычеты функций в ее особых точках:

14.1.a)

14.2.a)

14.3.a)

14.4.a)

14.5.a)

14.6.a)

14.7.a)

14.8.a)

z2 1

;

б)

3z2 2z 1

2 z

;

б)

3z 5 z i

z4 16

;

б)

2 z 2

sin z

;

б)

;

б)

2z 2

;

б)

2z 1

;

б)

4z 4

cos z

;

б)

;

8 z

;

1 cos z

;

i z

;

z i

cos z

;

sin 2z

;

в)	ze		2	.
в)	ze		z	.
			z
в)	z	4	sin				1		.
		4
							z
							z
в)	z	5	cos				1		.
		5
							z
							z
	e	3	1
	e	z	1
		z
в)			z				.
			z
			1
в)	ze		z 1			.
в)	ze					.
в)	z	2	sin				2		.
		2
							z
							z
в) z		sin			1					1	.
в) z		sin				z					.
						z				z
1		cos				1		1			.
в)		cos				z		1			.
z						z

		z	2		3z
14.9. a)		z			3z
14.9. a)	z			3
					2
14.10. a)			z		3	;
14.10. a)		z		2	9	;
		z			9

;

б)

sin z
		2
z
	2

4z 6 2

;

в)

1			1
e			z	1
			z
z
ze	3	z 1
ze	z	z 1
	z
		z	3
		z

14.11.a)

14.12.a)

14.13.a)

14.14.a)

14.15.a)

14.16.a)

14.17.a)

				e			z
				e
2z		2	5z
2z			5z
z 1								;
z z					2			;
z z

z i							;
z	2			1			;
z				1

1 cos z
		z	3
		z
1 2z									;
1 4z						2			;
						2

1 e
			z
	z	2				;
		2

cos z 1
		z	3
		z

3	;

;

; б)

б)

z	3
	3

	e	2 z				1
		2 z
			z			4		;
						4

						z
			e						;
	z i								;
								2
	cos z 1									;
				2z			4			;
							4

		e			z
		e							;
	z i								;
								2
	sin 2z							;
			z			3		;
						3

	z2 3z								;
				z3					;
				z3
		z		2		3z
		z				3z
9z			2			27z
9z						27z

в)

;в)

			1
z	2	e	z	2	1
z		e			1

			z						.
			z
z	2	sin				1			.
	2
						z	2
							2

z	3	cos				2i			.
	3
						z
						z
1 sin						1
1 sin						z
						z			.
			z						.
			z
cos			1		1
cos			z		1
			z						.
			z						.
			z
	3				2
z	3	sin						.
z		sin						.
					z
z	4	cos				1			.
	4
						z		2
								2

14.18.a)

14.19.a)

14.20.a)

14.21.a)

14.22.a)

14.23.a)

14.24.a)

	z	2		1
		2
z i						2	;
z i

	z2 9							;
z 3 2								;
	z		2		2z
z	z				2z
z	2	4z
	2
		z		3	1
				3
z	2	2z
	2
	z	4		1
		4
						2	;
	z
	z	1
z		2z 4
z	2	4z
	2
3z2 3							;
z 1 2							;

;

					cos	1		1
z	2	2iz 1				z

б)	z i		;	в)				.
							5
		3			z

б)

	z2 4							;
z 2i 3								;
	z		2		1
			2
z i							;
						3
	z		4		1
			4
							;
	z
	z			1		3
sin 3z						;
		z			3	;
					3

cos z							;

1 z 2
e	2 z
e					;
z		2			;
		2

	в)
	в)
в)	z
	2

в)	z
	в)
	в)

	ze				4	z 4
	ze				z	z 4
					z
						z		3					.
								3

							9
	z				e		9
	z		2		e		z	1 .
			2


3				cos				3	1				.
				cos				z	1				.
								z
		sin				2				2		.
		sin				z						.
						z				z
	z cos							1			.
	z cos						z 1				.
							z 1

z sin z 1 .

Задача 15. Используя основную теорему о вычетах, вычислить интегралы:

15.1. а)	cos z2 1		б)	ez 1
		dz ;			dz .
	z3			z2 z
\|z\| 1			\|z\| 4

(z 1)dz

1 sin

15.2. а)

;

б)

z(z 4)

dz.

|z i| 8

|z| 3

1 2z 3z

15.3. а)

dz ;

б)

3 .

(z 4)(z 1)

|z| 1

|z 1| 1

15.4. а)

dz ;

б)

dz .

|z| 1

z i

zdz

2 z

15.5. а)

;

б)

dz .

i)(z

|z| 1

sin z

z sin z

15.6. а)

;

б)

dz .

(z i)

|z| 2

15.7. а)

z 1

;

б)

cos(iz) 1

dz .

1)(z

z 4

|z| 1

15.8. а)

15.9. а) |

15.10. а)

15.11. а)

15.12. а)

15.13. а)

1 3z

dz ;

z| 3

dz ;

z| 1

|z| 0,5

;

|z| 1

(z2 1)(z2

|z 1| 2

(1 z2 )(z 3)2

|z 2| 2

б)

;

|z| 1

cos z 1

dz .

б)

dz .

z 2i 3

3iz

б)

z 2

(z 9)

б)

1)(z 2)

|z 2| 0,5

б)

3z sin 3z

dz .

|z| 1

б)

2 sin z

dz .

z(z 2i)

|z| 1

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика