Учебное пособие 800276

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

4.1. Лабораторная работа № 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ И УГЛОВ ПОВОРОТА ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ДВУХОПОРНОЙ БАЛКИ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ

Цель работы: рассчитать теоретические значения углов поворота опорных сечений и прогибы поперечных сечений балки и сравнить их с величинами, полученными опытным путём.

Изгиб называют прямым в том случае, когда нагрузки действуют в главной плоскости, проходящей через ось балки и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения. Ось балки при этом изгибается в плоскости действия нагрузок. Изогнутую ось балки называют упругой линией. Перемещение поперечных сечений балки при изгибе характеризуют следующими двумя величинами: прогибом y и углом

поворота сечения .

Прогибом сечения y называют перемещение центра тя-

жести сечения в направлении нормали к недеформированной оси балки.

Углом поворота сечения называют угол, на который плоскость сечения поворачивается относительно нейтральной линии.

При упругом деформировании, когда справедлив закон Гука, прогибы и углы поворота сечений балки можно определить методом Мора. Если балка с прямой осью состоит из участков с постоянной в пределах каждого из них изгибной жёсткостью EJx , то для определения прогибов и углов пово-

рота сечений можно использовать способ Верещагина [1]. Поскольку закон Гука справедлив только при напряжени-

ях, не превышающих предела пропорциональности материала

70

пц , то максимальная нагрузка на балку должна быть определена из условия

Экспериментальная установка (рис.4.1) для определения перемещений в балке состоит из основания с двумя призматическими опорами 1, на которые ставится испытуемая стальная

передвигающейся по длине балки подвески 3 со сменными грузами. Прогибы yэ сечений балки измеряют индикатором часового типа 4. Этот индикатор базируется на магнитной стойке, которая может перемещаться вдоль основания установки, что позволяет измерять прогибы различных сечений балки. Для экспериментального определения углов поворота

левого лэ и правого пэ опорных сечений к балке в её опорных сечениях жёстко прикреплены вертикальные стойки 5, с верхними концами которых, расположенными на расстояниях Нл и Нп от оси балки, соприкасаются измерительные наконечники индикаторов 6, установленных горизонтально.

Рис. 4.1 71

Поскольку стойка жёстко соединена с опорным сечением, то её угол поворота равен углу поворота опорного сечения (рис. 4.2.). Углы поворота опорных сечений можно рассчитать по формулам

где л и п - горизонтальное перемещение верхнего конца левой и правой стоек соответственно.

Рис. 4.2

72

Порядок выполнения работы

1. Измерить линейкой с точностью 1мм расстояние между опорами ℓ, а также величины Нл и Нп . Штангенцир-

кулем с точностью 0,1мм измерить размеры поперечного сечения балки h и b .

2. Определить максимально допустимую нагрузку на балку, предполагая, что она приложена посередине пролета

Теоретический расчёт перемещений y, л и п может быть осуществлён на ПЭВМ.

4. Экспериментально определить значение прогиба yэ

и углов поворота лэ и пэ опорных сечений и результаты за-

нести в табл. 4.1. По результатам эксперимента построить упругую линию балки y f (z).

5. Оценить расхождение расчётных и экспериментальных значений прогиба и углов поворота опорных сечений по формулам:

Сделать вывод о степени точности использованного теоретического способа расчёта перемещений.

Контрольные вопросы

1. Какой вид деформирования называется прямым изги-

бом?

2.С какой целью определяют максимально допустимую нагрузку на балку?

3.Что называется прогибом поперечного сечения балки?

4.Что такое угол поворота сечения?

5.Назовите известные вам теоретические способы определения прогибов и углов поворота поперечных сечений балки.

6.В каких случаях для определения прогибов и углов поворота сечений может быть использован способ Верещагина?

74

7.Как в данной работе определяют экспериментальное значение прогиба?

8.Как в данной работе определяли экспериментальные значения углов поворота опорных сечений балки?

9.Как теоретически рассчитать угол поворота по методу

Мора?

10.Как теоретически рассчитать угол поворота по способу Верещагина?

11.Как теоретически рассчитать прогиб по методу Мора?

12.Как теоретически рассчитать прогиб по способу Верещагина?

13.В чем состоит цель работы?

14.В чем состоит обработка экспериментальных данных?

15.Как построить упругую линию балки?

16.Почему при испытании нельзя превысить предел пропорциональности материала?

17.Что такое главная плоскость?

18.Каков порядок выполнения работы?

19.Какие оси сечения называют главными центральны-

ми?

20.Какие перемещения определяют при изгибе?

21.Можно ли в данной работе рассчитать перемещения по теореме Кастилиано?

22.Из какого условия определяют максимально допу-

стимую нагрузку на балку?

75

4.2. Лабораторная работа № 8

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕМ О ВЗАИМНОСТИ РАБОТ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Цель работы: проверить опытным путём справедливость теорем о взаимности работ и перемещений.

Теорема о взаимности работ (теорема Э. Бетти) непосредственно вытекает из принципа независимости действия сил и применима ко всем упругим системам, для которых соблюдается этот принцип.

Рассмотрим две точки А и В, расположенные на поверхности деформируемой балки (рис. 4.3). Если в точке А приложить некоторую силу Р1 , то точка B в результате деформации перейдёт в положение В1 (рис. 4.4). Обозначим указанное пе-

ремещение точки В через 21 (перемещение второй точки, вызванное действием первой силы). Аналогично, если приложить в точке В силу Р2 , то перемещение точки А в положение А1

Бетти – теорему о взаимности перемещений (теорему Д. Максвелла) [1]:

12 21 . (4.5)

Согласно теореме Максвелла перемещение точки приложения первой силы, вызванное действием второй силы, равной

76

по величине первой, равно перемещению точки приложения

второй силы под действием первой силы. Равенство (4.5) 77

широко используют при расчёте статически неопределимых систем методом сил.

Работа выполняется на установке, принципиальная схема которой показана на рис. 4.3. Установка состоит из балки, защемлённой с одной стороны и свободной от закрепления с другой, двух индикаторов часового типа U1 , U2 и двух подве-

сок с грузами Р1 и Р2 . Нагружение балки производят с помощью набора сменных грузов, устанавливаемых поочерёдно на одну из подвесок, расположенных на заданном расстоянии от защемления. Измерение перемещений производят с помощью индикаторов, закреплённых в специальных держателях магнитных стоек. Один индикатор устанавливают таким образом, чтобы определить прогиб в точке В (см. рис. 4.4), с помощью другого индикатора измеряют прогиб в точке А (см. рис. 4.5). Балка имеет прямоугольное сечение с размерами b и h (см. рис. 4.3). В целях обеспечения плоского прямого изгиба балка закреплена таким образом, чтобы главные центральные оси сечения строго совпадали с вертикальным (ось y ) и горизонтальным (ось x) направлениями.

Порядок выполнения работы

Работа выполняется бригадой из 2 –3 человек или каждым студентом индивидуально при фиксированных значениях размеров ℓ и ℓ1 (см. рис. 4.4), заданных преподавателем. При проверке теоремы о взаимности работ (4.4) вначале устанавливают индикаторные стойки на заданных расстояниях ℓ и ℓ1 и выводят индикаторы U1 и U2 на ноль. Затем нагружают балку

силой P1 10H и снимают показания индикатора U2 (первый вариант нагружения, см. рис. 4.4). После этого силу Р1 снимают, в точке B прикладывают силу P2 30H и записывают показания индикатора U1 (второй вариант нагружения, см. рис. 4.5). Результаты измерений заносят в табл. 4.2

78

Таблица 4.2

оценивают справедливость теоремы о взаимности работ, для чего вычисляют относительную погрешность:

При проверке теоремы о взаимности перемещений (4.5) поочерёдно, как и в предыдущем случае, прикладывают нагрузки P1 P2 40H . Снимают показания индикаторов U1 и U2 и заносят в таблицу 4.3.

Таблица 4.3

Затем проверяют справедливость выражения (4.5). С этой целью вычисляют относительную погрешность

и делают вывод об экспериментальном подтверждении теоремы о взаимности перемещений.

Контрольные вопросы

1.Для каких систем применимы теоремы Бетти и Макс-

велла?

2.Как формулируется теорема о взаимности работ?

3.Что означают величины 12 и 21 ?

4.Как формулируется теорема о взаимности перемеще-

ний?

5.При расчёте каких систем применяется теорема о взаимности перемещений?

79