Учебное пособие 800259
.pdf
Вычисления по этому соотношению, могут оказаться достаточно сложными и требуют знания двумерной плотности вероятности входного сигнала. Некоторые методы вычисления корреляционных функций и спектральных плотностей сигналов после нелинейного безынерционного преобразования приведены в рекомендуемой литературе.
В методе характеристических функций вычисляется ковариационная функция выходного сигнала
B |
t |
, t |
|
|
1 |
|
|
F ju |
|
F ju |
|
|
|
u |
, u |
|
du du |
|
2 |
|
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47)
где |
2 u1 , u2 |
– двумерная характеристическая функция вход- |
ного воздействия t ; F ju |
|
f exp ju d |
|
|
|
прямое пре- |
|||
|
||||
|
|
|
f . |
|
образование Фурье нелинейной функции |
|
|||
На входе безынерционного нелинейного элемента с ку- сочно-линейной характеристикой (рис. 6) действует гауссовский случайный процесс с нулевым средним значением и дис-
персией |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
a , при 0 |
|
|
|
|
0, при 0 |
|
|
|
|
29
Рис. 6. Нелинейный элемент с кусочно-линейной характеристикой
Плотность вероятности входного сигнала:
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
|
exp |
|
|
|
2 |
. |
|
вх |
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислить плотность вероятности сигнала на выходе.
Решение: При |
0 |
обратная функция имеет вид: |
/ a и, таким образом, |
D 1/ a |
. Поэтому: |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
P |
|
|
|
|
|
при |
0 . |
||||||
|
exp |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||
вых |
|
2 a |
|
|
2 |
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Любому отрицательному значению |
|
соответствует |
единственное значение |
0 |
. Чтобы обеспечить нормировку |
плотности вероятности на выходе, следует дополнить плот- |
|||
ность вероятности |
P |
|
слагаемым, содержащим произведе- |
вых |
|
||
ние - функции |
и вероятности того, что 0 , равной в |
||
данном случае 0,5. Окончательно получим (рис. 7).
30
Рис. 7. Обратная функция кусочно-линейной характеристики
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0,5 |
1 |
|
|
|
|
|
P |
2 |
|
2 |
||||
|
e |
2 |
|
a |
|
||
вых |
|
2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0
Принципиально важно, что, подав на вход нелинейной системы гауссовский сигнал, мы наблюдаем на выходе процесс негауссовского вида.
Среднее значение сигнала на выходе безынерционного нелинейного преобразователя определяется по формуле:
|
|
|
|
d |
m |
|
|
P |
|
|
|
вых |
|
|
|
|
|
|
|
|
f P |
d |
|
|
|||
вх |
|
||
|
|
|
.
(48)
Найти среднее значение сигнала на выходе системы, описанной В примере 4.1.
Решение. По формуле (48) находим
|
|
|
a |
|
|
|
m Pвых |
d f Pвх |
d |
|
0,399a . |
||
|
|
|
||||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
31 |
|
|
|
|
|
Отсюда следует возможность измерения дисперсии стационарных гауссовских процессов с помощью нелинейного преобразователя с характеристикой, показанной на рис. 6, и каскадно включенной линейной инерционной цепи – фильтра низких частот, выполняющего операцию усреднения по времени.
Задание на практическ ую работ у
При изучении нелинейного безынерционного преобразования случайных сигналов могут применяться два частных подхода:
1.По известной многомерной плотности вероятности входного сигнала и заданной характеристики нелинейности отыскивается многомерная плотность вероятности выходного сигнала.
2.Исследование проводится в рамках корреляционной теории. Ищутся математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала. Наряду с функцией корреляции интерес может представлять энергетический спектр выходного сигнала.
Найти одномерную плотность вероятности, среднее значение и дисперсию напряжения на выходе идеального ограничителя с характеристикой
h, при h |
|
|
|
0, при h |
, |
|
|
|
если на вход ограничителя подается |
||
t |
с плотностью вероятности |
p |
|
|
|
случайное
exp |
2 |
/ |
|
напряжение |
|
2 , 0 |
. |
|
|
32
Практическая работа № 5. Оптимальная линейная фильтрация сигналов.
Согласованные фильтры
Целью практической работы является изучение понятия фильтрация сигналов.
Задачи практической работы:
определить основные задачи обработки сигналов в условиях действия помех;
рассмотреть коэффициент передачи оптимального фильтра;
изучить импульсную характеристику согласованного фильтра.
Теоретические сведения
Основные задачи обработки сигналов в условиях действия помех: обнаружение сигнала на фоне помех; определение параметров сигнала; различение сигналов; воспроизведение формы сигнала; прогнозирование - экстраполяция сигналов.
Оптимальная линейная фильтрация по критерию максимума отношения сигнал/шум (С/Ш) при известной форме сигнала называется согласованной фильтрацией. Считаем, что
на вход линейного фильтра с коэффициентом передачи |
K j |
поступает аддитивная смесь x(t)=S(t)+n(t), где n(t) - стационар- |
|||
ный случайный сигнал со спектральной плотностью, |
W |
|
- |
n |
|
||
помеха; S(t) - статистически независимый от помехи полезный сигнал, форма которого, или спектральная плотность S j , заранее известна. Тогда, согласно принципу суперпозиции,
сигнал на выходе фильтра y t Sвых t nвых t и результату преобразования полезного сигнала и помехи линейным фильтром. Сигнальная составляющая представляется соотношением:
33
Sвых t |
1 |
|
S j K j e |
|
|
|
|
j t |
d , |
||||
|
||||||
|
|
|||||
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
а дисперсия выходного шума – формулой:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
K j |
2 |
|
|
D |
|
2 |
|
|
W |
d |
|||||
|
|
||||||||||
вых |
|
вых |
|
2 |
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(49)
(50)
Отношение С/Ш на выходе фильтра вычисляют обычно
в момент окончания полезного сигнала ( |
t T |
|||||||||||||||
|
|
c ) |
||||||||||||||
a C / Ш |
|
|
S |
вых |
T |
|
|
|
|
вых . |
(51) |
|||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
вых |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||
Коэффициент передачи оптимального фильтра, макси- |
||||||||||||||||
мизирующего отношение (51), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
j c |
|
|
S j |
e |
j T |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
j |
|
C |
, |
(52) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где С - некоторая постоянная;
S j
- функция, комплексно -
сопряженная со спектральной плотностью |
S j |
полезного |
входного сигнала S t . Если помеха - стационарный белый
шум со спектральной плотностью
W |
|
n |
|
N |
0 |
|
|
2 |
|
, то формула
(52) принимает вид:
|
|
|
K |
j S j e j TC |
(53) |
0 |
|
|
В этом случае импульсная характеристика согласованного фильтра:
34
|
t |
1 |
|
|
|
j e |
|
d KS T |
t |
h |
|
K |
|
j t |
|||||
|
|
||||||||
|
0 |
|
|||||||
0 |
|
2 |
|
|
|
C |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а сигнал на его выходе:
(54)
|
|
t K |
t |
S T |
S |
вых |
|
||
|
|
C |
||
|
|
|
0 |
|
S t d
,
(55)
где К - некоторая постоянная величина, имеющая смысл коэффициента усиления.
Максимальное отношение С/Ш на выходе согласованного фильтра определяется выражением:
|
|
1 |
|
0 |
j e |
|
|
d |
||
|
|
S j K |
j T |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
C / Ш |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вых |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Wn K |
0 j |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
d |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
.
(56)
Для проверки физической реализуемости фильтра с оптимальным коэффициентом передачи можно воспользоваться критерием Пэли-Винера:
ln |
|
K j |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
(57) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Знание K0 j или |
|
|
|
h0 t |
|
|
|
позволяет |
синтезировать |
||
структуру
На
смесь |
x t |
лый шум;
согласованного фильтра.
вход линейного фильтра воздействует аддитивнаяS t n t , где n(t) - стационарный гауссовский бе-
S t Aexp t T , t T - статистически независи-
мый от шума экспоненциальный видеоимпульс (рис 8).
35
Рис. 8. Независимый от шума экспоненциальный видеоимпульс
Определить коэффициент передали согласованного с этим сигналом фильтра, и предложить его реализацию.
Решение. Вычисляем спектр сигнала S(t):
S j |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
S(t)e |
j t |
dt |
e |
j t |
. |
|||
|
|||||||||
|
|
||||||||
|
|
j |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя соотношение (53), находим искомый коэффициент передачи:
K |
j KS j exp j T K |
/ j |
. |
0 |
1 |
|
Таким образом, фильтр, согласованный с данным сигналом может быть реализован в виде RC - цепи (рис. 9), у которого RC 1/ .
36
Рис. 9. RC – цепь
Определить коэффициент передачи фильтра, согласованного, с так называемым гауссовым импульсом:
|
|
2 |
|
|
|
S t Aexp |
2t |
|
; |
(58) |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
u |
|
|
|
где
t |
u |
|
- длительность импульса на уровне А /е, и проверить
его физическую реализуемость.
Решение. Вычисляем спектр импульса (58):
S j |
|
S t e |
|
|
f |
2 |
|
|
|
j t |
2 |
|
|||||
dt b exp |
|
|
, |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
f |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
f |
2,25/ |
u |
|
|
|
|
||
формулу |
f / e |
|
||
- ширина спектра
S
уровне на уровне
Используя формулу (53), находим:
K0 j K0 |
|
|
f |
|
2 |
exp |
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
j T .
После подстановки полученного коэффициента передачи в соотношение (57) убеждаемся, что фильтр гауссовской частотной характеристикой физически нереализуем, так как интеграл в формуле (57) расходится.
37
Найти фильтр, согласованный с прямоугольным видео-
импульсом, имеем амплитуду А и длительность |
|
u |
и вычис- |
|
лить отношение С/Ш на его выходе.
Решение. Спектр прямоугольного видеоимпульса:
|
|
|
u |
|
|
S j A e |
j T |
dt |
|
С |
|
0 |
|
|
A |
1 |
e |
j |
|
|
|
u |
j |
|
|
|
.
Таким образом, коэффициент передачи фильтра, согла-
сованного прямоугольным видеоимпульсом, имеет вид: |
|||
|
u |
T |
. |
|
C |
||
Схема такого фильтра приведена на рис. 10.
Рис. 10. Фильтр, согласованный прямоугольным видеоимпульсом
Определим сигнал на выходе фильтра. По формуле (55) заключаем, что сигнал на выходе по форме повторяет корреляционную функцию входного сигнала, отнесенную вправо на величину Тс. Следовательно, максимальное значение сигнал на выходе имеет в момент времени:
t TC : Sвых TC K0 A2 u KE ,
где E A2 u энергия сигнала S(t).
38