Учебное пособие 800168
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 |
1 |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(1 x 2 ) |
y |
|
1x2 |
dx |
|
(1 x 2 )(1 3x 2 )dx |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4x |
|
|
3x |
|
|
|
|
56 3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить двойной |
интеграл |
||||||||||||
Задание |
|
|
№ |
|
|
6. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
xy 2x2 dxdy |
|
по |
|
|
области D , |
|
ограниченной |
линиями: |
||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x 2 , |
|
y 0 , x y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Для вычисления данного двойного интеграла получим соответствующий ему двукратный интеграл. Расстановка пределов интегрирования в двукратном интеграле зависит от того, как классифицируется область интегрирования D. Область D в данном примере классифицируется как правильная в направлении оси Ох. Последнее обстоятельство диктует расстановку пределов интегрирования, описываемых системой
|
0 y 1, |
||
D: |
|
|
|
y x 2 y. |
|||
|
Вычисление двукратного интеграла по области D, изображенной на рисунке 3, представлено ниже.
29
Рис. 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
xy 2x2 dxdy dy |
xy 2x2 |
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 2 y 2 y |
|
|
2 2 y 3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
x2 y |
|
2x3 |
|
2 y |
|
|
|
|
y2 |
y3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
3 |
|||
|
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 y 4 y2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
16 24 y 12 y2 2 y3 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
2 y3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y3 9 y2 |
36 y 32 2 y3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
36 y 32 dy |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
9 y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
y |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
36 |
|
|
|
32 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
9 |
|
|
36 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
88 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
403 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
24 |
|
|
15 |
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
30
Задание 7. Вычислить |
криволинейный |
интеграл |
|
(x2 y 3x)dx ( y2 x 2 y)dy вдоль 1) |
ломаной L ABC , если |
||
L |
|
|
|
точки заданы следующим образом: |
A(1;0) , B(2;3) , |
C(2;5) , |
|
2) вдоль дуги эллипса x 3cost, |
y 2sin t , (0 t / 2). |
Решение.
1) Криволинейный интеграл вдоль ломаной L можно разбить на сумму двух интегралов: вдоль отрезков AB и BC. Получаем уравнение прямой AB
|
|
|
|
|
AB : |
|
x 1 |
|
y 0 |
; |
|
|
y 3(x 1). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Находим производную |
|
y 3. |
|
Тогда криволинейный инте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
грал по участку AB приобретет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(x2 y 3x)dx ( y 2 x 2 y)dy (x2 y 3x) ( y 2 x 2 y) y dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
3x 9(x 1) |
|
|
AB |
6) 3 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
2 (3x 3) |
2 x 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(10x3 19x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
x3 7x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
14x 6)dx 3 |
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
5 15 |
|
19 7 |
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
7 3 6 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение |
отрезка BC имеет |
|
вид |
x 2 . |
В |
этом |
случае |
|||||||||||||||||||||||||||||||
dx 0, |
|
3 y 5. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
244 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
(y 2 x 2 y)dy |
(2 y 2 2y)dy |
( |
y3 |
y |
2 ) |
5 |
|
81 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
BC |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сложив значения криволинейного интеграла на двух |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
участках, получим ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(x2 y 3x)dx ( y 2 x 2 y)dy |
49 |
|
244 |
105 |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Кривая задана параметрически. Найдем производные
31
xt 3sin t; |
yt 2 cos t . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x2 y 3x)dx ( y 2 x 2 y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9 cos2 t 2sin t 9 cost) ( 3sin t) (4sin 2 t 3cost 4sin t) 2 cost) dt |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
15 |
sin 2 |
|
35 |
|
|
|
2 |
|
15 |
|
|
35 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
sin 2t |
|
dt |
|
|
|
|
|
(1 |
cos4t) |
|
sin 2t |
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
15 |
|
35 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
8 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 8. Дано векторное поле F = x y; 2y; x 3z .
Пирамида V ограничена координатными плоскостями и плоскостью σ 2x y z 2 0 . Вычислить поток векторного поля
F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности, используя формулу Остроградского.
Решение. По теореме Остроградского поток векторного
поля F через замкнутую поверхность S , ограничивающую некоторый объем V, равен интегралу от дивергенции вектора распространенному по объему V.
|
|
П |
|
n dS |
|
|
|
|||
F |
divFdV . |
|||||||||
|
|
|
|
S |
V |
|
||||
|
|
Дивергенцией векторного поля |
|
|||||||
|
|
= X x, y, z ;Y x, y, z ; Z x, y, z называется скаляр |
||||||||
F |
||||||||||
|
|
|
|
X (x, y, z) |
Y (x, y, z) |
Z (x, y, z) . |
||||
|
|
divF |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
В рассматриваемом примере
32
|
|
|
(x y) |
|
(2 y) |
(x 3z) |
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
divF |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
2 y 2x |
|
||||
П |
F |
|
|
dS |
6 dV 6 dx |
dy |
dz |
|
|||||||||||||||||
n |
|
||||||||||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
V |
0 |
2x 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 dx (z |
|
2 y |
2x )dy 6 dx (2 y 2x)dy |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 2x 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
6 [(2- 2x) y |
|
|
] |
02x 2 dx 6 [(2x |
2)2 |
(2x 2)2 |
]dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
2)2 dx |
1 |
1)2 dx 12 |
(x 1) |
3 |
|
10 4(0 1) 4. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 (2x |
12 (x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 9. Найти оригинал по заданному изображе-
нию F ( p) |
p 2 |
. |
||
|
|
|||
p ( p 2 |
4 p 5) |
|||
|
|
Решение. Для отыскания функции-оригинала по данному изображению разложим функцию F (p) на простейшие дроби
F ( p) |
p 2 |
|
A |
|
Bp C |
. |
|
|
|
||||
|
p ( p 2 4 p 5) |
|
p |
|
p 2 4 p 5 |
Приводим правую часть равенства к общему знаменате-
лю
p 2 |
|
A( p 2 4 p 5) Bp2 Cp |
. |
|||
p ( p 2 |
4 p 5) |
p ( p 2 |
4 p 5) |
|||
|
|
Тождественность равенства дробей требует, чтобы коэффициенты при соответствующих степенях р в числителях дробей слева и справа от знака равенства были равны. Это приводит к следующей системе уравнений для коэффициентов
А, В, С
p |
2 |
|
0 A B, |
|
|||
|
|
|
|
p1 |
|
1 4 A C, |
|
p 0 |
|
2 5A. |
33
|
Решая систему уравнений, |
|
находим |
|
A |
2 |
, |
B |
2 |
, |
|||||||||||
|
|
|
5 |
5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C |
|
3 |
. В результате |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
p ( p 2 4 p 5) |
|
5 p |
p 2 4 p 5 |
|
|
|
|
|
Для каждой из полученных дробей с помощью таблицы изображений основных элементарных функций легко установить функцию-оригинал
|
|
|
2 |
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5 p |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
( p 2) |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
2t |
|
||||||||||
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
cost |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
||||||||||||||
p 2 4 p 5 |
|
5 |
|
( p 2)2 1 |
5 |
( p 2)2 1 |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
e |
2t |
sin t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Функцияоригинал имеет вид: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
F ( p) |
2 |
|
|
2 |
e |
2t cost |
1 |
e 2t sin t . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 10. Найти методом операционного исчисле-
ния решение дифференциального уравнения x 2x 3x e2t с начальными условиями х(0)=0, х'(0)=1.
Решение. Обозначим X p изображение решения x(t) за-
дачи Коши.
Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, запишем
x(t) X ( p) , x (t) pX ( p) x 0 , x (t) p2 X ( p) px 0 x (0) .
Запишем изображение функции в правой части исходного дифференциального уравнения
e2t 1 . p 2
Получим изображающее (по Лапласу) уравнение
34
|
p2 X p 1 2 pX p 0 3X p |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Разрешая уравнение относительно X p , имеем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X p p2 2 p 3 1 |
|
1 |
|
|
или X p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p2 2 p 3)( p 2) |
|||||||||||||||||||||
|
Разложим дробь X p на простейшие дроби |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
C |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
( p 2)( p2 2 p 3) |
p 2 p 1 p 3 |
|
p 2 |
|
p 3 |
p 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Методом неопределенных коэффициентов получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
; |
|
|
B |
1 |
; |
|
C - |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X p |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 p |
3 |
|
|
|
|
6 p 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Для полученных дробей найдем функции-оригиналы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
e2t |
, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e3t , |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
p 2 |
|
p |
3 |
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Решение дифференциального уравнения запишется в ви- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x(t) = |
1 |
e |
2t |
|
|
1 |
e |
3t |
|
|
1 |
e |
t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т.1. 432 с.
2.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. М.: Наука, 1975. 624 с.
3.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1986. Ч. 2.
4.Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. пособие / В.С. Шипачев. М.: Высш. шк., 2007. 479 с.
5.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие / В.С. Шипачев. М.: Высш. Шк., 2007. 304 с.
36
СОДЕРЖАНИЕ
Задание № 1……………………………………………….1 Задание № 2……………………………………………….2 Задание № 3……………………………………………….3 Задание № 4…………………………………………….…5 Задание № 5…………………………………………….....8 Задание № 6………………….………….………………...9 Задание № 7……………………………………………....13 Задание № 8……………………………………………....17 Задание № 9……………………………………………....19 Задание № 10………………………..…………………....20 Примеры решения заданий ……………………………...24 Библиографический список…………………………...…36
37
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к типовому расчету “Ряды. Кратные интегралы. Операционное исчисление ” по дисциплине «Математика» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» профиль («Оборудование и технология сварочного производства»)
очной формы обучения
Составители: Горбунов Валерий Викторович
Костина Татьяна Ивановна Соколова Ольга Анатольевна
В авторской редакции
Компьютерный набор О.А. Соколовой
Подписано к изданию 20.11.2015.
Уч.- изд. л. 2,2. “C“.
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14