Учебное пособие 800168

5.17.

z 0;

z x y 8;

x2 y 2 16.

5.18.

z 0;

z 3y;

x2 1 y.

5.19.

z 0;

z x2 y2 ;

y x;

y 0;

x 3.

5.20.

z 0;

z 2x2 ;

y x 3;

y 5 x.

5.21.

z 0;

z 5

y

y x ,

x;

x;

5.22.

z 0;

z y;

x2 4 y.

5.23.

z 0;

z 2y;

y x2 ;

y 3 2x.

5.24.

z 0;

z 3x y;

y x2.

5.25.

z 0;

z y 2 1;

y 2x;

y x 5, y 0.

5.26.

z 0;

z y2 ;

y 3x;

y x 8.

5.27.

z 0;

z x2 ;

x 3y;

y x 8.

5.28.

z 0;

z x2 y 2;

x2 y 2 4,

y x.

5.29.

z 0;

z 4x y;

y x2.

5.30.

z 0;

z x2 ;

y x 1;

y 5 x.

D

ной линиями y 3x ,

y 4 x ,

y 0 .

9

6.2. Интеграл (2x y)dxdy

по области D , ограниченной

D

линиями y x ,

y

x

, y 1.

2

6.3. Интеграл (x y)dxdy

по области

D ,

ограниченной

D

линиями y x ,

y x , y 1.

6.4. Интеграл (x 2 y)dxdy по области D , ограниченной

D

линиями y x2 ,

y 2 x , y 0 .

6.5. Интеграл (x 1)dxdy

по области

D ,

ограниченной

D

линиями y x ,

y x2 , x 1.

6.6. Интеграл (2x y)dxdy по области D , ограниченной

D

линиями y x ,

y x2 .

6.7. Интеграл (2 y)dxdy

по области

D ,

ограниченной

D

линиями y x ,

y

x

, y 1.

2

6.8. Интеграл (1 y)dxdy

по области

D ,

ограниченной

D

линиями y x ,

y x , y 1.

6.9. Интеграл (3 y)dxdy

по области

D ,

ограниченной

D

линиями y x ,

x y 2 .

6.10. Интеграл (x 1)dxdy

по области

D , ограниченной

D

линиями y x ,

y x2 .

D

линиями y x ,

y 2 x , y 0 .

6.12. Интеграл (x 3)dxdy по области D , ограниченной

D

линиями y x ,

y

x

, y 1.

2

6.13. Интеграл

(xy)dxdy по области D ,

ограниченной

D

линиями y

x

,

y x , y 1.

2

6.14. Интеграл

(xy)dxdy по области D ,

ограниченной

D

линиями y x2 ,

y 2 x , y 0 .

6.15. Интеграл (x y)dxdy по области D , ограниченной

D

линиями y 2x ,

y x2 , x 1.

6.16. Интеграл (x y)dxdy по области D , ограниченной

D

линиями y x ,

y 2 x , y 0 .

6.17. Интеграл (x2 2 y)dxdy по области

D , ограничен-

D

ной линиями y x ,

y

x

, y 1.

2

6.18. Интеграл

(x2 y)dxdy

по области

D , ограничен-

D

ной линиями y x ,

y x , y 1.

6.19. Интеграл (xy y 2 )dxdy

по области

D , ограничен-

D

ной линиями y x2 , y 2 x , y 0 .

11

6.20. Интеграл

(xy 1)dxdy

по области

D ,

ограничен-

D

ной линиями y 3x , y x2 .

6.21. Интеграл

(xy 2)dxdy

по области

D ,

ограничен-

D

ной линиями y x ,

y 2 x , y 0 .

6.22. Интеграл (xy 2 y)dxdy

по области

D , ограничен-

D

ной линиями y x ,

y

x

, y 1.

2

6.23. Интеграл

(x 3y)dxdy

по области

D ,

ограничен-

D

ной линиями y x ,

y x , y 1.

6.24. Интеграл (x2 y 2 )dxdy

по области D , ограничен-

D

ной линиями y x2 , y 2 x , y 0 .

6.25. Интеграл

(xy)dxdy по области D , ограниченной

D

линиями y x2 , y 2 x , y 0 .

6.26. Интеграл (x2 y 2 )dxdy

по области D , ограничен-

D

ной линиями y x ,

x2 y 2 1, y 0 .

6.27. Интеграл (x2 y 2 )dxdy

по области D , ограничен-

D

ной линиями y x ,

x2 y 2 1, x 0 .

6.28. Интеграл (x y)dxdy по области D , ограниченной

D

линиями y x , y 2 x2 .

6.29. Интеграл (x2 y 2 )dxdy

по области D , ограничен-

D

ной линиями y x ,

x2 y 2 1, y

x .

3

12

7.1.

x2

(xy x)dx

вдоль дуги L кривой

y 2 x от

dy

2

L

точки A(0;0) до точки B(1;2).

7.2.

ydx

x

вдоль дуги L кривой

y e x

от точки

dy

y

L

A(0;1) до точки B( 1;e).

7.3.

ydx ( y x2 )dy ,

если L

дуга

параболы

L

ду часовой стрелки.

7.4.

(x 2 y)dx (x y)dy вдоль

дуги L первой арки

L

циклоиды x t sin t,

y 1 cost,

0 t 2 .

7.5.

y2dx x2dy

вдоль верхней

половины L эллипса

L

7.6.

(x2

2xy)dx ( y2 2xy)dy

вдоль ломаной линии

L

L=ABC, где A(0;0), B(1;2), C(3;0).

7.7. (xy x)dx

x2

dy вдоль ломаной линии L=ABC, где

2

L

A(-1;0), B(1;2), C(3;2).

7.8.

1

dx

x

вдоль границы

треугольника

ABC,

dy

y

y2

L

обойдя ее

против хода

часовой стрелки,

где

A(0;1),

B(1;1),

C(1;2).

7.9.

ydx ( y x2 )dy , если L дуга параболы

y x x2 ,

L

расположенная над осью OX и пробегаемая по ходу часовой

стрелки.

7.10.

xdx ydy

вдоль

дуги

L

астроиды

L

x 2 cos3 t,

y 4sin 3 t,

0 t / 2.

7.11.

y2dx x2dy

вдоль нижней половины L эллипса

L

x cost,

y 2sin t , обходя ее против часовой стрелки.

ydx

x

y e x

7.12.

dy

вдоль дуги L кривой

от точки

y

L

A(0;1) до точки B(1;e).

7.13. (x2

2xy)dx (2xy y2 )dy вдоль дуги L параболы

7.14.

(x2 y2 )dx xydy ,

если

L отрезок

прямой от

L

точки A(1;1) до точки B(2;4).

7.15.

(x y)dx (x y) dy

вдоль

дуги

L

эллипса

L

x cos t,

y 3sin t , 0 t

.

2

7.16.

(2xy y)dx (x2

x)dy

вдоль верхней половины

L

окружности x 2 cos t,

y 2sin t , обходя ее против хода часо-

вой стрелки.

7.17.

dy

dx

, если L первая четверть окружности

x

y

L

x 4 cos t,

y 4 sin t ,

пробегаемая

против

хода

часовой

стрелки.

7.18.

(xy x)dx

x2

вдоль дуги L кривой

y x от

dy

2

L

точки A(0;0) до точки B(4;2).

7.19.

ydx ( y x2 )dy ,

если

L

дуга

параболы

L

x 4 y y 2 ,

расположенная правей оси OY и пробегаемая по

направлению возрастания y координат.

7.20.

(x2 y) dx ( y2

x)dy

от точки A(1;0)

до точки

L

y 4 x2 точки A0;4) до точки B(2;0).

7.22.

(2xy y)dx (x2

x)dy

вдоль

окружности

L

x 5cos t,

y 5sin t , обходя ее против хода часовой стрелки.

7.23. (x y)dx (x y) dy , если L отрезок прямой от

L

точки A(1;1) до точки B(4;4).

7.24.

ydx

x

вдоль дуги L параболы

y x2 от точки

dy

y

L

A(1;1) до точки B(2;4).

7.25.

dy

dx

,

если

L

окружность

x

y

L

x 4 cos t,

y 4 sin t ,

пробегаемая

против

хода часовой

стрелки.

7.26. (x2 y2 )dx xydy ,

если

L отрезок

прямой

от

L

точки A(0;1) до точки B(2;3).

7.27.

ydx

x

вдоль

дуги L параболы y x2 1

от

dy

y

L

точки A(1;2) до точки B(2;5).

7.28. (x2 2 y) dx (2x y2 )dy

вдоль дуги L параболы

L

L

лоиды x t sin t,

y 1 cost,

0 t 2 .

8.1.

= 2 x y ;

3y; x z ,

σ: x y z 2 0 .

F

8.2.

= 2x y ;

3x; y 2z ,

σ:

2x y 2z 2 0 .

F

8.3.

= x z ; 5y; y z ,

σ:

2x y z 4 0 .

F

8.4.

= x 4z ; y z ; 5z ,

σ:

4x y 4z 8 0 .

F

8.5.

= 2x z ; y 2z ; 5z ,

σ: 2x 3y 4z 8 0 .

F

8.6.

= y z ;

2y; x z ,

σ: 3x y 3z 6 0 .

F

8.7.

= 4x z ; x y ; 2z ,

σ: x y 2z 8 0 .

F

8.8.

= 3x y ; 2y z ; x 2z ,

σ: 4x y 2z 4 0 .

F

17

8.9.

= x z ; 2y z ; x z ,

σ: x y 3z 3 0 .

F

8.10.

= 3x 4z ; 2y z ; z ,

σ: x y 2z 2 0 .

F

8.11.

= 2x y ; 2y ; x z ,

σ: x y 2z 2 0 .

F

8.12.

= 3x 4z ; 2y z ; z ,

σ: x y 2z 4 0 .

F

8.14.

= 4x ; 5x z ; 5x z ,

σ: 3x y 3z 3 0 .

F

8.15.

= 3x 4z ; 2y z ; z ,

σ: 4x y 4z 8 0 .

F

8.16.

= y 3z ; y z ; x 3z ,

σ: 3x y z 6 0 .

F

8.17.

= 4x z ; 4x y ; y 5z ,

σ: 2x y 4z 4 0 .

F

8.18.

= 4 x y ; 3y z ; x 5z ,

σ: x 4y 4z 4 0 .

F

8.19.

= 3x z ; 2y z ; x z ,

σ: 3x y z 3 0 .

F

8.20.

= 5x z ; 2y z ; x 2z ,

σ: 4x 2y z 4 0 .

F

8.21.

= x y ; y z ; x 3z ,

σ: x y z 3 0 .

F

8.22.

= 2 x y ; 2y z ; x 3z ,

σ: x y 3z 3 0 .

F

8.23.

= x 2y ; y 4z ; x z ,

σ: 3x y z 3 0 .

F

8.24.

= x 3y ; 2y 2z ; 4x z ,

σ: x y 3z 3 0 .

F

8.25.

= x y ; 3y 7z ; x z ,

σ: x 3y z 3 0 .

F

18