Учебное пособие 800129
.pdf
Пример 4.11. Найдите отношение концентрации свободных электронов при абсолютном нуле в литии n1 и цезии n2, если энергия Ферми в этих металлах 4,72 эВ и 1,53 эВ соответственно.
Дано: Eф1 = 4,72 эВ. Eф2 = 1,53 эВ.
Найти: n1 / n2.
Решение
Запишем отношение концентраций свободных электронов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
& |
2:m |
|
|
|
ф |
|
||||
|
|
|
|
|
|
ф+ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||
|
+ |
|
3Z |
` |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mф |
] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
ф = &Wm |
||||||
|
|
|
1 |
& |
2:m |
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3Z |
` |
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
4,72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
= |
H(3,08) = H29,77 = 5,41. |
||||||||||
|
`1,53a |
|||||||||||||
Ответ: n1 / n2 = 5,41.
Пример 4.12. Определите энергию уровня Ферми для меди, если на каждый атом меди в кристалле приходится один свободный электрон, а плотность меди 8,9·103 кг/м3.
Дано: ρ = 8,9·103 кг/м3.
Найти: Eф.
Решение
Запишем концентрацию свободных электронов меди, равную |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
атомов меди: |
: 1 |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|||
|
· |
· ; |
|
= |
|
, |
|
|
=> |
|
= "# · · : |
= "# · . |
|||||||||
= "# |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ф |
|
ħ |
(3Z |
|
|
ħ |
· (3Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
m |
= 2: |
|
) |
= 2: |
|
· "# · ) . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
)ƒ |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(1,05 · 10 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||
mф = |
|
· |
&W3 · 3,14 |
· 6,02 · 10 |
8,9 · 10 |
|
|
= |
|||||||||||||
2 · 9,1 · 10) + |
|
|
· 64 · 10 |
|
] |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Считается, что эффективная масса равна массе покоя электрона (m* m). концентрации
= 11,2 · 10)+4(Дж) = 7эВ.
Ответ: Eф = 7 эВ.
Задачи для самостоятельного решения по теме №4
1.Определите, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от
0,5Eф до Еф больше числа электронов с энергией от 0 до 0,5 Еф, если металл находится при абсолютном нуле.
(Ответ: в 1,83 раза).
2.Металл находится при температуре Т=0 К. Определите относительное число свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми на 2 %.
(Ответ: ∆N/N = 0,03 = 3 %).
3.Найдите температуру вырождения для калия, если на каждый атом приходится по одному свободному электрону, а плотность калия 860 кг/м3.
(Ответ: 31,2 кК).
4. Как записать среднюю скорость электронов в металле при абсолютном нуле через максимальную скорость. Вычислить среднюю скорость электронов для металла, энергию Ферми, которая при абсолютномª нулеª составляет 6эВ.
(Ответ: <
>=3/4 
^ ˆ; 1,09·106 м/с).
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
Ð^ ˆ |
до |
Ð^ ˆ |
(Ответ: вÐ^ ˆ |
|
|
Определите, |
во |
сколько раз число электронов со скоростями |
от |
||||
|
0,5 |
|
|
|
больше числа электронов со скоростями от 0 до 0,5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 раз).
6.Вычислите суммарную кинетическую энергию электронов проводимости в 1 см3 цезия при Т=0.
(Ответ: 1280 Дж).
ТЕМА №5. ДИЭЛЕКТРИКИ
Законы и формулы к решению задач по теме №5
1. Вектор поляризации (поляризованность):
ØÃÁ = lim 1 x =Á_.
∆Û→ Ý_Þ+
Здесь N – число молекул в объеме V, =Á_ − дипольный момент одной молекулы.
52
2. Связь поляризованности с напряженностью E локального электрического поля:
Ø = ᴂ[ mлок. лок
Здесь ε0 – электрическая постоянная.
3.Диэлектрическая восприимчивость вещества:
ᴂ= X.
Здесь n – концентрация молекул, α – поляризуемость молекул.
4. Дипольный момент отдельной молекулы:
= = X[ mлок.
5. Диэлектрическая проницаемость среды:
[ = 1 + ᴂ.
6. Локальное поле кристалла с кубической решеткой: mлок = m + 13 [Ø .
Здесь + áàd − поле Лоренца.
7. Напряженность поля внутри диэлектрика: m = m − [Ø .
Здесь E0 – напряженность внешнего поля. |
|
|
|
|||
8. Уравнение Клаузиуса-Моссоти: |
[ − 1 |
|
|
1 |
||
[ − 1 |
1 |
или |
∙ |
|||
[ + 2 |
= 3 X |
[ + 2 |
ρ |
= 3 X"# . |
||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ρ − плотность вещества.
53
9. Формула Лоренца-Лоренца: |
1 |
− 1 |
|
+ 2 |
∙ = 3 X"#. |
Здесьn – показательпреломления прозрачногодиэлектрика, μ − молярная масса.
Примеры решения задач по теме №5
Пример 5.1. Для молекулы HCl электрический момент равен 1,03Д. Найдите плечо диполя.
Дано: p = 1,03 D.
Найти: l.
Решение
Дипольный момент p определяется по формуле
= = âG,
где q – заряд, l – |
плечо диполя. |
|
|
|
|
|
||
Дипольные моменты принято измерять в единицах Дебая. В системе |
||||||||
единиц СИ 1 D = 3,34·10−30 Кл·м. |
|
|
|
|
||||
G = |
= |
= |
1,03 ∙ 3,34 ∙ 10) |
= 2,15 ∙ 10 |
)++ |
м |
пм |
|
â |
1,6 ∙ 10 |
)+4 |
|
|
= 21,5 . |
|||
|
|
|
|
|
|
Ответ: l = 21,5 пм. |
||
Пример 5.2. Какова диэлектрическая восприимчивость твердого гелия, если поляризуемость его атомов 2,5·10−30 м3, а плотность гелия 210 кг/м3.
Дано: α = 2.5·10−30 м3, p = 210 кг/м3,
ᴂµ = 4·10−3 кг/моль. Найти: .
Решение
Диэлектрическая восприимчивость
ᴂ = ∙ X.
Концентрация молекул n: |
|
|
|
|
= " = |
"А · ν |
= |
"# · : = "# · ρ. |
|
|
|
54 |
· |
|
|
|
|
∙ X |
|
|
Следовательно, |
|
ᴂ = "# ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ᴂ = 6,02 · 10 |
|
210 |
|
) |
= 0,079. |
|
∙ 4 ∙ 10) ∙ 2,5 ∙ 10 |
|
|||
|
|
|
|
|
Ответ: ᴂ = 0,079. |
Пример 5.3. Индуцированный электрический момент атома йода, находящегося на расстоянии 1 нм от α-частицы, равен 0,045 D. Определите поляризуемость атома йода.
Дано: r = 1 нм = 10−9м, q = 3,2 10−19 Кл,
p = 0,045 Д =0,15·10−30 Кл·м.
Найти: α.
|
|
Решение |
|
|
|
|||
где Eлок – напряженность |
электрического поля, в котором находится атом йода. |
|||||||
= = X[ mлок, |
|
|
|
|||||
|
|
â |
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
mлок = |
4Z[ R |
. |
|
|
||
|
|
|
|
â |
|
|
|
|
|
|
= = X[ 4Z[ R . |
|
|
||||
|
|
X = 4ZR |
|
= |
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
X = |
4Z ∙ (10)4) ∙ 0,15 ∙ 10) |
= 5,9 ∙ 10 |
) м |
. |
||||
|
3,2 ∙ 10)+4 |
|
|
|
||||
Ответ: α = 5,9·10−30 м3.
Пример 5.4. В электрическое поле напряженностью 1 МВ/м внесли пластину диэлектрика с ε = 3. Определите напряженность локального поля, действующего на отдельную молекулу в диэлектрике, если внутреннее поле является полем Лоренца.
Дано: E0 =1 МВ/м = 106 В/м, ε=3.
Найти: Eлок.
55
|
|
|
Решение1 |
Ø |
|
|||
|
|
mлок = m + 3 |
[ , |
|||||
где E – среднее поле в диэлектрике: |
Ø |
|
|
|
||||
m = m − m |
ä |
= m − |
|
|
Ø = ᴂ[ mлок. |
|||
|
[ , а |
|||||||
Следовательно, |
|
|
ᴂ[ mлок |
|
|
|
||
m = m − |
= m |
− ᴂmлок. |
||||||
[ |
|
|||||||
Таким образом,
mлок
или
Откуда
1 |
ᴂ[ mлок |
2 |
ᴂmлок |
||
= m − ᴂmлок + 3 |
2 |
[ |
|
= m − 3 |
|
|
ᴂa = m . |
|
|||
mлок `1 + 3 |
|
||||
mлок = |
|
m |
. |
|
|
1 |
2 |
|
|
||
|
+ 3 ᴂ |
|
|
|
|
Диэлектрическую восприимчивость определим из уравнения Клаузиуса-
Моссоти:
ᴂ = 3 `[[ −+ 12a = 3 ∙ 33 −+ 12 = 65.
Таким образом, |
m |
|
|
|
10 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
m = |
|
|
|
= |
|
= 0,555 ∙ |
|
|
= 555 |
/ . |
|||
|
|
2 |
|
2 |
6 |
|
|
|
|||||
|
|
ᴂ |
|
y |
В |
||||||||
лок |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
кВ м |
||
|
1 + |
3 |
|
|
1 + 3 |
· 5 |
|
м |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: Eлок = 555 кВ/м.
56
Пример 5.5. Во сколько раз напряженность локального поля в кристалле кубической сингонии больше среднего значения напряженности, если диэлектрическая проницаемость равна 2,5.
Дано: ε = 2,5.
Найти: Eлок / E.
Решение
Среднее поле в диэлектрике E: |
|
Ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m = m − m |
ä |
= m − |
|
|
а |
Ø = ᴂ[ mлок. |
|||||||
|
|
[ , |
|
|||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
ᴂ[ mлок |
|
|
|
|
|
|
||||
|
m = m − |
= m − ᴂmлок. |
||||||||||||
|
|
[ |
|
|
||||||||||
Выразим отсюда E0 и подставим в формулу для локального поля, |
||||||||||||||
полученную в предыдущем примереm: |
|
= |
m + ᴂmлок |
. |
|
|||||||||
|
mлок |
= |
1 + |
2 |
ᴂ |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
1 + 3 ᴂ |
|
|
|||||
Преобразуем данное выражение, вынесем Eлок за скобки и разделим |
||||||||||||||
уравнение на E: |
mлок = |
|
|
21 |
|
|
|
|
= |
11 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
m |
|
A1 + 3 ᴂE − ᴂ |
|
1 − 3 |
ᴂ |
|
|||||||
Из уравнения Клаузиуса-Моссоти определим диэлектрическую
восприимчивость и рассчитаем отношение E / E:
ᴂ = 3 `[[ −+ 12a = 3 ∙ 2,52,5лок −+ 12 = 1.
mлок = |
1 1 |
= 3 |
= 1,5. |
m |
1 − 3 |
2 |
|
Ответ: Eлок / E =1,5.
57
Пример 5.6. Определите относительную ошибку, допускаемую при вычислении диэлектрической восприимчивости, еслиᴂ вместо уравнения Клаузиуса-Моссоти воспользоваться формулой ε=1+ . Рассмотрите случаи:
1) ε = 1,8; 2) ε = 1,006. Дано: 1) ε = 1,8,
2)ᴂε =ᴂ1,006.
Найти: / .
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|||
Определим ᴂ из уравнения Клаузиуса-Моссоти: |
[ − 1 |
|
||||||||
|
|
[ − 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ + 2 |
= 3 ᴂ |
|
|
=> ᴂ = 3 `[ + 2a. |
|
|||
|
|
|
ᴂ |
1,8 − 1 |
= 0,63, |
|
||||
|
|
|
+ = 3 |
`1,8 + 2a |
|
|||||
|
|
ᴂ |
1,006 − 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
= 3 `1,006 + 2a = 0,00599. |
|
||||||
Рассчитаем ᴂ из приближенной формулы: |
|
|
|
|||||||
|
|
[ = 1 + ᴂ |
|
|
=> ᴂ = [ − 1, |
|
||||
ᴂ+ = 1,8 − 1 = 0,8, |
|
|
|
|
ᴂ = 1,006 − 1 = 0,006. |
|||||
Таким образом, |
∆ᴂ+ |
0,8 − 0,63 |
|
|
0.17 |
|
|
|
||
|
= |
|
|
|
||||||
∆ᴂ |
ᴂ+ = |
0,63 |
|
0.63 ∙ 100 % = 27 %. |
|
|||||
= |
0,006 − 0,00599 |
|
0,00001 |
∙ 100% = 0,17 %. |
||||||
ᴂ |
0,00599 |
|
|
= 0.00599 |
||||||
Пример 5.7. |
|
|
|
Ответ: |
ᴂ1/ ᴂ1 = 27 %, |
ᴂ2/ᴂ2 = 0,17 %. |
||||
Кристалл помещен во |
внешнее поле |
напряженностью |
||||||||
1 МВ/м. Определите поляризованность кристалла, если диэлектрическая проницаемость равна 3.
Дано: E0 = 1 МВ/м = 106 В/м, ε = 3.
Найти: P.
58
Ø = ᴂ[ mлок, |
Решение1 |
Ø |
|
Ø |
|
|
mлок = m + 3 |
[ , |
m = m − [ . |
||||
Здесь E – среднее поле в диэлектрике, E0 – |
внешнее поле: |
2 Ø |
||||
Следовательно: 1 |
Ø |
Ø |
|
1 |
Ø |
|
Ø = ᴂ[ `m + 3 |
[ a = ᴂ[ `(m − [ ) + |
3 |
[ a = ᴂ[ `m − |
3 [ a. |
||
Сделав необходимые преобразования, получим
Ø = ᴂ[ m . 1 + 23 ᴂ
ᴂ = 3 `[[ −+ 12a = 3 `33 −+ 12a = 65.
Таким образом, |
|
· 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ø = 5 |
∙ 8,85 ∙ 10 |
6 |
= 5,9 ∙ 10)y |
м |
|
|
= 5,9 |
|
м |
. |
||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
|
−+ y |
|
Кл |
|
мкКл |
||||||
|
A1 + 3 |
∙ 5E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: P= 5,9 мкКл/м . |
||||
Пример 5.8. Вычислите поляризуемость атома водорода и диэлектрическую восприимчивость атомного водорода при нормальных условиях, если радиус электронной орбиты 53 пм. Определите
диэлектрическую проницаемость. |
|
|
|
Дано: r = 53 пм = 53·10 −12 м. |
|
|
|
Найти: α, ᴂ, ε. |
Решение |
|
|
Электрический момент атома определяется соотношениями |
|||
= = â · R |
m = |
и |
= = X[ m. |
Поле ядра найдем как |
â |
, |
|
|
|
|
|
4Z[ R
59
где q – |
заряд ядра. Следовательно, имеем |
|
â |
|
Откуда |
â ∙ R = X[ ∙ m, |
|
â ∙ R = X[ |
∙ 4Z[ R . |
|
X = 4 ∙ 3,14 ∙ (53 |
X = 4ZR . |
|
|
|
∙ 10)+ ) = 1,87 ∙ 10) м . |
|||
Диэлектрическая восприимчивость: |
: " |
· " |
|||||||
" |
· " |
|
|||||||
ᴂ = X ∙ = X ∙ |
=∙ X ∙ |
ν # |
= X ∙ ∙ # = |
ρ µ # |
|||||
6,02 ∙ 10 |
|
)ƒ |
= 5 ∙ 10 |
){ |
. |
||||
ᴂ = 22,4 ∙ 10) = 0,5 ∙ 10 |
|
|
|||||||
= X ∙ "#,µ
Диэлектрическую проницаемость вычислим по формуле
[ = 1 + ᴂ.
[ = 1 + 5 ∙ 10){ = 1,00005.
Ответ: α = 1,87·10 −30 м3, ᴂ = 5·10 −5, ε = 1,00005.
Пример 5.9. Относительная диэлектрическая проницаемость аргона при нормальных условиях 1,000536. Определите поляризуемость атома аргона.
Дано: ε = 1,000536.
Найти: α.
|
Решение |
|
"# |
|
|
|
|
Откуда |
[ = 1 + ᴂ = 1 + X ∙ = 1 + X ∙ ‘ . |
|
|
|
|||
|
X = |
([ − 1) ‘ |
. |
|
|
|
|
|
"# |
|
|
|
|
||
Здесь n – концентрация молекул, Vμ – молярный объем. |
м |
|
|||||
X = |
(1,000536 − 1) · 22,4 ∙ 10) |
= 1,99 ∙ 10 |
− 4 |
. |
|||
6,02 ∙ 10 |
|
|
|
||||
Ответ: α = 1,99·10−29 м3.
60