Учебное пособие 800119
.pdfФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра систем информационной безопасности
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим занятиям по дисциплине «Основы цифровой обработки сигналов» для студентов специальности
090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» очной формы обучения
Воронеж 2014
Составители: канд. техн. наук П.Л. Савинский, канд. техн. наук О.В. Поздышева
УДК 621.382.82
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Основы цифровой обработки сигналов» для студентов специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. П.Л. Савинский, О.В. Поздышева. Воронеж, 2014. 39 с.
В данных методических указаниях приведены задачи, относящиеся к различным разделам цифровой обработки сигналов. В ходе решения приведенных задач студенты получают практические навыки по основным методам цифровой обработки сигналов. Решение разнообразных практических задач, позволяет закрепить знания, полученные в лекционном курсе.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2013 и содержатся в файле Савинский_ПЗ_ЦОС.pdf.
Ил. 4. Библиогр.:10 назв.
Рецензент д-р техн. наук, проф. А.Г. Остапенко
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. А.Г. Остапенко
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного техническогоуниверситета
© ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014
1.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
ИСЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ
Задача 1.1 Для прогноза курса ценных бумаг на фондовом рынке на 30 дней вперёд были опрошены двенадцать финансовых экспертов. Ими были даны следующие оценки: 996,
868, 855, 956, 867, 933, 866, 887, 936, 901, 818, 956. Фактиче-
ский курс, зафиксированный через 30 дней, оказался равным
876.
а. Оцените математическое ожидание прогноза? б. Оцените СКО прогноза?
в. Оцените погрешность предсказания? г. Оцените точность предсказания?
Задача 1.2 Некоторый астроном измерял яркость звезды 30 ночей подряд. На точность проводимых им измерений влияла турбулентность атмосферы, а также ряд других источников случайных ошибок. Коэффициент вариации для данного процесса измерения равен 3.0%. В одном из опытов астроном зафиксировал значение, на 6.9% превышающее среднюю величину.
а. Чему равно отношение сигнал—шум для выборки, состоящей из 30 результатов измерения?
б. Чему равна вероятность того, что из-за влияния случайных ошибок хотя бы один из отсчётов отклонится от среднего значения на 6.9% и более?
в. В праве ли астроном утверждать, что отклонение от среднего значения на 6.9% отражает действительное изменение яркости звезды? Ответ обоснуйте.
г. Ответьте на вопросы б) и в), считая, что отклонение полученного результата от среднего значения составляет
10.2%.
Задача 1.3 Если складываются два и более случайных сигнала, то математическое ожидание результирующего сигнала равно сумме математических ожиданий каждого из сигналов, участвующих в сложении. Аналогичным образом, дисперсия результирующего сигнала равна сумме дисперсий всех складываемых сигналов. Выведите уравнение, связывающее СКО сигнала, полученного после сложения, с СКО исходных сигналов.
Задача 1.4 Найдите математическое ожидание и СКО сигнала, образованного в результате сложения сигналов со следующими параметрами.
а. Математическое ожидание 1 В и СКО 20 мВ; математическое ожидание 1 В и СКО 20 мВ.
б. Математическое ожидание 1 В и СКО 20 мВ; математическое ожидание 1 В и СКО 2 мВ.
в. Математическое ожидание 1 В и СКО 20 мВ; математическое ожидание 1 В и СКО 0.2 мВ.
г. Математическое ожидание 3 В и СКО 10 мВ; математическое ожидание 5 В и СКО 15 мВ.
д. Математическое ожидание 10 В и СКО 10 мВ; математическое ожидание 5 В и СКО 15 мВ; математическое ожидание 0.2 В и СКО 100 мВ.
Задача 1.5 Электрические схемы содержат множество источников шума, однако результирующий шум определяется преимущественно одним из этих источников. Основываясь на тех ответах, которые вы дали в двух предыдущих задачах, объясните данный факт.
Задача 1.6 Вас попросили оценить качество нового прибора, предназначенного для обнаружения раковой опухоли у пациентов. Анализируя состояние тех людей, для которых точно известно, что они здоровы, вы установили, что результаты исследований подчиняются нормальному закону распреде-
2
ления с математическим ожиданием 100 и СКО 10. Аналогичные эксперименты проводились для больных раком людей, результаты исследований которых также распределились по нормальному закону, но математическое ожидание в этом случае равно 120, а СКО равно 8. Когда диагностике подвергается пациент, состояние здоровья которого заранее не известно, то используется метод сравнения с порогом: выбирается некоторое пороговое значение, например 110, и если снятое показание прибора < 110, делается предварительный вывод, что пациент здоров, а если снятое показание > 110, делается предварительный вывод, что пациент болен.
а. Постройте схематически графики двух плотностей вероятности и укажите положение порога.
б. Для распределения, соответствующего здоровым пациентам, определите, во сколько раз расстояние между выбранным порогом и математическим ожиданием больше, чем СКО?
в. Для распределения, соответствующего больным пациентам, определите, во сколько раз расстояние между порогом и математическим ожиданием превышает СКО?
г. Какова вероятность того, что при обследовании здорового пациента прибор покажет значение меньше 110? Боль-
ше 110?
д. Какова вероятность того, что при обследовании больного пациента прибор покажет значение меньше 110? Больше 110?
е. Какой процент больных пациентов на основании показаний прибора попадёт в группу здоровых?
ж. Какой процент здоровых пациентов попадёт в группу больных?
3
Задача 1.7 Пусть для обнаружения раковой опухоли используется тот же прибор, что и в задаче 2, но порог выбирается таким образом, чтобы вероятность выявления опухоли у больного пациента равнялась 99%. Какова при этом вероятность ложного выявления опухоли у здорового пациента?
Контрольные вопросы
1.Что такое вероятность случайного события?
2.Что такое условная вероятность?
3.Чем отличаются дискретные и непрерывные случайные величины?
4.Что такое плотность распределения вероятностей?
5.Дайте определение стационарного случайного про-
цесса.
6.Как вычисляется математическое ожидание дискретных сигналов?
7.Что такое эргодический процесс?
8.Как вычисляется автокорреляционная и взаимная корреляционная функция дискретных процессов?
9.Чем отличаются дисперсия и среднеквадратическое отклонение?
10.Что такое ковариационная функция?
4
2. ПРОЕКТИРОВАНИЕ АЦП И ЦАП
Задача 2.1 Определите, какая разрядность больше всего подходит для представления в цифровой форме каждого из следующих сигналов. Варианты ответов: 6, 8, 10, 12, 14 и 16 бит.
а. Сигнал с амплитудой 1 В и СКО 1.5 мВ. б. Сигнал с отношением сигнал-шум 900:1. в. Сигнал с коэффициентом вариации 0.4%.
г. Аудиосистема класса HI-FI (подсказка: звук отбойного молотокa приблизительно в 50000 раз громче звука упавшей булавки).
д. Цифровое чёрно-белое изображение (подсказка: при хороших условиях глаз человека способен различать около 200 градаций яркости между уровнями абсолютно чёрного и абсолютно белого).
Задача 2.2 Учёный снимает показания температуры по двум цифровым термометрам. Значение температуры на индикаторе каждого из термометров округляется до ближайшего целого числа градусов и обновляется раз в секунду. Когда температура не меняется, термометр A показывает постоянно одно и то же значение, а величина на индикаторе термометра B случайным образом изменяется в пределах трёх-четырёх отсчётов (т.е. ±2 градуса). Предполагая, что температура измеряемой среды не меняется, ответьте на следующие вопросы.
а. Чему равна максимальная ошибка единичного измерения при работе с термометром A?
б. Чему равна максимальная ошибка единичного измерения при работе с термометром B?
в. Показания какого термометра являются более информативными? Ответ обоснуйте.
5
г. Чему равна среднеквадратическая ошибка, если учёный получил 1000 измерений при помощи прибора A?
д. Чему приближённо равна среднеквадратическая ошибка, если учёный получил 1000 измерений при помощи прибора B? (варианты: 0.1; 0.5; 2.0 и 4.0).
е. Насколько отличается среднее значение выборки, состоящей из 1000 результатов измерений, снятых термометром B, от математического ожидания данного процесса измерения?
ж. Если оценка температуры определяется на основании 1000 измерений, какой из термометров позволяет получить более точный результат? Ответ обоснуйте.
з. Сколько измерений нужно выполнить, чтобы с помощью термометра A достоверно зарегистрировать изменение температуры на 0.15 градуса? (варианты ответов: 10, 100, 1000, 1 млн, 1 млрд, «зарегистрировать такое малое изменение невозможно»). Ответ обоснуйте.
и. Ответьте на предыдущий вопрос, заменив термометр A на термометр B.
Задача 2.3 Инженер был занят разработкой платы сбора данных на основе АЦП, выдающего 8-битные отсчёты с периодом 10 мкс. В это время вошёл его начальник и заявил: «Если вы придумаете к завтрашнему дню, как с помощью этого АЦП получать 12-битные данные каждые 100 мкс, вас ждёт повышение зарплаты!» Услышав об этом, инженер первым делом измерил мощность шума на входе микросхемы АЦП. А затем, улыбнувшись, стал размышлять о том, как лучше потратить прибавку к зарплате. Попытайтесь рассказать подробнее о том, какие выводы сделал инженер после измерения мощности шума, и предложите свой метод доработки платы сбора данных.
Задача 2.4 Электрический аналоговый сигнал состоит из трёх синусоидальных колебаний, каждое из которых характеризуется следующими значениями частоты и амплитуды: 1 кГц и 1 В, 3 кГц и 2 В, 4 кГц и 5 В.
6
Разрядность аналого-цифрового преобразования равна 12 битам, диапазон преобразования –5…+5 В. Для каждой из приведённых ниже частот дискретизации опишите компоненты, из которых складывается полученный цифровой сигнал. Необходимо найти три параметра для каждой из компонент: относительную частоту (в диапазоне рабочих частот: 0…0.5), амплитуду (максимальное значение цифрового сигнала), фазовый сдвиг относительно исходного аналогового сигнала
(0…180 градусов).
а. Частота дискретизации = 100 кГц. б. Частота дискретизации = 10 кГц. в. Частота дискретизации = 7.5 кГц. г. Частота дискретизации = 5.5 кГц. д. Частота дискретизации = 5 кГц. е. Частота дискретизации = 1.7 кГц.
Задача 2.5 На сигнал аудиосистемы класса HI-FI (рабочий диапазон 20 Гц…20 кГц) накладывается помеха от расположенного рядом с ней импульсного источника электропитания, работающего на частоте 32 кГц. Чтобы избавиться от помехи, аналоговый сигнал пропускается через фильтр Баттерворта 8-го порядка с частотой среза 24 кГц. Затем обработанный фильтром сигнал подвергается дискретизации с частотой
44 кГц.
а. Изобразите схематически в одном и том же масштабе диапазон рабочих частот системы, расположение спектра сигнала помехи, амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) фильтра, расположение частот, соответствующих частоте дискретизации и половине частоты дискретизации.
б. Оцените приблизительно величину затухания, которую обеспечивает фильтр на частоте воздействия помехи.
в. Какое влияние оказывает фильтр на аудиосигнал?
7
г. Изобразите схематически спектр полученного цифрового сигнала и укажите местоположение в нём сигнала помехи.
д. Чему равна относительная частота, на которой помеха появляется в цифровом сигнале?
е. Как изменится амплитуда интерферирующей с сигналом помехи, если фильтр Баттерворта заменить фильтром Чебышева (уровень колебаний равен 6%)?
ж. Повторите пункты а)…е), изменив значение частоты среза на 20 кГц.
Задача 2.6 Пусть теперь для решения той же задачи подавления помехи используются методы многоскоростной обработки. Сначала сигнал подвергается дискретизации с частотой 176 кГц (в полученном цифровом сигнале присутствует помеха). Далее сигнал обрабатывается цифровым НЧфильтром, коэффициент усиления которого не превышает 0.02% в диапазоне частот, расположенном выше 0.18, а неравномерность в полосе пропускания равна 0.02% при частоте среза 0.12 (создать цифровой фильтр с такими параметрами не составляет труда). Полученный на выходе фильтра сигнал подвергается вторичной дискретизации с частотой 44 кГц, т. е. из каждой четвёрки отсчётов исключаются три.
а. Постройте схематически спектр цифрового сигнала, поступающего на вход цифрового фильтра: покажите диапазон частот аудиосигнала, частоту помехи и приблизительную форму АЧХ цифрового фильтра.
б. Возникает ли наложение спектров при дискретизации? Ответ обоснуйте.
в. Дайте очевидный ответ на вопрос: имеет ли смысл сравнивать АЧХ данного цифрового фильтра и АЧХ аналоговых фильтров Баттерворта и Чебышева? Ответ обоснуйте.
г. Насколько эффективнее оказывается цифровой фильтр по сравнению с аналоговыми, упомянутыми в пункте в)? (подсказка: при попытке сравнить цифровые и аналоговые
8