9. Задачи динамики

9.1. Учет сил инерции

9.1.1. Растяжение (сжатие)

9.1. Призматический стержень длиной = 60 м несет на себе два груза весом Q₁=10 кН и Q₂=20 кН (рис. 9.1,а) и движется равноускоренно вверх, проходя за первые t=2с путь S=8м. Определить необходимую площадь F поперечного сечения стержня и его динамическое удлинение Δ д, если удельный вес материала γ=78 кН/м³, модуль упругости Е=2·10⁵МПа и допускаемое напряжение на растяжение [σ]=160 МПа.

Решение

1. Определяют вид деформирования. Силы инерции и внешние силы вызывают растяжение стержня.

2. Записывают условие прочности .

3. Так как ускорение заданного движения грузов и стержня направлено вертикально вверх, т.е. параллельно ускорению свободного падения, то вид деформирования стержня от инерционных сил совпадает с видом деформирования стержня от собственного веса и грузов. Динамические напряжение и удлинение определяют по формулам:

, ,

где ; - ускорение заданного движения; g – ускорение свободного падения.

4. Решают статическую задачу (см. рис. 9.1,б)

Наибольшая продольная сила возникает в верхнем сечении стержня

5. Определяют ускорение заданного движения

.

6. Подставляют в условие прочности

.

Расчет проектировочный, отсюда необходимая площадь поперечного сечения удовлетворяет условию

7. Определяют удлинение

9.2. Стальной стержень круглого поперечного сечения равномерно вращается вокруг оси О₁О₂ (рис. 9.2). Определить наибольшую допустимую из условия прочности длину стержня [ ] при частоте его вращения n_об=2400 об/мин, если =160 МПа, γ=78 кН/м³.

Решение

1. Определяют вид деформирования. При равномерном вращении возникает ускорение a_n=ω²z, где z – расстояние от оси вращения, т.е. по оси стержня. Следовательно, стержень растянут.

2. Записывают условие прочности .

3. Вычерчивают схему нагружения (см. рис. 9.2). На элемент длины dz действует элементарная центробежная сила, направленная от оси вращения и равная а_n·dm, где dm – масса элемента, равная

Следовательно, элементарная сила инерции определяется по формуле

Каждая половина стержня растянута нагрузкой, интенсивность которой изменяется по линейному закону (см. рис. 9.2)

Продольная сила в сечении на расстоянии z от оси вращения определяется площадью заштрихованной трапеции (см. рис. 9.2):

Наибольшая продольная сила max N_u возникает в сечении на оси вращения (z=0):

Наибольшее динамическое напряжение в этом сечении

4. Подставляют в условие прочности значение

,

откуда

Замечания:

1. При заданной длине из условия прочности можно определить допускаемую угловую скорость ω вращения стержня.

2. При заданной площади стержня F и допускаемом удлинении можно определить допускаемую длину стержня из условия жесткости

9 .3. Груз массой m=2000 кг подвешен на стальном тросе, состоящем из 500 проволок диаметром d=0,5 мм каждая. Трос намотан на барабан, который вращается против хода часовой стрелки с угловым ускорением ε (рис 9.3). Диаметр барабана D=0,5м, допускаемое напряжение [σ]=160 МПа. Определить наибольшее ускорение, с которым может вращаться барабан исходя на расчета на прочность троса.

9.4. Груз опускается на тросе со скоростью v=12 м/с. В конце спуска включается тормоз, останавливающий груз на пути h=3м. Определить допускаемую величину груза, считая силу торможения постоянной, если [σ]=160 МПа. Площадь сечения троса F=5 см².

9.5. Тонкое стальное кольцо вращается вокруг центральной оси, перпендикулярной его плоскости (рис 9.4). Проверить прочность кольца при n_об=3000 об/мин и определить наибольшую допустимую окружную скорость точек среднего диаметра кольца. Средний диаметр кольца D =70 см, плотность ρ=7,85 т/м³, [σ]=100 МПа.

9.6. Для стержневой системы, изображенной на рис.9.5, учитывая совместное действие сил инерции:

а) определить площади стержней, если [σ]₁=[σ]₂=160МПа, а=9 м/с², m=3·10³ кг;

б) определить безопасную величину поднимаемого груза, если F₁ = 8см², F₂ = 200см², а = 9м/с², [σ]₁ = 160МПа, [σ]₂=10МПа.

9.7. Для стержневой системы (рис.9.6), вращающейся вокруг оси О₁О₂ с постоянной угловой скоростью ω, считая

ось абсолютно жесткой, определить при [σ]=100 МПа, Е₁=Е₂=Е₃=Е, n_об=300 об/мин:

а) площади стержней, если Q=500Н,

б) допускаемую величину груза Q, если , ,

9.8. Чугунный стержень круглого поперечного сечения, несущий на свободном конце груз Р (рис. 9.7), вращается вокруг горизонтальной оси О₁О₂ с постоянной угловой скоростью ω=1201/с.

Определить величину груза Р, при котором произойдет разрушение стержня, если [σ]=160 МПа, γ=7,2·10 кН/м³. Какова будет длина стержня при разрыве, если принять закон Гука, Е=1,2·10⁵ МПа.