3.2. Задачи по теме “ Электромагнитные волны”
Задача 3.2.1.
На какую длину волны λ будет резонировать контур, состоящий из катушки индуктивностью L = 4(МкГн) и конденсатора электроемкостью C = 1,11 нФ?
Решение: λ = cT (1), где
c – скорость света (или
иначе – скорость распространения
электромагнитных волн в вакууме); T
– период колебаний в колебательном
контуре. По формуле ТомсонаT
= 2π
(2)
. с = 3 ·
м
/ с.
Подставляя (2) в (1), будем иметь λ = c
· 2π
=
3 · 10
· 2 · 3, 14
=126(м).
Ответ: λ =126 м.
Задачи 3.2.2. Для демонстрации опытов Герца с преломлением электромагнитных волн иногда берут большую призму, изготовленную из парафина. Определить показатель преломления парафина, если диэлектрическая проницаемость ε = 2 и магнитная проницаемость μ = 1.
Решение: n=
-показатель
преломления прозрачного диэлектрика.
Подставляя значения ε и μ , получим n
=
=
1,41.
Ответ: n = 1,41.
Задача 3.2.3. Определить длину
электромагнитной волны в вакууме, на
которую настроен колебательный контур,
если максимальный заряд на обкладках
конденсатора q
=50
нКл, а максимальная сила тока в контуре
I= 1,5 А. Активным сопротивлением
контура пренебречь.
Решение: В колебательном контуре заряд на конденсаторе определяется выражением
q=q cosωt (1)
Тогда сила тока в цепи колебательного контура равна:
I=
=
-ωq
sinωt
(2) Откуда следует, что амплитуда тока
I
=ωq
,
следовательно: ω=
(3) . С другой стороны, так как ω=2πν,
то частота равна ν =
.
(4)
Длина электромагнитной волны в вакууме с учетом (4) и (3) определяется выражением:
λ =
.
Ответ: λ=628м.
Задача 3.2.4. Два параллельных провода, погруженных в глицерин, индуктивно соединены с генератором электромагнитных колебаний (рис.1).
При частоте ν=420 МГц в системе возникают стоячие волны, расстояние ℓ между соседними пучностями которых равно 7 см. Найти диэлектрическую проницаемость ε глицерина, принимая магнитную проницаемость его равной единице.
Решение: Д
лина
бегущей волны равна с одной стороны
λ
=
,
где V – фазовая скорость
бегущей волны в глицерине.μ=1 Она равна
V=
,
где с- скорость света в вакууме, а n
– показатель преломления глицерина.
В теории Максвелла показано, что n=
(1)
λ
=
,
(2)
С другой стороны длина бегущей волны
равна λ
=2
=2ℓ
(3)
Приравнивая левые части уравнений
(2) и (3), с учетом (1) получим
=2ℓ
(4), откуда с учетом того, что μ =1,
выражаем ε :
ε =
=
=26.
Ответ: ε =26.
Задача 3.2.5. Рассмотреть суперпозицию двух плоских монохроматических электромагнитных волн с одинаковыми амплитудами E0 и H0, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях. Начальную фазу прямой и обратной волн принять равной нулю. Определить координаты пучностей и узлов для :
электрического вектора E;
магнитного вектора H стоячей волны.
Решение Е=Е
соs(ωt-кx)
(1)– уравнение для вектора
напряженности электрического поля
прямой волны, распространяющейся вдоль
оси х в (+) положительном направлении,
т.е. Е
=Е
соs(ωt+кх)
(2)- уравнение отраженной от стенки волны,
распространяющейся против оси х, т.е. в
(-) направлении.
х
-?
х
-
?
По принципу суперпозиции сложим (1) и (2):
Найдем
координаты узлов и пучностей стоячей
волны. Пучности определятся из условия:
,гдеm=0,1,2,
откуда: х
=
.
Узлы определятся из условия:
,
откуда х
,
где m=0,1,2,…
2)
- уравнение для вектора
напряженности магнитного поля
электромагнитной волны, распространяющейся
вдоль оси х – прямая волна.
Чтобы написать уравнение для вектора
отраженной волны, нужно учесть, что
векторы
и волновой вектор
электромагнитной волны всегда образуют
правую тройку векторов.(рис.3.4)
Для того, чтобы выполнялось условие правой тройки векторов в отраженной от стенки волне, фазу колебаний вектора нужно изменить на π, при этом направление вектора в отраженной волне меняется на противоположное по отношению к направлению вектора в падающей волне
Рис. 3.4
Тройка векторов
и
электромагнитной волны правой ориентации
– всегда.
Для того, чтобы выполнялось условие правой тройки векторов в отраженной от стенки волны фазу колебаний вектора нужно изменить на π, при этом направление вектора в отраженной волне меняется на противоположное направление по отношению к направлению вектора в падающей волне:
- прямая волна;
-
отраженная волна.
Решение:
Пучности
,
откуда
;
Узлы
,
откуда
,
где m = 0,1,2,…
Итак, пучности
совпадают
с узлами
и
наоборот.
Задача 3.2.6. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна и падает по нормали на поверхность тела, полностью ее поглощающего. Амплитуда напряженности электрического поля волны равна 2 В/м. Определить давление, оказываемое волной на тело.
Решение: Давление электромагнитных волн в случае нормального падения волнопределяется по формуле:
,где
ρ - коэффициент отражения, <w>
- среднее значение объемной плотности
энергии электромагнитных волн.
,
где
.
Так как
,
то
(Па)=17,7пПа.
Ответ: <P>=17,7пПа.
Задача 3.2.7. Плоская монохроматическая
электромагнитная волна распространяется
вдоль оси х. Амплитуда напряженности
электрического поля волны Е
=5
мВ/м, амплитуда напряженности магнитного
поля волны Н
=1
мА/м. Определить энергию, перенесенную
волной за время t= 10 мин
через площадку, расположенную
перпендикулярно оси х, площадью
поверхности s= 15 см
.Период
волны Т<<t.
Решение: Интенсивность волны, т.
е. средняя энергия, переносимая волной
через единицу поверхности в единицу
времени, равна среднему значению вектора
Умова-Пойнтинга S: I=
,
где (1)
s=15см
(2)
t= 10 мин = 6 · 10
с .Учитывая в (2), что <cos(ωt-kx)>=
,
получим
W - ? <S>=
(3)
Тогда энергия, переносимая волной,
определяется выражением: W=I
· s · t = <S>
· s · t =
,
(4) где s площадь
поверхности, t – время.
Подставляя численные значения в формулу
(4), получимW=
Ответ: W=2,25мкДж.
Задача 3.2.8. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности Е электрического поля волны составляет 50 мВ/м. Определить интенсивность волны I, т.е. среднюю энергию, проходящую через единицу поверхности в единицу времени.
Решение:
Из теории электромагнитных волн следует,
что интенсивность μ=1 волны равна
среднему значению модуля вектора
Умова-Пойнтинга
Е
=
50мВ/м=
,
т.е. I=
(1) , где =5 · 10
В/м
(2)
Учитывая в (2), что <cos
>=
,
получим <S>=
(3)
Для амплитудных значений векторов Е и Н выполняется соотношение:
(4)
Откуда следует, что Н
=
. (5)
Подставляя (5) в (3), получим I=
,
(6) тогдаI=<S>=
.
Ответ: I=3,32мкВт/м .
Задача 3.2.9. Радиус круговой орбиты электрона в бетатроне r = 15,0 см. В конце цикла ускорения скорость электрона достигает значения v = 0,99995 с. Найти мощность Р излучения электрона при этой скорости обращения.
Решение: Посмотрим на вращающийся в бетатроне электрон как ротатор, который в свою очередь представим как систему двух осцилляторов, расположенных в центре орбиты и совершающих колебания во взаимно перпендикулярных направлениях ( например, вдоль осей Х и Y) с разностью фаз π/2. При этом осциллятором будут соответствовать электрические моменты
,
,
где ω = V/r
– угловая скорость вращения электрона
(она же и частота излучения).
Каждый из двух осцилляторов излучает сферическую электромагнитную волну частотой ω. Волновые поверхности излучателей имеют общий центр. Выберем сферическую поверхность радиуса R (R>>r) и на этой поверхности некоторую точку М. Векторы плотности потока энергии (векторы Пойнтинга) в точке М для излучений осцилляторов будут иметь одно и то же радиальное направление. Согласно формулам (2.53) и (2.54) для средних по времени значений интенсивности и мощности излучений осцилляторов будем иметь:
;
;
;
.
Поскольку
,
мощность излучения ротатора в целом
.
Если в эту формулу подставить
,
ω = V/r, для
мощности получим выражение:
,
где
- центростремительное ускорение
электрона. Формулу для Р можно представить
в другом виде, если учесть, что
:
.
Для заданных значений r
и V мощность излучения
электрона в бетатроне
.
Ответ: Р = 12,5эВ/с.
Контрольные задания по теме:
“Электромагнитные колебания
и волны”
