Задания к расчетно-графической работе

Найти свободное и вынужденное движения, а также выходной сигнал систем, описываемых дифференциальными уравнениями, приведенными в табл. 2.1, и определить качество выходных процессов.

Таблица 2.8.

Варианты заданий расчетно-графических работ

№	Уравнение	Входные воздействия
1	2	3
1	,
2	,
3	,

Продолжение табл. 2.1

1	2	3
4	,
5	,
6	, * имеется один корень =3 кратности k=3.
7	, * имеется один корень =3 кратности k=3.
8	,
9	,
10	,

2. Исследование выходных процессов многомерных линейных стационарных систем

Р

Многомерная система управления

еальные системы автоматического управления лишь в ограниченных случаях описываются одномерными моделями «вход-выход». Наличие перекрестных связей в объектах управления, необходимость, в ряде случаев, контроля не только выходной величины объекта, но и ее производных, определяют целесообразность представления систем управления в пространстве состояний в виде многомерных систем.

Входные, выходные и промежуточные сигналы в многомерных системах представляются вектор - функциями времени, например:

.

Многомерные линейные нестационарные системы в отличие от одномерных имеют, таким образом, r входов и k выходов и описываются уравнениями состояния

1132113\* MERGEFORMAT (.)

с начальными условиями

1142114\* MERGEFORMAT (.)

и уравнениями выхода

, 1152115\* MERGEFORMAT (.)

где x - n -мерный вектор состояния; g- r -мерный вектор входных воздействий (управлений); y - k - мерный вектор выхода (вектор измерений); t - время; t₀ - начальный момент времени; A(t), B(t), C(t) - матрицы размера (nn), (nr), (kn) соответственно.

Если матрицы A(t), B(t), C(t) не зависят от времени, система называется многомерной стационарной.

Как и для одномерных систем, изменения векторов состояния и выхода линейных многомерных систем представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений.

Свободное движение определяется решением однородной системы уравнений, соответствующей исходному уравнению состояния 2113:

1162116\* MERGEFORMAT (.)

с начальными условиями 2114. Если начальные условия нулевые, свободное движение в системе отсутствует.

Вынужденное решение определяется решением неоднородного уравнения 2113 при нулевых начальных условиях.

Для многомерных нестационарных систем, описываемых соотношениями 2113 - 2115, законы изменения вектора состояния и выхода определяются по формулам:

1172117\* MERGEFORMAT (.)

, 1182118\* MERGEFORMAT (.)

где

1192119\* MERGEFORMAT (.)

– переходная матрица, или матрица Коши, являющаяся решением уравнения

1202120\* MERGEFORMAT (.)

с начальным условием

; 1212121\* MERGEFORMAT (.)

(t) =(₁…_n) – фундаментальная матрица; ₁(t)…_n(t) – линейно независимые решения однородной системы.

Для многомерных стационарных систем законы изменения векторов состояния и выхода определяются по формулам:

1222122\* MERGEFORMAT (.)

1232123\* MERGEFORMAT (.)

Определение переходной матрицы возможно тремя способами.

Способ I.

Если фундаментальная матрица (t) =(₁(t)…_n(t)), столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы дифференциальных уравнений 2116 известна, то переходная матрица находится по формуле 2119. При этом общее решение системы 2116 можно записать в виде

1242124\* MERGEFORMAT (.)

где с₁,…, с_n – произвольные постоянные.

Для стационарных систем следует выполнить действия:

1. Найти корни характеристического уравнения

, 1252125\* MERGEFORMAT (.)

где Е – единичная матрица.

2. Выписать выражение общего решения 2124 для каждой компоненты вектора x в зависимости от типа корней (см. РГР №1). При этом произвольные постоянные в выражениях различны.

3. Полученные выражения подставить в однородную систему. Во многих случаях достаточно подставить в первые n-1 уравнений системы, что облегчает решение задачи.

4. Приравнять коэффициенты при одинаковых функциях аргумента t и решить полученную систему уравнений.

5. Выписать общее решение, зависящее от n произвольных постоянных в форме 2124. В результате находится фундаментальная матрица, а по формуле 2119 - переходная.

Пример 1. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениями

Матрица системы имеет вид .

1. Корни характеристического уравнения , ²-4-5=0 действительные, разные: ₁=5, ₂= -1.

2. Запишем выражение общего решения для каждой компоненты:

3. Подставим полученные решения в первое уравнение системы:

4. Приравняв коэффициенты при e^5t и e^-t, получим

или

5. Из п.п. 2 и 4 имеем

Откуда

и по формуле 2119

Способ II.

Применяется теорема разложения Сильвестра. Переходная матрица стационарной системы определяется по формуле

1262126\* MERGEFORMAT (.)

где _i – собственные значения матрицы А (предполагается, что они различны), Е – единичная матрица.

Пример 2. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениями

1. Перепишем уравнения системы в матричной форме

.

2. Определим собственные значения матрицы А

откуда ₁=3, ₂= -1. Тогда, в соответствии с 2126

Способ III.

Применяется теорема Кели - Гамильтона.

Первый случай. Собственные значения матрицы А различны. В этом случае

, 1272127\* MERGEFORMAT (.)

где n - число строк матрицы А; A^n-1 – (n-1)-я степень матрицы А; коэффициенты r₀, r_1, …, r_n-1 многочлена R(A) находятся из системы уравнений

1282128\* MERGEFORMAT (.)

Второй случай. Матрица А имеет кратные собственные значения. Формула 2127 также справедлива, но корню _i кратности  в системе n уравнений 2128 соответствуют соотношения

1292129\* MERGEFORMAT (.)

Пример 3. Для случая, изложенного в примере 2, найти переходную матрицу с использованием теоремы Кели – Гамильтона.

Собственные значения ₁=3, ₂= -1 матрицы А различны, n=2 и, следовательно, используется первый случай.

Составим систему уравнений 2128

Отсюда .

Тогда по формуле 2127 имеем

Изменение векторов состояния и выхода при известной переходной матрице определяется в соответствии с 2117, 2118 или 2122, 2123.

Пример 4. Для задачи примера 2 определить векторы состояния и выхода.

Поскольку система стационарна, в соответствии с 2122, 2123 имеем

,

.