11. Синтез систем стабилизации неустойчивых объектов автоматического управления путем размещения полюсов

Цель работы: Изучение способа синтеза систем автоматического управления размещения корней характеристического уравнения замкнутой системы операторным методом.

После выполнения лабораторной работы необходимо знать:

• Принцип модального управления.

• Метод синтеза систем управления, базирующийся на размещении коней характеристического уравнения замкнутой системы.

Теоретические сведения

Перед началом выполнения работы целесообразно ознакомится с разделом 5.2.3. учебного пособия /1/. Ниже приводятся краткие теоретические сведения, достаточные для выполнения лабораторной работы.

Пусть анализ линейной модели объекта, которым, в общем случае, может быть и система с неудовлетворительными качественными показателями переходных процессов, свидетельствует о неустойчивости движения. Математически этот факт выражается в наличии корней характеристического полинома с неотрицательной действительной частью. Возникает задача стабилизации неустойчивого объекта или системы.

Необходимым топологическим условием изменения расположения корней характеристического полинома является образование контура, содержащего объект управления. Кроме того, передаточная функция объекта по выбранному каналу «вход-выход» не должна иметь неустойчивых диполей. В противном случае никакая ОС не сможет переместить корни неполной части.

В зависимости от формы представления модели объекта и требований к собственным движениям системы могут быть применены различные методы синтеза.

Размещение корней характеристического полинома. Операторный метод. Допустим, что требования к системе представлены в форме желаемого множества корней характеристического полинома. Необходимо найти алгоритм регулятора, размещающего корни в назначенных местах комплексной плоскости. Корни характеристического полинома s_i — это полюсы передаточной функции системы; по данной причине иногда говорят о задаче размещения полюсов. Поскольку корням s_i соответствуют составляющие собственных движений exp(s_i) — так называемые моды — то задачу размещения корней иногда называют управлением модами, или модальным управлением.

Запишем дифференциальное уравнение объекта в операторной форме:

67167\* MERGEFORMAT (.)

где – числитель и знаменатель передаточной функции объекта.

Положим, что степень n полинома А выше степени m полинома B_. Кроме того, допустим, что полиномы взаимно просты и, следовательно, описание вход-выход объекта является полным.

Искомое дифференциальное уравнение стабилизирующей отрицатель­ной ОС (регулятора) также запишем в общем виде в операторной форме

. 68168\* MERGEFORMAT (.)

Характеристический полином автономной замкнутой системы получим, если исключим переменную G(s) из уравнений 167 и 168:

.

Потребуем тождества характеристического полинома А_сl желаемому полиному

69169\* MERGEFORMAT (.)

_{построенному по заданным корням}

. 70170\* MERGEFORMAT (.)

Из уравнения 170 необходимо найти операторные полиномы L(s) и P(s) регулятора.

В соответствии с теоремой Сильвестра если полиномы A(s) и B(s) взаимно просты (не имеют общих сомножителей), а – произвольный полином степени n_c=2n-1, где n – старшая из степеней полиномов A(s) и B(s), то существуют полиномы L(s) и P(s) степени , такие, что .

Таким образом, для выполнения условия 170 степени полиномов n_l и n_p должны быть на единицу меньше степени полинома А(s), т.е , а порядок желаемого характеристического полинома – n_с=2n-1.

После того, как порядки полиномов , P(s) и L(s) определены 170 можно представить в виде

где и – векторы коэффициентов полиномов P(s) и L(s) соответственно.

Далее, приравнивая коэффициенты при равных степенях, составляется система из n_c+1 уравнений, решение которой определяет значения коэффициентов полиномов регулятора и .

Другой способ составления системы уравнений для определения коэффициентов полиномов регулятора и заключается в использовании матрицы Сильвестра М_е размерности (2n)×(2 n)

71171\* MERGEFORMAT (.)

где n – степень полинома A(s), – коэффициенты желаемого характеристического уравнения.

Решение 171 также позволяет определить коэффициенты полиномов регулятора и .

Подбором полиномов P(s) и L(s) можно получить любой желаемый характеристический полином системы и даже добиться понижения степени за счет взаимного уничтожения старших коэффициентов. При этом часть корней полинома уходит в бесконечность. Поскольку неточная компенсация может дать полиномы с малыми отрицательными коэффициентами, то часть корней переходит в правую полуплоскость. Системы, полученные таким образом, оказываются негрубыми – при малейшей неточности в реализации регулятора или несоответствии объекта модели, система будет катастрофически неустойчивой – характеристический полином A_cl(s) будет иметь большие по модулю правые корни.