Таким образом, при любом х имеет место разложение

.

Р а з л о ж е н и е ф у н к ц и и . Имеем:

откуда, полагая х = 0, получаем: , Составим по формуле (4.13) для функции ряд Маклорена:

Легко проверить, что полученный ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой. Исследуем остаточный член

где . Так как , то

. В силу (4.16) . Следовательно, при любом х. А это означает, что функция является суммой построенного ряда, т. е. имеет место разложение

.

Р а з л о ж е н и е ф у н к ц и и . Аналогично предыдущему, можно получить разложение функции в ряд Маклорена, справедливое при любом х. Однако еще проще разложение получается почленным дифференци-рованием ряда для :

откуда .

Кроме рассмотренных функций , , в ряд Маклорена могут быть разложены и многие другие функции. Вместо ряда Маклорена можно было бы рассмотреть более общий ряд Тейлора по степеням , где , т.е. ряд вида

Все изложенное полностью переносится и на эти ряды.

При разложении функции в ряд Маклорена было использовано свойство почленной дифференцируемости степенных рядов. Аналогично можно использовать и другое свойство степенных рядов – их почленную интегрируемость. В качестве примера разложим с помощью почленного интегрирования в степенные ряды функции и .

Рассмотрим ряд Данный ряд является геометрической прогрессией, первый член которой равен единице, а знаменатель . Как известно, при данный ряд сходится и его сумма равна . Следовательно,

. (4.17)

Равенство (4.17) является разложением функции в степенной ряд.

Подставляя в равенство (4.17) вместо х, получаем равенство справедливое при Проинтегрируем этот степенной ряд почленно в пределах от 0 до х ( ). Имеем

Отсюда

. (4.18)

Равенство (4.18) является разложением функции в степенной ряд. Оно справедливо при . Можно доказать, что это равенство верно и для . Действительно, при левая часть (4.18) равна , а правая часть – сходящийся по признаку Лейбница числовой ряд

. (4.19)

Остается проверить справедливость равенства

(4.20)

Для этого проинтегрируем от 0 до 1 выражение

,

полученное в результате деления единицы на . Имеем

,

т. е. (4.21)

В этом равенстве сумма первых п слагаемых является частичной суммой ряда (4.19). Запишем (4.21) в виде

= (4.22)

Так как при то

при . Отсюда заключаем, что интеграл в правой части

(4.22) стремится к нулю при , следовательно,

что и означает справедливость равенства (4.20).

Найдем теперь разложение функции . Подставляя в (4.17) вместо х и интегрируя по t от 0 до х, имеем

. (4.23)

Равенство (4.23) справедливо при . Однако аналогично предыдущему можно показать, что оно верно и для .

В заключение отметим, что степенные ряды имеют разнообразные приложения. С их помощью с любой заданной точностью вычисляют значения функций (в частности, значения и е); находят приближенные значения определенных интегралов, которые или не выражаются через элементарные функции, или сложны для вычислений. Так, например, интеграл не берется в элементарных функциях, поскольку первообразная функции не является элементарной. В то же время эта первообразная легко выражается в виде степенного ряда. Действительно, так как то, умножая этот ряд на , получаем причем последний ряд сходится при любом х. Интегрируя его почленно от 0 до а, имеем .

С помощью этого равенства можно при любом а с любой степенью точности вычислить данный интеграл.