1. Комплексные числа и действия над ними
1.1. Комплексные числа. Основные определения
Определение.
Комплексные
числа ᴢ называется выражение вида
,
где x и y - любые действительные числа,
а i - мнимая единица,
определяемая равенством
или
(
называется алгебраической формой записи
комплексного числа).
Пример.
;
.
Число x
называется действительной или
вещественной частью числа
,
а
- мнимой частью. Их обозначают так:
,
.
Тогда можно записать:
.
Если
,
то число
называется чисто мнимым. Если же
,
то получается действительное число:
.
Отсюда следует, что множество комплексных
чисел содержит в себе как часть множество
действительных чисел. Два комплексных
числа
и
,
которые отличаются только знаком мнимой
части, называются сопряженными. Понятие
равенства комплексных чисел вводится
по следующему правилу: два комплексных
числа
и
равны тогда и только тогда, когда равны
соответственно их действительные и
мнимые части. То есть
<=>
,
.
Отсюда следует, что комплексное число
равно нулю тогда и только тогда, когда
Любое комплексное
число
можно изобразить на плоскости
в виде точки
с координатами
и
.
И обратно, каждой точке плоскости
соответствует комплексное число
.
Плоскость
в этом случае называется плоскостью
комплексной переменной
и на ней ставится обозначение
.
Точкам плоскости
,
лежащим на оси
,
соответствуют действительные числа
.
Точки, лежащие на оси
,
изображают чисто мнимые числа, так как
на ней
.
Поэтому при изображении комплексного
числа ось
называется действительной осью, а ось
-
мнимой.
В ряде случаев
комплексное число
удобно трактовать как вектор
,
соединяющий точку
с началом координат.
Для получения
тригонометрической формы записи
комплексного числа введем в рассмотрение
полярную систему координат. В этом
случае т.
называется полюсом, а полупрямая
- полярной осью. Положение т. М
на плоскости в полярной системе координат
определяется двумя числами: числом
- расстоянием от т. М
до полюса и числом
- величиной угла в радианах, составляемого
вектором
с полярной осью. Положительным направлением
отсчета угла
- считается направление против часовой
стрелки. Числа
и
называются полярными координатами т.
М
(полярный радиус и полярный угол рис.1)
.
y
y
0
x
M(x,y)
x
Рис.1
Из рис.1 вытекает следующая связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами:
(*).
Тогда комплексное число z можно записать в следующей форме:
,
или
(1.1)
Это выражение
называется тригонометрической формой
комплексного числа. Величина
называется модулем комплексного числа
и обозначается
;
величина
называется аргументом комплексного
числа и обозначается
.
Из рис.1 легко получить выражение для
модуля комплексного числа
.
Для аргумента получаем выражение
.
Очевидно, что аргумент комплексного
числа
не является однозначной функцией, так
как соотношениям (*) удовлетворяет
бесконечное множество углов, отличающихся
друг от друга на слагаемое
,
где
.
Поэтому вводится понятие главного
значения аргумента комплексного числа
и удовлетворяющего соотношению
.
В ряде случаев главное значение аргумента комплексного числа удобно вычислять с помощью таблицы
Пример.
Записать комплексное число
в тригонометрической форме.
Решение.
Здесь
,
;
;
.
Тогда
Замечание 1.
Модуль комплексного числа
равен нулю. В качестве его аргумента
можно принять любой угол. Тогда в
тригонометрической форме она будет
иметь вид:
.
Замечание 2.
Сопряженные комплексные числа
и
имеют одинаковый модуль:
,
а их аргументы равны по абсолютной
величине и отличаются знаком:
Если
,
то
.
Рис. 2
Связь между показательной функцией с мнимым показателем и тригонометрическими функциями устанавливается с помощью формулы Эйлера:
(1.2)
По формуле (1.1) любое комплексное число можно представить в виде . С учетом формулы (1.2) получим
(1.3)
- показательная форма комплексного числа. В (1.3) как и в (1.1), - модуль комплексного числа, а - его аргумент.
Пример.
Записать комплексное число
в показательной форме.
Решение.
Здесь
,
;
.
Тогда
.