16.2. Доверительный интервал для математического ожидания св X, распределенной по закону n(m, σ) при известном σ

Пусть CB X имеет нормальное распределение N(m,σ). Тогда доверительный интервал для параметра m по результатам выборки x₁,x₂,...,x_n объемом п при условии, что дисперсия σ² известна, а доверительная вероятность равна 1-α, имеет вид

. (16.3)

Здесь u_1-α/2, квантиль стандартизованного нормального распределения, определяется как решение уравнения

.

Для u_1-α/2 имеется таблица

1-α	0,90	0,95	0,99	0,997	0,999
u1-α/2	1,64	1,96	2,58	3,00	3,37

Из анализа полученных соотношений можно сделать следующие выводы.

1. Увеличение объема п выборки приводит к уменьшению длины доверительного интервала.

2. Увеличение доверительной вероятности (1-α) приводит к увеличению длины доверительного интервала, то есть к уменьшению точности δ.

3. Если задать точность δ, то есть предельную погрешность интервальной оценки, по формуле (2) и доверительную вероятность 1-α, то из соотношения можно найти минимальный объем выборки, который обеспечивает заданную точность:

.

16.3. Доверительный интервал для мо св X, распределенной по нормальному закону при неизвестном σ

Если генеральная совокупность и неизвестно, то с вероятностью

, , (16.4)

,

где , – квантиль распределения Стьюдента (Пирсона) с степенью свободы уровня , – объем выборки .

Для нахождения квантилей распределения Стьюдента t_p имеется таблица. Приведем ее для двух значений доверительной вероятности.

1-α n	5	10	20	30	∞
0,95	2,571	2,228	2,086	2,042	1,960
0,99	4,032	3,169	2,845	2,750	2,576

16.4. Доверительный интервал для σ2 св X, распределенной по нормальному закону

Пусть СВ X имеет нормальное распределение N(m,σ), причем m и σ неизвестны. Тогда доверительный интервал для параметра σ² по выборке х₁х₂,..,x_n объемом п с доверительной вероятностью 1-α имеет вид

(16.5)

Для квантилей имеются таблицы.

Замечание. Так как при п→∞ распределение приближается к нормальному, то при достаточно большом объеме выборки (п≥50) доверительный интервал можно найти по формуле

,

где u_1-α/2 квантиль стандартизованного нормального распределения, соответствующая доверительной вероятности 1-α.

Пример 16.1. Измерения сопротивления резистора дали следующие результаты (в омах): , , , , , , , . Известно, что ошибки измерения имеют нормальный закон распределения. Систематическая ошибка отсутствует. Построить доверительный интервал для истинного сопротивления резистора с надежностью 0,99 в предположении: а) дисперсия ошибки измерения известна и равна 4; б) дисперсия ошибки измерения неизвестна.

Решение. В данной серии из девяти наблюдений

.

Если дисперсия ошибки измерения известна, то можно воспользоваться формулой (16.3). Для этого из таблицы функции Лапласа (см. приложение) находим, что , т.е. уровню надежности 0,99 соответствует значение . Тогда по формуле (16.3)

или с вероятностью 0,99.

В случае неизвестной дисперсии ее можно оценить на основе тех же опытных данных:

, .По таблице распределения Стьюдента (см. приложение, табл. 3) для степеней свободы и заданной вероятности находим . Тогда по формуле (16.4)

или с вероятностью .

Пример 16.2. В таблице приведены сгруппированные данные измерений роста у 50 наугад выбранных студентов:

Рост	166 – 170	170 – 174	174 – 178	178 – 182	182 – 186	186 – 190
Число Студентов	3	7	15	13	11	1

Оценить средний рост и дисперсию роста студентов. Построить доверительный интервал для среднего роста студентов с надежностью 0,9.

Решение. Так как данные сгруппированы, то в качестве представителя каждого интервала можно взять середину этого интервала. Тогда

,

,

Так как , то по формуле (16.4) имеем

или с вероятностью 0,9.►

Пример 16.3. По результатам девяти измерений емкости конденсатора получена оценка мкФ. Среднеквадратическая ошибка измерения известна и равна 0,04 мкФ. Построить доверительный интервал для емкости конденсатора с надежностью 0,95.

Решение. В предположении, что ошибки измерения имеют нормальный закон распределения можно воспользоваться формулой (16.3). Так как , то

или с вероятностью 0,95.

вероятности 1-α.