Занятие №15. Статистическая оценка неизвестных параметров распределения. Точечные оценки

15.1. Постановка задачи

При обработке опытных данных часто бывает так, что вид закона распределения генеральной совокупности (ЗРГC) известен, а требуется найти только некоторые параметры, от которых он зависит. Например, если известно, что СВ X распределена по нормальному закону, то на основании опытных данных (по выборке) необходимо "оценить", то есть найти приближенное значение двух параметров - МО и СКО.

Одна из задач математической статистики и состоит в нахождении оценок неизвестных параметров по выборке наблюдений.

Пусть из ГС с ФР F(x,θ), где θ - неизвестный параметр, произведена выборка x₁, x₂,…,x_n объемом п. В качестве оценки параметра θ рассматривают функции элементов выборки , которые называются статистиками.

Задача оценки неизвестного параметра θ сводится к нахождению таких статистик (выборочных функций) , которые могут быть использованы для приближенного определения значения неизвестного параметра θ.

Оценки параметров подразделяются на точечные и интервальные.

15.2. Основные свойства точечных статистических оценок распределения

Точечная оценка параметра θ определяется одним числом .

Качество оценок характеризуется некоторыми свойствами. Сформулируем основные из них.

Свойство 1. Оценка называется несмещенной, если ее МО равно оцениваемому параметру, то есть если М( )= . Разность M( )- называется смещением.

Свойство 2. Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки п оценка сходится по вероятности к θ, то есть .

Свойство 3. Пусть и - две различные несмещенные

оценки параметра θ. Если D( )<D( ), то говорят, что оценка

более эффективна, чем оценка .

Требование несмещенности устраняет систематические ошибки в определении оценок, обусловленных ограниченным объемом выборки.

Требование состоятельности гарантирует от совершения грубых ошибок ε в определении θ при достаточно большом объема п выборки.

Свойство эффективности используется для выбора оценки, обладающей наименьшим разбросом.

15.3. Статистическая оценка мо

В качестве статистической оценки МО выбирается выборочное среднее.

Выборочным средним называется среднее арифметическое элементов выборки

. (15.1)

Если - варианты выборки, -частоты вариант ,

- объем выборки, то

(15.2)

Для группированной выборки это соотношение принимает вид

. (15.2)

Выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой.

По поводу эффективности заметим, что если CВ X распределена по нормальному закону, то выборочное среднее является эффективной оценкой МО.

15.4. Статистическая оценка дисперсии

В качестве статистической оценки дисперсии D(X) CB X примем выборочную дисперсию

, (15.4)

или

(15.5)

для группированной выборки

. (15.6)

Но оценка s² является смещенной. Для получения несмещенной оценки дисперсии выборочную дисперсию s² исправляют, умножая ее на множитель n/(n-1).