1. 2. Комплексная форма ряда Фурье

С помощью формул Эйлера

,

тригонометрический ряд (1) можно записать в комплексной форме

(8)

где

(9)

Действительные и комплексные коэффициенты ряда Фурье связаны соотношениями:

(10)

Совокупность называется комплексным амплитудным спектром.

Пример 2. Сигнал представить рядом Фурье в комплексной форме. Воспользовавшись полученным разложением, записать ряд Фурье в действительной форме и построить графики спектров и .

Рис. 4

Решение.

Вычислим коэффициенты ряда Фурье по формулам (9).

Применим формулы Эйлера:

Тогда

Следовательно, в точках непрерывности f(t) имеем (8):

Найдем коэффициенты тригонометрического ряда (10):

Подставляя эти коэффициенты в (1), получим:

По формуле (7) вычислим амплитуды:

Графики амплитудных спектров имеют вид:

Рис. 5

1 .3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Если функция f(t) задана на промежутке , то её следует доопределить так, чтобы она стала периодической, а затем вспомогательную функцию разложить в ряд Фурье. Поскольку вспомогательных функций, совпадающих с f(t) на , можно построить бесконечно много, то разложение не будет единственным. Если удастся доопределить функцию так, чтобы вспомогательная функция была чётной или нечётной то разложение упростится, так как ряд будет содержать в первом случае только косинусы, а во втором – только синусы (3). Но в любом случае на все полученные ряды в точках непрерывности функции будут сходиться к заданной функции f(t) , а в точках разрыва – к среднему арифметическому пределов функции слева и справа.

Пример 3. Продолжая функцию f(t) четным образом, разложить в ряд Фурье по косинусам:

, если .

Решение. Введем вспомогательную функцию, φ(t), которая на отрезке совпадает с функцией f(t) и является чётной и периодической (рис. 7):

.

t

Найдем коэффициенты ряда Фурье (3) для вспомогательной четной функции φ(t).

Рис. 7

Тогда

На отрезке , следовательно, полученный ряд при является рядом Фурье для заданной функции f(t).

1.4. Интеграл Фурье в действительной форме

Теорема. Пусть f(t) – абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е , и на любом конечном интервале разлагается в ряд Фурье. Тогда ее интеграл Фурье , где , (11)

равен f(t) в каждой точке непрерывности и равен в каждой точке разрыва функции f(t).

В случае четной функции f(t)

нечетной

.

Таким образом, интеграл Фурье для четной функции имеет вид

, где .

Для нечетной

, где .

Функция называется косинус-преобразованием Фурье; - синус-преобразованием.

1.5. Интеграл Фурье в комплексной форме

Комплексная форма интеграла Фурье имеет вид

, (12)

где . (13)

Функция , определенная по формуле (13), называется преобразованием Фурье или спектральной плотностью.

Тогда по смыслу есть спектральная плотность амплитуд комплексного спектра.

Функция , определенная по формуле (12),называется обратным преобразованием Фурье. Напомним, что равенство (12) выполняется в точках непрерывности данной функции .

В математической литературе часто называют изображением, а - оригиналом и записывают или .