1. 2. Комплексная форма ряда Фурье
С помощью формул Эйлера
,
тригонометрический ряд (1) можно записать в комплексной форме
(8)
где
(9)
Действительные и комплексные коэффициенты ряда Фурье связаны соотношениями:
(10)
Совокупность
называется комплексным амплитудным
спектром.
Пример
2. Сигнал
представить
рядом Фурье в комплексной форме.
Воспользовавшись полученным разложением,
записать ряд Фурье в действительной
форме и построить графики спектров
и
.
Рис. 4
Решение.
Вычислим коэффициенты ряда Фурье по формулам (9).
Применим формулы Эйлера:
Тогда
Следовательно, в точках непрерывности f(t) имеем (8):
Найдем коэффициенты тригонометрического ряда (10):
Подставляя эти коэффициенты в (1), получим:
По формуле (7) вычислим амплитуды:
Графики
амплитудных спектров имеют вид:
Рис. 5
1 .3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Если функция f(t)
задана на промежутке
,
то её следует доопределить так, чтобы
она стала периодической, а затем
вспомогательную функцию разложить в
ряд Фурье. Поскольку вспомогательных
функций, совпадающих с f(t)
на
,
можно построить бесконечно много, то
разложение не будет единственным. Если
удастся доопределить функцию так, чтобы
вспомогательная функция была чётной
или нечётной то разложение упростится,
так как ряд будет содержать в первом
случае только косинусы, а во втором –
только синусы (3). Но в любом случае на
все полученные ряды в точках непрерывности
функции будут сходиться к заданной
функции f(t)
, а в точках разрыва – к среднему
арифметическому пределов функции слева
и справа.
Пример 3. Продолжая функцию f(t) четным образом, разложить в ряд Фурье по косинусам:
, если
.
Решение. Введем вспомогательную функцию,
φ(t), которая
на отрезке
совпадает с функцией f(t)
и является чётной и периодической (рис.
7):
t
.
Найдем коэффициенты ряда Фурье (3) для вспомогательной четной функции φ(t).
Рис. 7
Тогда
На отрезке
,
следовательно, полученный ряд при
является рядом Фурье для заданной
функции f(t).
1.4. Интеграл Фурье в действительной форме
Теорема. Пусть f(t)
– абсолютно интегрируема на всей
числовой оси, т.е
, и на любом конечном интервале
разлагается
в ряд Фурье. Тогда ее интеграл Фурье
,
где
,
(11)
равен f(t)
в каждой точке непрерывности и равен
в каждой точке разрыва функции f(t).
В случае четной функции f(t)
нечетной
.
Таким образом, интеграл Фурье для четной функции имеет вид
, где
.
Для нечетной
, где
.
Функция
называется
косинус-преобразованием Фурье;
-
синус-преобразованием.
1.5. Интеграл Фурье в комплексной форме
Комплексная форма интеграла Фурье имеет вид
, (12)
где
. (13)
Функция
,
определенная по формуле (13), называется
преобразованием Фурье или спектральной
плотностью.
Тогда
по
смыслу есть спектральная плотность
амплитуд комплексного спектра.
Функция
,
определенная по формуле (12),называется
обратным преобразованием Фурье. Напомним,
что равенство (12) выполняется в точках
непрерывности данной функции
.
В математической литературе
часто называют изображением, а
-
оригиналом и записывают
или
.