3.3.6.2. Необходимые сведения из теории полезности

Впервые условия, необходимые и достаточные для представления предпочтений ЛПР на множестве вероятностных мер с помощью линейной вещественно значимой функции, так называемой функции полезности, были получены Нейманом и Моргенштерном в 1947 году. В настоящее время принято разделять эти условия на две группы.

Условия из первой группы касаются множества всех рассматриваемых вероятностных мер и в современной литературе просто включаются в определение этого множества, называемого множеством вероятностных смесей. Вторая группа условий касается описания отношения предпочтения на множестве смесей - именно она известна сейчас как система аксиом Неймана-Моргенштерна, или аксиом классического представления полезности. Оценивается лотерея L:

р(А) + (1 -Р)(В),

где: А - выигрыш с вероятностью р, В - выигрыш с вероятностью (1 -р).

Чтобы определить величину полезности, отражающую отношение индивида к какому-либо выигрышу X, мы его спрашиваем или наблюдаем за его поведением; в этом случае мы устанавливаем, при какой вероятности р' ему безразлично, что выбрать - стандартный лотерейный билет L(p') или X. Оценка полезности U сводится к определению полезности U(L(p')) на основе выражения, сформулированного Нейманом и Моргенштерном. Кроме того, Нейман и Моргенштерн постулировали пять аксиом, достаточных, чтобы гарантировать существование такой функции полезности, при которой ранжирование лотерей по их ожидаемой полезности полностью соответствует действительным предпочтениям индивида.

3.3.6.3. Применение методов теории полезности

Требование линейности функции полезности в классическом представлении (обеспечиваемое также почти во всех представлениях, разработанных позднее) связано с его применением для решения практических задач. Дело в том, что при выполнении ряда дополнительных предположений условие линейности дает возможность выразить функцию полезности на множестве вероятностных смесей в виде математического ожидания ее значений на множестве детерминированных исходов. Это имеет большое практическое значение, поскольку позволяет свести задачу построения функции полезности на множестве смесей к задаче ее построения на множестве исходов. В ряде работ используются понятия детерминированного и вероятностного эквивалентов, на которые опирается большинство известных методов практического построения функции полезности.

3.3.6.4. Классификация функций полезности по склонности к риску

Как правило, методы практического построения функции полезности опираются на сравнение простых лотерей. Рассматриваются также вырожденные лотереи, отождествляемые с детерминированными исходами. В связи с этим все методы делятся на два класса: методы, основанные на сопоставлении простой лотереи и детерминированного исхода, и методы, базирующиеся на сопоставлении двух невырожденных простых лотерей. Каждый из этих классов, в свою очередь, распадается на несколько групп. Например, методы простой лотереи предполагают сопоставление лотереи L:p(A) + (1 - р)(В) с детерминированным исходом S. Методы сравнения по предпочтению базируются на определении риска для простой лотереи L и детерминированного исхода S. Существуют два подхода к реализации подобных методов. Один из них включает предварительное исследование отношения к риску и проверке согласованности получаемых значений функции полезности. При этом каждое сравнение по предпочтению задает линейное ограничение на функцию полезности. Таким образом, могут быть получены сколь угодно узкие границы, в которых находится искомая допустимая функция полезности. Второй подход основан на схождении к точке безразличия.

Остальные методы данного класса базируются на определении различного рода эквивалентов. Определение эквивалента заключается в нахождении точки безразличия между лотереей и детерминированным исходом. Существует несколько подходов к оцениванию точки безразличия:

1. прямая оценка - ЛПР указывает точное значение точки безразличия;

2. схождение - последовательная корректировка до получения точки безразличия;

3. метод границ - установление нижних и верхних границ для точки безразличия [118].