
- •Введение
- •1. Лекции
- •1.1. Проблемная лекция
- •1. Тема «Кривые второго порядка»
- •2. Тема «Свойства функций, непрерывных на отрезке»
- •3. Тема «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
- •1.2 Лекция-визуализация
- •1.3. Лекция-конференция
- •1.4. Лекция-беседа
- •2. Практические занятия
- •2.1. Лабораторные работы
- •2.2. Элементы компьютерных симуляций
- •2.3. Дидактические игры
- •2.4. Решение сюжетных и профессионально-ориентированных задач
- •2.5. Составление опорных конспектов
- •Основные виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Исследование знакопеременного ряда на сходимость
- •3. Самостоятельная работа студентов
- •На сайте http://www.Mathtest.Ru (тесты по математике online) можно за 15 минут или быстрее проверить свой уровень знаний по математике за любой раздел первого курса.
- •3.1. Использование рабочих тетрадей
- •Фрагмент рабочей тетради по теме «Кратные интегралы»
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Фрагменты рабочей тетради по теме «Степенные ряды»
- •3.2. Работа над учебными проектами
- •4) Проект «Сборник профессиональных задач»
- •5) Проекты, связанные с опредмечиванием математических объектов
- •6) Игровые проекты
- •3.3. Обучающее тестирование
- •Литература
- •Оглавление
- •4) Проект «Сборник профессиональных задач» 134
- •5) Проекты, связанные с опредмечиванием математических объектов 137
- •6) Игровые проекты 138
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
3. Тема «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
Обычно изложению темы «Обыкновенные дифференциальные уравнения» предшествует рассмотрение практической задачи из какой-либо предметной области, приводящей к дифференциальному уравнению.
Однако общая постановка задач, приведших к появлению дифференциальных уравнений, возникла не из запросов практики, а в недрах самой математики. Как только задачи на проведение касательных к кривым свелись к вычислению производных, они потеряли свою привлекательность для ученых. Их решение теперь состояло в применении известных правил и не требовало творчества. Внимание математиков переключается на более сложные обратные задачи на касательные. Так назывались задачи, в которых требуется найти кривые по заданным свойствам касательных к ним.
Первые обратные задачи на касательные сформулировал в 1638 г. французский математик Флоримон де Бон.
В этой связи студентам можно сначала предложить, например, такую задачу: Найти все кривые, обладающие следующим свойством: если в любой точке кривой провести касательную, то отрезок касательной, заключенный между осями координат, будет делиться в точке касания пополам (рис. 1.4).
Р
ешение.
Пусть
– искомая кривая. Обозначим через X
и Y
координаты точек касательной к этой
кривой и запишем уравнение этой
касательной в точке
:
.
Найдем точки пересечения касательной с осями координат:
A:
X = 0
;
B:
Y = 0
.
Так как точка касания M – середина отрезка AB, то
и
,
откуда следует, что искомая кривая должна удовлетворять соотношению
.
Для решения задачи по ее условию составлено уравнение, выражающее зависимость между искомой функцией, ее аргументом и производной; оно называется дифференциальным.
Легко
убедиться, что функции вида
,
где C
– произвольная постоянная, дают все
решения полученного уравнения:
,
,
(две первообразные одной функции отличаются на постоянную),
(
),
.
Далее, поскольку к дифференциальным уравнениям приводит множество практических задач, полезно рассмотреть также другие, сначала достаточно простые, затем – более содержательные, задачи из физики, техники, экономики или других областей, приводящие к дифференциальным уравнениям: о радиоактивном распаде, об охлаждении тела, о движении моторной лодки, о потере заряда проводником, о концентрации раствора, об износе оборудования, о зависимости давления воздуха от высоты над уровнем моря и т. п. Сюжет задачи определяется направлением подготовки студентов [1], [3], [11], [16].
Например, студентам технических направлений можно предложить установить зависимость между переменной массой и скоростью летящей ракеты [47].
Рассмотрим
движение ракеты в космосе. Для простоты
пренебрежем всеми внешними силами,
действующими на ракету. Основными
параметрами, характеризующими ракету
и ее двигатель, являются:
– скорость
истечения газов из сопла ракеты
относительно корпуса ракеты, для простоты
считаем ее постоянной, она зависит
от вида применяемого топлива;
–
исходная масса ракеты с горючим;
–
конечная масса ракеты после выгорания
всего горючего.
Напишем
уравнение движения ракеты, считая, что
она движется по прямой линии. Пусть
– координата ракеты (вдоль этой прямой)
в момент времени
t;
–
скорость ракеты в момент времени
t;
–
масса ракеты в момент времени
t
(эта
масса уменьшается по мере сгорания
горючего).
Воспользуемся
законом сохранения импульса (количества
движения). При этом удобно ввести
мгновенную систему координат, связанную
с летящей ракетой (точнее, равномерно
движущуюся той скоростью, с которой
ракета движется в момент времени
t).
В
этой системе координат скорость ракеты
(и имеющегося в ней топлива) в момент
времени
t
равна
нулю. Рассмотрим момент времени
в
этой же системе координат. Предположим,
что за это время в ракете сгорело и
вылетело из нее топливо массой
.
Скорость самой ракеты (с остатками
топлива увеличилась на
и
в рассматриваемой системе координат
стала равной
,
в то время как скорость вылетевшего
топлива равна
(с
учетом направления).
Суммарный
импульс в момент
примерно
равен
с точностью, растущей с уменьшением
(здесь
неточность связана с тем, что со временем
меняется масса
и, кроме того, скорость вылета горючего
в рассматриваемой системе координат
будет равна
лишь
в момент времени t,
так как дальше сама ракета начнет
двигаться). Приравнивая суммарный
импульс к нулю, получим
.
Деля
обе части на
и
переходя к пределу при
,
получим точное равенство (дифференциальное
уравнение)
.
Это уравнение легко решается и без знания специальных приемов:
,
или
,
откуда
.
При
,
и уравнение принимает вид
,
т. е.
,
поэтому
.
В момент,
когда все топливо израсходовано, получим
,
.
Эта формула называется формулой Циолковского.
Ракета может достичь скорости, большей, чем скорость истечения газов из сопла, хотя для этого отношение массы ракеты с топливом к массе ракеты без топлива должно быть очень велико. Для увеличения отношения на разных этапах полета ракеты делают многоступенчатыми.
Можно отметить, что полученная формула годится лишь для движения в вакууме и при отсутствии силы тяжести. Учет сопротивления воздуха и земного тяготения намного усложняет дифференциальное уравнение.
Изложение
темы «Решение
линейных однородных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами»
в учебных пособиях начинается обычно
так: «Пусть дано однородное дифференциальное
уравнение второго порядка
,
где p
и q
– постоянные действительные числа.
Будем искать частные решения в виде:
,
где
;
тогда
,
,
...» и т. д.
Искусственность этого приема вызывает у студентов вопрос: «А каким образом можно все же догадаться искать решения данного уравнения именно в форме ?»
Более
правильным можно считать следующий
прием решения этого вопроса. Левая часть
этого уравнения представляет собой
сумму самой функции y
и ее производных
,
взятых с некоторыми постоянными
коэффициентами. Чтобы такая сумма
тождественно равнялась нулю, надо чтобы
были похожи, отличались друг от друга
постоянными множителями. Поэтому,
например, ни одна из функций
,
,
,
никак не может оказаться решением
данного уравнения.
Аудитории
ставится вопрос: «Не помните ли такую
функцию, у которой производные похожи
на саму функцию?» Ответ: «
,
,
,
...» –обычно поступает немедленно. Только
после этого можно заявить: «Итак, частные
решения будем искать в виде
».