16. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

где f₁(x)и f₂(x)-непрерывные функции. Система называется однородной, если f₁(x)=0, f₂(x)=0, . Решением системы называется вектор-функция , координатные функции которой для всех х удовлетворяют каждому из равенств. Задача Коши для системы формируется следующим образом: найти решение y=y(x) системы, которые при х=х₀ удовлетворяют условиям y₁(x₀)=y₁⁰, y₂(x₀)=y₂⁰, где y₁⁰ и y₂⁰-заданные числа. Если ввести векторы у, f(x)= и матрицу , то систему можно записать в матричном виде =Ay+f(x). Вектор-функция и называются линейно независимыми, если существуют числа и , такие что

и линейно независимыми, если основное тождество выполняется в единственном случае, когда и . Фундаментальной системой решений однородной системы называется два ее линейно независимых решения , . Общим решением системы называется решение , где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, у₁, у ₂ –фундаментальная система решений. Частным решением у₀ системы (40) называется любое решение, удовлетворяющее ей. Общим решением неоднородной системы является вектор-функция , где , - фундаментальная система, - частное решение.

Решение задач

Задача 1.

Задача 2.

,

, , , ,

-общее решение, , , , ,

.

Задача 3.

_, - характеристическое ур-е

, _, - общее решение однородного уравнения

, , ,

,

,

,

, ,

Ответ:

Задача 4

Решим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

, ,

,

Используя метод вариации произвольных постоянных, найдём частное решение искомого уравнения ,а затем общее:

, ,

,

,

, - общее решение.

Найдём частное решение .

- частное решение. Ответ:

Задача 5.

Найти решение задачи Коши.

, , ,

,

, , ,

, , , , ,

, ,

, , , .

, ,

, ,

Ответ:

Задача 6.

Найти общий интеграл

, ,

, , .

, , , , . .

, , , .

Делаем замену , , , ,

и , ,

, и т.е.

, ,

.

Ответ:

Задача 7.

Найти решение задачи Коши.

, , .

, , . , . , .

Пусть .

,

, , .

,

,

.

, , .

Ответ:

Задача 8.

,

данное уравнение в полных дифференциалах

.

,

, ,

Ответ:

Задача 9.

Задача 10.

Решить дифференциальное уравнение

.

Это уравнение Бернулли с . Полагаем . Получаем уравнение или . Подберем такую функцию , чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим дифференциальное уравнение . Находим . Решаем затем уравнение и получаем его общее решение . Следовательно, общее решение исходного уравнения . Нетрудно заметить, что является особым решение исходного уравнения.

Ответ: y= .

Задача 11.

Решить систему при данных начальных условиях: , , .

Сначала приводим систему к нормальному виду

.

Первое уравнение дифференцируем по , после чего вместо подставим выражение из второго уравнения системы: . Из этого уравнения и первого уравнения исходной системы составим новую систему , из первого уравнения которой выражаем и, подставляя во второе, получаем . Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни , . Частное решение ищем в виде . После определения коэффициентов получаем . Следовательно . Найдя производную , получаем . Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид

.

Подставляя начальные условия, определяем значения постоянных и : .

Итак, мы имеем ответ.

Ответ: .