План решения задач статики

Для удобства решения задач рекомендуется придерживаться определенного порядка (плана) выполнения операций. Например, при определении реакций опор или усилий в сечении можно пользоваться следующим планом:

1. Выбирается тело (или система тел), равновесие которого должно быть рассмотрено. Такое тело называется объектом равновесия.

2. К объекту равновесия прикладываются все действующие на него внешние силы.

3. Мысленно отбрасываются связи, наложенные на объект равновесия, а их действие на него изображается соответствующими реакциями связей.

4. Для полученной системы сил записывается соответствующее условие равновесия.

5. Составляются уравнения, которые решаются относительно неизвестных.

6. Производится проверка правильности решения.

Примеры выполнения расчётно-графических работ

Пример 1. Балка на шарнирных опорах (рис. 11).

Дано: АВ = 0,8 м; ВС = 1,2 м; СД = 1,8 м;

; ; М =11 кН м; F= 8 кН; 2 кН/м.

Определить реакции опор балки и внутренние усилия в сечении 1-1.

Решение. Определять реакции опор будем согласно плану решения задач статики.

1.1. Рассмотрим равновесие балки АВСД, которую примем за объект равновесия (рис. 11).

1.2. Приложим в точке D действующие на балку сосредоточенную внешнюю силу , в точке В момент пары сил М, а равномерно распределенную нагрузку интенсивностью заменим сосредоточенной силой:

Сосредоточенная сила Q приложена в точке Е (рис. 12) посредине участка ВД распределения нагрузки интенсивностью q и направлена в ту сторону, куда указывают стрелки нагрузки.

1.3. Отбросив связи (в точке А ‑ шарнирная неподвижная опора, в точке С ‑ шарнирная подвижная опора), заменим их действие на балку соответствующими реакциями (рис. 12) R_Ax R_Ay, R_C.

1.4. Для полученной произвольной плоской системы сил запишем условия равновесия:

Составляя систему уравнений, надо помнить, что отрезок АС не должен быть перпендикулярным оси X.

При решении задачи следует стремиться к получению таких уравнений равновесия, в каждое из которых входила бы только одна неизвестная величина, что упрощает решение системы из трех уравнений.

В нашем случае два уравнения системы (1.1) представляют собой уравнения моментов сил относительно точек А и С, в которых пересекаются по две неизвестные величины: в точке А- R_AX и R_AY, в точке В - R_AX и R_C.

1.5. Система уравнений в соответствия с рис. 12 имеет вид

R_AX – R_{с ·}sinα – F ·cosβ = 0,

– M + R_с cos α· [AC ] – (q·3) ·[AE ] – F·sin β· [AД ] =0,

– R_AY ·[AC ] – M – q·3·[CE ] – F·sin β· [СД ] = 0.

Из второго уравнения системы получаем:

R_с = (M + q·3· [AE ] + F·sin β ·[AД ]) / cos α ·[AC ] =

11+6· 2.3 + 3.8· 8· sin 55⁰ ) / 2· cos 55⁰ = 28.7 кН

Из третьего уравнения системы имеем:

R_AY = ( – M – q·3[CE ] – Fsin β [СД ]) / [AC ]

R_AY = (– 11 – 6· 0.3 – 8· 1.8 ·sin55⁰ ) / 2 = – 12.3 кН

Первое уравнение системы решаем относительно R_AX

R_AX = R_с sinα + F cosβ = 28.7 · sin 30⁰ + 8 · cos 55⁰ = 18.9 кН

Знак "минус" у составляющей R_AY показывает, что она направлена в сторону, противоположную указанной на рис. 12 (вниз).

1.6. Для проверки правильности решения необходимо составить такое уравнение равновесия, в которое вошли бы все реакции опор . Одним из таких уравнений является уравнение моментов сил относительно точки пересечения H известных величин сил и (рис.12):

– R_AY · [AE] – R_AX · [EH] – M – R_с cos α · [EH] + R_с sin α · [EH] = 0

Расстояние [ЕН] можно найти из прямоугольного треугольника НЕD:

[EH] = [ED] · tg β = 1.5 ·tg 55⁰ = 2.14 м

Подставив числовые значения величин в уравнение моментов сил относительно точки H, получим:

– (– 12,3) ·2,3 – 18,9·2,14 – 11-28,7·0,3·cos(30⁰) +

+28,7·2,14· sin(30⁰) = 0,097 ≈ 0

Вычисления R_AX ,R_AY и R_C производились с точностью до 0,001. Результат подстановки этих значений в уравнение моментов сил относительно точки H показал, что в пределах указанной выше точности вычислений искомые величины определены верно.