2. Динамика материальной точки и твердого тела

2.1. Шарик массы m помещен в высокий сосуд с некоторой жидкостью и отпущен без толчка. Плотность жидкости в n раз меньше плотности шарика. При движении шарика возникает сила сопротивления среды, пропорциональная скорости движения: F = — kV.

а) Описать качественно характер движения шарика.

б) Найти зависимость скорости шарика V от времени t.

Решение. На падающий в жидкости шарик действует три силы — тяжести, Архимеда и сопротивления. Уравнение движения шарика имеет вид (1), где — масса шарика, V — его объем; и — плотности тела и жидкости. Равенство (1) поделим на m и учтем, что . При этом уравнение (1) получит вид , или , . Отсюда путем интегрирования получим: => . Из начального условия следует, что const = a и затем .

2.2. Тонкая стальная цепочка с очень мелким звеньями висит вертикально, касаясь нижним концом стола. Масса цепочки m, длина L. В момент t = 0 цепочку отпускают. Считая цепочку однородной по длине, найти:

а) мгновенное значение силы F(t), с которой цепочка действует на стол;

б) среднее значение <F> этой силы за время падения.

Р ешение. Предварительно отметим: при растяжении цепочки между ее звеньями возникают упругие силы; при падении в поле тяжести звенья не взаимодействуют, каждое звено падает с ускорение независимо друг от друга. Согласно условиям, сила действия цепочки на стол в начале падения равна нулю, в конце падения эта сила получает максимальное значение 3mg. Обратимся к рисунку и сделаем следующие вычисления. Элементы цепочки, падая с высоты х, независимо от других элементов приобретают скорость V = gt и соответствующий импульс При падении элемент цепочки действует на поверхность стола силой . Помимо этой силы на поверхность стола действует сила тяжести упавшей части цепочки к моменту времени t, равная Суммарная сила Итак, . Средняя сила , где T — время падения цепочки. Таким образом, . Поскольку , то <F> = mg.

2.3. Тело массы m начинает двигаться под действием силы . Найти мощность P(t), развиваемую силой в момент времени t.

Решение. Мощность P силы вычислим по формуле P = , где — скорость поступательного движения тела. В рассматриваемом случае . Отсюда ускорение и скорость тела: . Начальные условия: при t = 0 величины F, и равны нулю. Мощность силы .

2.4. Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины сферы радиуса R вниз. На какой высоте h над центром сферы тело отделится от поверхности сферы и полетит свободно?

Р ешение. На рисунке изображены сила тяжести тела и сила нормальной реакции . Трения скольжения нет. Центростремительная сила, действующая на тело, равна . При отрыве тела от поверхности сферы N = 0 и Как известно, , где Т — кинетическая энергия. На основании закона сохранения механической энергии тела в потенциальном поле сил тяжести Т = mg(R — h). Таким образом получаем соотношение (*). Если учесть, что то из (*) найдем: h = 2(R — h) =>h = (2/3)R.

2.5. Потенциальная энергия частицы имеет вид: ), где — константа. Найти:

а) силу F, действующую на частицу,

б) работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки (1, 1, 1) в точку (2, 2, 3)

Решение. Имеется связь между силой и потенциальной энергией частицы в силовом поле, а именно

В декартовых координатах

В рассматриваемом случае .

Поэтому { {

Работа, совершаемая силами поля при перемещении частицы из точки , равна { { .

2.6. На столе лежит доска массы = 1 кг, а на доске – груз массы m = 2 кг. Какую силу нужно приложить к доске, чтобы доска выскользнула из-под груза? Коэффициент трения между грузом и доской 1 = 0,25 , а между доской и столом 2 = 0,5.

Р ешение. Механическая система с указанием действующих на нее сил показана на рисунке. Уравнение движения доски:

И уравнение движения груза: ,где - сила трения между грузом и доской, – ускорение.

Максимальное значение ; следовательно, максимальное ускорение груза 0,25 , и максимальная сила , при которой еще будет происходить движение груза и доски как целого, должна сообщать доске и грузу ускорение . А для этого, согласно уравнению (1), сила должна быть равна

Для m=2кг, =1кг сила =22,5H.

2.7. Определить расстояние центра масс полуокружности радиуса от стягивающего её диаметра.

Решение. Ясно, что центр масс данного полукольца находится на оси (см.рис.). Ордината выделенного углом элемента полукольца равна , масса этого элемента . Ордината центра масс полукольца равна

Итак, координаты центра масс:

2 .8. Тонкий стержень длиной шарнирно закреплен в точке, отстоящей на расстояние «b» от одного из его концов, и вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, описывая круговой конус (см. рис.). Определить угол отклонения стержня от вертикали.

Решение. В системе координат, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , условие равновесия стержня можно записать в виде , где – момент центробежной силы и – момент силы тяжести относительно точки закрепления стержня (шарнира О). Центробежная сила инерции, действующая на элемент стержня , находящийся на расстоянии от точки закрепления, будет равна , а соответствующий момент этой силы можно записать в виде .

При этом полный момент центробежной силы инерции равен

Приравнивая эту величину моменту силы тяжести , получим:

2.9. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону , где - постоянная. Направление этой силы все время составляет угол α с горизонтом. Найти:

а) скорость тела в момент отрыва от плоскости;

б) путь, пройденный телом к этому моменту.

Р ешение.

До некоторого момента времени тело движется горизонтально с ускорением , при этом и , т.е. . В момент отрыва и .

а) Скорость тела в момент времени равна

б) Путь за время равен .

2 .10. Шарик массы m подвешен на идеальной пружине жесткости k и начальной длины l над центром платформы центробежной машины. Затем шарик начинает вращаться вместе с машиной с угловой скоростью ω. Какой угол α образует при этом пружина с вертикалью?

Решение. Данную механическую систему ещё до вращения можно рассматривать как колебательную с двумя степенями свободы, характеризующуюся двумя частотами = и . Вопросы колебательных движений данной системы не так просты и мы их опустим. Будем считать, что в начальный момент времени система находилась в покое, колебания не совершались. Далее будем приводить систему во вращательное движение до заданной угловой скорости очень медленно, полагая, что колебания в системе не возникнут.

Для получения ответа на поставленный вопрос перейдем во вращающуюся систему координат, приложив к шарику еще дополнительную центробежную силу инерции. В этой системе координат в принятых условиях шарик будет находиться в состоянии покоя (равновесия).

Пусть – упругая сила натяжения пружины. По величине она равна T=k(l- ), где l – длина пружины в состоянии растяжения, – её длина в недеформированном состоянии. Центробежная сила , где r = lsinα. В состоянии равновесия имеем соотношения: T sinα = → T = ;Tcosα = mg.

Итак, имеется три уравнения: T=k(l- ), T = , Tcosα = mg. Отсюда находим cos α: k(l- ) = → l = k /(k- );T=k( ) = ; cosα = mg/T = mg* = ( ) = ( -1).Здесь 0 , т.е. .Отсюда

2 .11. Балка массы =300 кг и длины =8,00 м лежит на двух опорах (рис.) Расстояния от концов балки до опор: ₁=2,00 м, ₂=1,00 м. Найти силы ₁ и ₂, с которыми балка давит на опоры.

Решение. Балка при действии на нее сил тяжести и нормальных реакций со стороны опор находится в равновесии (покое).

В этом состоянии результирующая сила и результирующий момент сил относительно любой точки (например, центра масс) равны нулю. Поэтому можно написать: , где – плечи действия сил . Из системы этих уравнений находим: .

При этом силы давления на опоры равны: . Для m=300кг, l=8м, =2м, =1м: | |=1,76* | =1,18* .

2.12. Найти момент инерции однородной прямоугольной пластинки массы , длины и ширины относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через: а) центр пластинки, б) одну из вершин пластинки.

Р ешение. Выделим полоску шириной параллельно, например, стороне « » прямоугольника; масса этой полоски = . Момент инерции этого элемента пластинки относительно оси : d По теореме Штейнера момент инерции того же элемента относительно оси : d = . Момент инерции пластинки в целом относительно оси : = .

Момент инерции относительно оси, проходящей через вершину пластинки и перпендикулярную ей, равен:I= .

2.13. Прямой круглый однородный конус имеет массуm и радиус основания R. Найти момент инерции I конуса относительно его оси.

Решение. Объем конуса разбиваем на тонкие круглые диски, перпендикулярные оси симметрии . Радиус элементарного диска ,

е го масса

Момент инерции: .Момент инерции конуса

2 .14. Однородный цилиндр массы m и радиуса r катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр цилиндра движется со скоростью (см.рис.). Найти модуль момента импульса цилиндра относительно точек 1, 2 и 3, которые лежат в перпендикулярной к цилиндру плоскости, проходящей через его центр.

Решение. Момент импульса тела относительно произвольно заданной неподвижной точки ( например, 1, 2 или 3) определяется суммой собственного момента импульса и момента импульса , обусловленного поступательным движением тела как целого, т.е. . В проекциях на ось z, которую проведем перпендикулярно плоскости рисунка и от нас, это равенство представим в виде

.

В рассматриваемом случае при . Моменты импульса катящегося цилиндра относительно точек 1, 2, 3 соответственно равны:

2.15. Однородный шарик помещен на плоскость, образующую угол α=30,0° с горизонтом.

1. При каких значениях коэффициента трения шарик будет скатываться с плоскости без скольжения?

2. Полагая =0,100, а) определить характер движения шарика, б) найти значения скоростей точек A, В и С шарика спустя =1,00 с после начала движения.

Р ешение. Напишем уравнения поступательного движения шарика вдоль наклонной плоскости и вращательного движения вокруг оси , полагая, что скольжения нет:

Уравнения (1) и (2) совместно дают:

Подставляя (3) в (1), получим (4).

Скольжение отсутствует, если . Максимальная сила трения . Итак, имеем:

При шарик будет скользить по наклонной плоскости, вращаясь одновременно.

2.16. Однородный сплошной цилиндр массы =1,00 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях (рис.). Цилиндр отпускают без толчка.

а) За сколько времени цилиндр опустится на расстояние =50,0 см?

б ) Какое натяжение испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей?

Решение. На рисунке вектор определяет силу натяжения обеих нитей. В данной системе цилиндр совершает поступательное движение вертикально вниз и вращательное движение вокруг оси . Соответствующие уравнения имеют вид:

.

В уравнениях (1) и (2) содержится 3 неизвестных величины: сила и ускорения . Поэтому напишем уравнение вращательного движения тела относительно оси А: Подставляем (3) в (2):

Отсюда находим (4). Из (1) и (4) получаем ускорение опускания цилиндра: . Из (5) с учетом начального условия следует: . При этом за время t цилиндр опустится навысоту . Отсюда . Для h=0,5м t=0,4с. На основании (1) и (5) находим силу натяжения одной нити:

.

2.17. На ступенчатый блок (см.рис) намотаны в противоположных направлениях две нити. На конец одной нити действуют постоянной силой , а к концу другой нити прикреплен груз массы m. Известны радиусы ступенчатого блока , , момент инерции блока относительно оси вращения . Трения нет. Найти угловое ускорение блока.

Р ешение. Обозначим силу натяжения правого участка нити через Т и напишем уравнение движения тел данной системы:

1) для груза mMa=mg-T (1),

2) для блока (2).

Здесь – угловое ускорение блока, которое связано с тангенциальным ускорением соотношением (3). Исключая из системы равенств (1) и (2) величину Т с учетом соотношения (3), получим: .

2.18. Однородный цилиндр радиуса раскрутили вокруг его оси до угловой скорости  и поместили затем в угол (см.рис). Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен . Сколько времени цилиндр будет вращаться в этом положении?

Решение.Действующие на данное тело силы показаны на рисунке. Поскольку данное тело не совершает поступательного движения, то , . Если учесть, что силы трения , , то из предыдущих соотношений следует: , . Отсюда получаем: , .

Т еперь нам необходимо найти угловую скорость замедленного вращения цилиндра. Из динамического уравнения угловое ускорение . Подставляя выражения для и , получим . Угловая скорость в произвольный момент времени . В момент остановки . Следовательно, время вращения цилиндра до остановки будет равно .

2.19. Маховик с начальной угловой скоростью начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси пропорционален квадратному корню из его угловой скорости. Найти среднюю угловую скорость маховика за все время торможения.

Решение. Согласно условию момент тормозящих сил, действующих на раскрученный маховик, , где >0 – некоторая постоянная, - модуль мгновенной угловой скорости вращения. Из уравнения вращательного движения маховика относительно неподвижной оси легко установить зависимость : , . Для t = 0 , следовательно, и , т. е. . Длительность вращения маховика найдём из условия : . При этом средняя скорость вращения маховика равна

.

2.20. Двухступенчатый блок радиусов и положили на гладкую горизонтальную поверхность. На ступени блока плотно намотаны нити, к концам которых приложили постоянные, взаимно перпендикулярные силы и (рис., вид сверху). Сколько оборотов совершит блок за время, в течение которого его ось С переместится на расстояние ? Масса данного блока , его момент инерции относительно оси С равен .

Решение. Результирующее движение ступенчатого блока рассматриваем как наложение поступательного движения и его вращения вокруг собственной оси С. Уравнения этих движений имеют вид, полагая, что : , где . Время перемещения блока на расстояние найдем из соотношения , F=const, =const,начальные и равны нулю: . Угловое ускорение . Угловой путь блока за время равен , а совершенное число оборотов

Подставляя сюда выражения для и , получим:

.

2.21. Сплошному однородному цилиндру массы и радиуса сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью , затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения равен . Найти: а) время, в течение которого движение цилиндра будет происходить со скольжением; б) полную работу силы трения скольжения.

Р ешение. На первой стадии угловая скорость вращения цилиндра ω>v/R, где v- скорость качения. Под действием тормозящего момента сил трения через некоторый промежуток времени τ угловая скоростьω(τ) = v(τ)/R. (1)

Отсюда видно, что для определения времени τ необходимо предварительно установить зависимости ω(t) и v(t) на стадии скольжения цилиндра. Из уравнений поступательного и вращательного движений цилиндра та=F_тр = kmgи mR² β= -RF_mp=-kmgRнаходим ускоренияа=kgи β=-2kg/R. 'Гак как а и β константы, то v=at=kgt(v₀=0)

и ω=ω₀+βt=ω₀ - 2kgt/R. Удовлетворяя условию (1), получим τ=ω₀R/3kg. При этом ω(τ)=ω₀/3.

Работа сил трения скольжения равна прирщению кинети­ческой энергии данного тела:

2.22. На гладкой горизонтальной поверхности лежит однородный стержень массы и длины . На один из его концов начали действовать постоянной, направленной все время вертикально вверх силой . Найти угловую скорость стержня в зависимости от угла его поворота.

Решение. В отношении положительной к стержню силы =-m необходимо принять одно из дополнительных условий: вектор силы может перемещаться в горизонтальном направлении, оставаясь параллельным самому себе или точка приложения этого вектора остается на одной и той же вертикали. Рассмотрим сначала первый вариант.

1. В этом случае центр масс стержня под действием приложенной силы получает только вертикальное перемещение (см. рисунок). Пусть в процессе движения угол поворота стержня равен φ. При этом значении угла поворота центр масс стержня поднимется на высоту h_c=(l/2)sinφ, aero скорость будет равна v_c=dh_c/ dt=(ωl/2)cosφ, где ω - угловая скорость поворота стержня в рассматриваемый момент времени. К этому моменту стержень приобретает кинетическую энергию

При этом, совершенная силой =-m работа, равна А=Flsinφ=mglsinφ. Эта работа пойдет на приращение кинетической энергии и потенциальной энергии стержня =mgh_c=(mgl/2)sinφ. Итак, имеем равенство mglsinφ=(mω²l²/8)(cos²φ+1/3)+(mgl/2)sinφ. Отсюда следует, что gsinφ(ω²/4)(cos²φ+1/3) и φ

2) Теперь рассмотрим случай, когда центр масс стержня одновременно перемещается вверх и в сторону вертикали, вдоль которой действует приложенная сила .

Обращаясь к рисунку, запишем координаты центра масс стержня: Х_с=(l-lcosφ)+(l/2)cosφ=(l/2)(2-cosφ),y_t=(l/2)sinφ. (1)

Д ифференцируя равенства (1) по времени, получим компоненты и модуль скорости центра масс стержня: v_сх=(ωl.2)sinφ, v_су=(ωl/2)cosφ, v_c= ωl/2.

Кинетическая энергия стержня для φповорота равна Т=т /2+I_cω²/2=тω²l²/6. Из энергетического соотношения А=Flsinφ=Т+mglsinφ/2 найдем угловую скорость стержня .

2.23. Волчок массы = 0,50 кг, ось которого наклонена под углом = 30° к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относительно его оси симметрии = 2,0 г*м², угловая скорость вращения вокруг этой оси = 350 1/с, расстояние от точки опоры до центра масс волчка = 10 см. Найти: а) угловую скорость прецессии волчка; б) модуль и направление горизонтальной составляющей силы реакции, действующей на волчок в точке опоры.

Р ешение. Угловая скорость прецессии волчка вокруг вертикальной оси. проходящей через неподвижную точку О(см. рис.), равна , где l=ОС, точка С - центр масс волчка. Во вращающейся системе координат с угловой скоростью ωгоризонтальная составляющая силы реакции в точке О равна центробежной силе инерции, обусловленной прецессионным вращением волчка, т.е. R=тω'2lsinθ. При числовых значениях данных величин ω’=0,7 , R=10 мН.

2.24. Волчок, масса которого = 1,0 кг и момент инерции относительно собственной оси = 4,0г*м², вращается с = 320 рад/с. Его точка опоры находится на подставке, которую перемещают в горизонтальном направлении с ускорением = 3,0 м/с². Расстояние между точкой опоры и центром масс волчка = 10 см. Найти модуль и направление вектора ' — угловой скорости прецессии волчка.

Р ешение. Относительно ускоряющейся платформы создается однородное результирующее поле сил тяжести и инерции, которому можно сопоставить ускорение, модуль которого равен . Ускорение образует с земной вертикалью угол а=arctg (см. рисунок). Ось 00, проходящая через неподвижную точку О гироскопа и параллельная вектору , будет являться ось прецессии. При этом угловая скорость прецессии гироскопа будет равна

1/c;

Угол, образуемый вектором с вертикалью, равен a=arctg =arctg =17°.