Тема 5. Двойные интегралы
1. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл.
2. Свойства двойного интеграла.
3. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
4. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
5. Вычисление объемов и площадей плоских фигур.
6. Механические приложения двойного интеграла: вычисление массы,
статических моментов, моментов инерции, координат центра тяжести
плоской пластины.
Литература: [1, т. 2, глава XIV]; [3, гл. XII, §1-6]; [4]; [5, гл. XI, §53]; [6, с. 24-30] .
Тема 6. Криволинейные интегралы
1. Определение и свойства криволинейного интеграла I рода (по дуге).
2. Формулы для вычисления криволинейного интеграла I рода.
3. Вычисление длины дуги.
4. Вычисление массы материальной дуги, ее моментов инерции, координат ее центра тяжести.
5. Определение и свойства криволинейного интеграла II рода (по коорди- натам).
6. Формулы для вычисления криволинейного интеграла II рода.
7. Вычисление площади плоской фигуры.
8. Вычисление работы переменной вектор-силы.
Литература: [1, т. 2, глава XV]; [3, гл. XIII]; [4]; [5, гл. XII, §55, §56];
[6, с. 31-33] .
Определение варианта
Для определения номера своего варианта возьмите двузначное число, на которое оканчивается номер вашего шифра (номер вашей зачетной книжки). Если оно не превосходит 20, то это номер вашего варианта. В противном случае вычитайте из этого числа 20 до тех пор, пока остаток не станет меньше 21. Тогда этот остаток и есть номер вашего варианта.
Условие задачи состоит из общей для всех вариантов формулировки и двадцати вариантов конкретных данных. Именно для этих данных вам надлежит выполнить решение своего варианта. При оформлении контрольной работы условия задач следует переписывать полностью. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради с полями и сдается (отсылается) для проверки в установленное деканатом время (до начала сессии).
Контрольная работа № 3
Задача 1. Найти неопределенные интегралы. В пп. а) и б) результаты проверить дифференцированием.
1.
a)
; б)
; в)
;
г)
д)
.
2.
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
.
3.
а)
; б)
; в)
; 
;
д)
.
4.
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
.
5.
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
6.
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
.
7.
а)
; б)
;
в)
;
г)
; д)
.
8.
а)
; б)
;
в)
;
г)
; д)
.
9.
а)
; б)
;
в)
;
г)
; д)
10.
а)
; б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
11.
а)
; б)
в)
;
г)
; д)
.
12.
а)
; б)
;
в)
;
г)
; д)
.
13.
а)
; б)
в)
; г)
;
д)
.
14.
а)
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
15.
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
.
16.
а)
; б)
в)
;
г)
; д)
.
17.
а)
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
18.
а)
; б)
в)
;
г)
; д)
.
19.
а)
; б)
в)
г)
;
д)
.
20.
а)
; б)
в)
;
г)
;
д)
Задача 2. Вычислить определенные интегралы.
1.
2.
. 3.
.
4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
. 12.
.
13.
. 14.
. 15.
.
16.
. 17.
. 18.
.
19.
. 20.
.
Задача 3. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
. 12.
.
13.
. 14.
15.
16.
. 17.
. 18.
19.
. 20.
.
Задача 4. Используя определенный интеграл, вычислить:
1.
Площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
2.
Объем тела, полученного от вращения
вокруг оси OX
фигуры, ограниченной линиями
3.
Длину дуги линии
4.
Площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
5.
Объем тела, полученного от вращения
вокруг оси OX
фигуры, ограниченной линиями
6.
Длину дуги линии
7.
Площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
8.
Объем тела, полученного от вращения
вокруг оси OX
фигуры, ограниченной линиями
9.
Длину дуги линии
.
10.
Площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
11.
Объем тела, полученного от вращения
вокруг оси OX
трапеции,
образованной прямыми
и осью OX.
12.
Длину дуги линии
13.
Площадь фигуры, ограниченной осью OX
и линиями:
.
14.
Площадь фигуры, ограниченной кривой
,
прямыми
и осью OY.
15.
Объем тела, полученного от вращения
вокруг оси OY
фигуры,
ограниченной линиями
.
16.
Вычислить длину дуги кривой
между точками пересечения с осью Ox.
17.
Площадь фигуры, ограниченной кривой:
.
18.
Объем тела, полученного от вращения
вокруг оси OX
фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
19.
Длину дуги линии
.
20.
Площадь фигуры, ограниченной кривой
и прямыми
