![](/user_photo/_userpic.png)
- •Моделирование атак сети массового обслуживания
- •Введение
- •1. Описательная модель системы массового обслуживания
- •1.1. Основы структурированной проводки
- •1.2. Структурные составляющие проводки
- •1.3. Промышленное обеспечение
- •1.4. Стандарт eia/tia-568
- •1.5. Горизонтальная проводка
- •1.6. Развитие структурированных систем
- •2. Исследование угроз безопасности системы массового обслуживания
- •2.1. Угрозы информационной безопасности в структурированных системах
- •2.2. Классификация угроз информационной безопасности в структурированных системах
- •2.3. Типы воздействия угроз на информационную систему
- •2.4. Угрозы отказа в обслуживании в структурированных системах
- •3. Формализованная модель тракта телекоммуникации как системы массового обслуживания
- •3.1. Понятие о марковском процессе
- •3.2. Потоки событий
- •3.3. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний
- •3.4. Основные элементы теории массового обслуживания
- •3.5. Схема гибели и размножения
- •3.6. Формула Литтла
- •3.7. Многоканальная система массового обслуживания с отказами
- •4. Математическая модель оценки воздействия угроз
- •4.1. Показатели оценивания эффективности системы массового обслуживания
- •4.2. Формализации угроз отказа в обслуживании
- •4.3. Математическая модель системы массового обслуживания при атаке DoS
- •4.4. Оценка эффективности влияния угроз на элементы системы массового обслуживания
- •4.5. Методика определения величины риска от угрозы отказа в обслуживании
- •Вопросы для самоконтроля
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.7. Многоканальная система массового обслуживания с отказами
Задача
ставится так: имеется n
каналов
(линий связи), на которые поступает поток
заявок с
интенсивностью
.
Поток обслуживании имеет интенсивность
(величина, обратная среднему времени
обслуживания
).
Найти финальные вероятности состояний
СМО, а также характеристики ее
эффективности:
А — абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Q - относительную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;
Pотк — вероятность отказа, то есть того, что заявка покинет СМО необслуженной;
—
среднее число
занятых каналов.
Состояния системы S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов);
S0 – в СМО нет ни одной заявки,
S1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны),
……………………..
Sk – в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны),
……………………..
Sn – в СМО находится n заявок (все n каналов заняты).
Граф состояний СМО соответствует схеме гибели и размножения (рис. 3.10). Разметим этот граф — проставим у стрелок интенсивности потоков событий. Из S0 в S1 систему переводит поток заявок с интенсивностью (как только приходит заявка, система перескакивает из S0 в S1). Тот же поток заявок переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое (верхние стрелки на рис. 3.10).
Рис. 3.10. Граф состояний системы массового обслуживания
Проставим
интенсивности у нижних стрелок. Пусть
система находится в состоянии S1
(работает один канал).
Он производит
обслуживаний
в единицу времени.
Проставляем у стрелки
интенсивность
.
Теперь представим себе, что система
находится в состоянии S2
(работают два канала). Чтобы ей перейти
в S1, нужно,
чтобы либо закончил обслуживание первый
канал, либо второй; суммарная интенсивность
их потоков
обслуживании равна
;
проставляем ее у соответствующей
стрелки. Суммарный поток обслуживания,
даваемый тремя каналами, имеет
интенсивность
,
каналами —
.
Проставляем
эти интенсивности у нижних стрелок
на рис. 3.10.
А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами (3.18), (3.19) для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения. По формуле (3.19) получим:
(3.25)
Члены разложения
будут представлять собой коэффициенты
при
в выражениях для
:
|
(3.26) |
Заметим, что в
формулы (3.25), (3.26) интенсивности
и
входят не по
отдельности, а только в виде
отношения
.
Обозначим
,
(3.27)
и будем называть величину р «приведенной интенсивностью потока заявок». Ее смысл — среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки.
Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы (3.25), (3.26) в виде:
,
(3.28)
(3.29)
Формулы (3.28), (3.29) для финальных вероятностей состояний называются формулами Эрланга [70].
Таким
образом, финальные вероятности найдены.
По ним мы вычислим
характеристики эффективности СМО.
Сначала найдем
— вероятность
того, что пришедшая
заявка получит отказ (не будет обслужена).
Для этого нужно, чтобы все n
каналов были заняты:
.
(3.30)
Отсюда находим относительную пропускную способность—вероятность того, что заявка будет обслужена:
.
(3.31)
Абсолютную
пропускную способность получим, умножая
интенсивность потока заявок
на
:
.
(3.32)
Осталось
только найти среднее число занятых
каналов
.
Нам известна
абсолютная пропускная способность A.
Это — не что иное,
как интенсивность потока обслуженных
системой заявок.
Каждый занятый
канал в единицу
времени обслуживает в среднем
заявок.
Значит, среднее число занятых каналов
равно:
,
(3.33)
или, учитывая (3.32),
.
(3.34)