- •Моделирование атак сети массового обслуживания
- •Введение
- •1. Описательная модель системы массового обслуживания
- •1.1. Основы структурированной проводки
- •1.2. Структурные составляющие проводки
- •1.3. Промышленное обеспечение
- •1.4. Стандарт eia/tia-568
- •1.5. Горизонтальная проводка
- •1.6. Развитие структурированных систем
- •2. Исследование угроз безопасности системы массового обслуживания
- •2.1. Угрозы информационной безопасности в структурированных системах
- •2.2. Классификация угроз информационной безопасности в структурированных системах
- •2.3. Типы воздействия угроз на информационную систему
- •2.4. Угрозы отказа в обслуживании в структурированных системах
- •3. Формализованная модель тракта телекоммуникации как системы массового обслуживания
- •3.1. Понятие о марковском процессе
- •3.2. Потоки событий
- •3.3. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний
- •3.4. Основные элементы теории массового обслуживания
- •3.5. Схема гибели и размножения
- •3.6. Формула Литтла
- •3.7. Многоканальная система массового обслуживания с отказами
- •4. Математическая модель оценки воздействия угроз
- •4.1. Показатели оценивания эффективности системы массового обслуживания
- •4.2. Формализации угроз отказа в обслуживании
- •4.3. Математическая модель системы массового обслуживания при атаке DoS
- •4.4. Оценка эффективности влияния угроз на элементы системы массового обслуживания
- •4.5. Методика определения величины риска от угрозы отказа в обслуживании
- •Вопросы для самоконтроля
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.5. Схема гибели и размножения
Схема гибели и размножения. Мы знаем, что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения».
Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 3.8.
Рис. 3.8. Граф состояний для схемы гибели и размножения
Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть - в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S1, S2, ..., Sn-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний — правым и левым, а крайние состояния (S0, Sn) - только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.
Найдем финальные вероятности состояний для схемы гибели и размножения. Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа — простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекающий в ней процесс — простейшими) [52].
Пользуясь графом на рис. 3.8, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состоянии (их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно). Для первого состояния S0 имеем:
. (3.12)
Для второго состояния S1:
.
В силу (3.12) последнее равенство приводится к виду:
.
Далее, совершенно аналогично:
.
И вообще:
,
где k принимает все значения от 0 до n. Итак, финальные вероятности p0 ,p1, ...,pn удовлетворяют уравнениям
(3.13)
Кроме того, надо учесть нормировочное условие
. (3.14)
Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (3.13) выразим р1 через р0:
. (3.15)
Из второго, с учетом (2.15), получим:
. (3.16)
Из третьего, с учетом (2.16),
. (3.17)
И вообще, для любого k (от 1 до п):
. (3.18)
В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния Sk), а в знаменателе — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до Sk).
Таким образом, все вероятности состояний p0 ,p1, ...,pn выражены через одну из них (p0). Подставим эти выражения в нормировочное условие (3.14).
Получим, вынося за скобку p0:
.
Отсюда получим выражение для р0:
(3.19)
Заметим, что коэффициенты при р0 в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (3.19). Значит, вычисляя р0, мы уже нашли все эти коэффициенты.
Полученные формулы будут нам полезны при дальнейшей разработке математической модели системы массового обслуживания учитывающей воздействие на нее угроз отказа в обслуживании.