9.6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Эмпирическая дисперсия

Для характеристики рассеяния значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения служат понятия генеральной дисперсии и генерального среднего квадратического отклонения.

Генеральной дисперсией D_T называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X генеральной совокупности от их среднего значения Если все значения признака генеральной совокупности объема N являются различными, то

^(9.23)

Если значения x₁, x₂, …, x_k имеют соответственно частоты N_1, N₂,..,N_k причем

N₁+ N₂+…+,N_k=N , то

(9.24)

Генеральным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из генеральной дисперсии, т.е.

^(9.25)

Для характеристики рассеяния значений количественного признака выборки вокруг среднего значения вводят понятия выборочной дисперсии и выборочного среднего квадратического отклонения

Выборочной дисперсией D_B называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений выборки от их среднего значения .

Если все значения , признака выборки объема n различны, то

(9.26)

Если значения x₁, x₂, …, x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причем n₁+n₂+…+n_k=n, то

(9.27)

Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется формулой

(9.28)

Для вычисления выборочной дисперсии можно пользоваться формуло

D_B= , (9.29)

где

(9.30)

Докажем формулу (9.29). Преобразуя формулу (9.27), получаем

D_В=

Из формулы (9.24) аналогично находим .

Следовательно, для обоих случаев

(9.31)

где x² – среднее квадратов значение; (x²) – квадрат общей средней.

Можно доказать, что

(9.32)

Так как , то выборочная дисперсия D_В является смещенной оценкой генеральной дисперсии D_Г . Чтобы получить несмещенную оценку генеральной дисперсии D_Г, вводят понятие так называемой эмпирической (или исправленной) дисперсии s².

Эмпирическая, или исправленная, дисперсия s² определяется формулой

(9.33)

Исправленная дисперсия (9.33) является несмешанной оценкой генеральной дисперсии, так как

M( )=M(

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности служит «исправленное» среднее квадратическое отклонение, или эмпирический стандарт

s= (9.34)

В случае, когда все значения x₁, x₂, …, x_n различны, т.е. все n_i=1 и k = n, формулы

(9.33) и (9.34) принимают вид

(9.35)

(9.36)