2.3. Отношения порядка. Диаграмма Хассе
Отношение эквивалентности является обобщением отношения равенства: эквивалентные элементы считаются «равными». Обобщением обычного отношения служат отношения порядка.
Отношение
называется предпорядком или квазипорядком,
если R
рефлексивно и транзитивно.
Пример. Отношение
R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(1,3)}
на множестве X={1,2,3} является предпорядком.
Рефлексивное,
антисимметричное, транзитивное отношение
называется отношением нестрогого
порядка и обозначается символом
.
Антирефлексивное,
антисимметричное, транзитивное
отношение называется отношением
строгого порядка и обозначается
символом
.
Отношения строгого и нестрогого порядков
иначе называют отношениями упорядоченности.
Отношение, обратное отношению
упорядоченности, также является
отношением упорядоченности, т.е. (
)
=
.
Примеры:
1. Пусть Y – некоторое множество, тогда отношение включения на множестве всех подмножеств P(Y) является отношением нестрогого порядка.
2. Отношение «х старше у» на некотором множестве людей является отношением строгого порядка.
Множество Х с заданным в нем отношением порядка называется упорядоченным этим отношением. Если любые два элемента х и у множества Х находятся между собой в отношении порядка, то множество Х называется линейно упорядоченным или цепью, иначе множество Х называется частично упорядоченным. В частично упорядоченном множестве можно выделить цепь. Цепь с повторяющимися элементами называется мультицепью. Если между элементами х и у установлено отношение порядка, то они называются сравнимыми, иначе – несравнимыми. Антицепью (семейством Шпернера) называется подмножество частично упорядоченного множества, в котором любые два элемента несравнимы.
Специальным типом частично упорядоченного множества является интервал |x,y]={z X|x z у} (замкнутый) или (x,y)P={z X|x z у} (открытый).
Двойственным к частично упорядоченному множеству называется частично упорядоченное множество, определенное на том же носителе с помощью обратного отношения. Это понятие лежит в основе принципа двойственности, который часто формулируют в виде: если некоторое утверждение справедливо для частично упорядоченных множеств, то справедливо и двойственное утверждение, то есть утверждение, касающееся двойственных частично упорядоченных множеств.
Рассмотрим множество Х с заданным на нем отношением частичного порядка .
Говорят, что элемент y покрывает элемент x, если х у и не существует никакого элемента z X, такого что х z у. Таким образом, у покрывает х тогда и только тогда, когда х у и [х,у]={х,у}. Любое частично упорядоченное множество можно представить в виде схемы. Диаграммой Хассе частично упорядоченного множества Х называется граф, вершинами которого являются элементы множества X, а пара (х,у) образует ребро, если элемент у покрывает элемент х, и такой что, если х у, то у рисуют с большей вертикальной координатой чем х.
П
ример.
Отношение включения
на булеане Р(Х),
где Х={а,
b, с}. Оно
является частично упорядоченным
множеством. Множество Р(Х)
содержит восемь элементов: {
,
{a},
{b},
{c},
{a,b},
{a,c},
{b,c},
{a,b,c}}.
Диаграмма Хассе для этого отношения
будет иметь вид (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Правило чтения диаграмм Хассе состоит в том, что х у, если можно пройти из точки х в точку у, следуя вдоль восходящих отрезков соединяющих точки. Смена направления движения разрешается только в точках диаграммы.
Пример.
Пусть А={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Рассмотрим
отношение частичного порядка ≤ на этом
множестве, задаваемое по правилу: x≤y
y
делится на x.
Диаграмма Хассе изображена на рис.2.3.
Заметим, что диаграммы Хассе этих двух отношений совпадают
Пусть Х и Y два частично упорядоченных множества. Если их диаграммы Хассе совпадают, то эти частично упорядоченные множества имеют одинаковую структуру.
П
ример.
На рис. 2.4 изображена диаграмма Хассе
линейно упорядоченного множества Х={0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} с обычным отношением порядка
(≤) на множестве натуральных чисел, не
превосходящих семи.
Рис. 2.3 Рис. 2.4
Пусть
задано частично упорядоченное множество
X.
Для элементов х
и у
из множества Х
их верхней
гранью
называется любой элемент z
Х
такой, что
и
,
а их нижней
гранью –
любой элемент t
X,
такой, что
х
и t
у.
На языке диаграмм Хассе х
у
означает, что существует путь из x
в y;
верхняя грань x
и y
– это вершина, в которую есть путь из
x
и y;
нижняя грань x
и y
– это вершина из которой есть путь и в
x
и в y.
В общем случае для некоторых элементов
верхняя и нижняя грань может не
существовать или быть неединственной,
причем различные верхние (или нижние)
грани могут быть несравнимы.
Пример.
На рис. 2.5 а) изображена диаграмма Хассе
множества
,
у которого элементы
не имеют верхней грани, а элементы
– нижней грани. На рис. 2.5 б) изображена
диаграмма Хассе множества
у которого все элементы имеют верхние
и нижние грани, однако, например,
и
имеют
две несравнимые верхние грани.
Рис. 2.5