5.2. Перестановки с неограниченными повторениями

Имеем n различных элементов. После выбора элемента на его место становится точно такой же элемент из запаса, т.е. после выбора каждого элемента ситуация полностью восстанавливается.

Перестановки при спецификации элементов называются перестановки с неограниченными повторениями.

r раз

Пусть имеем n различных элементов.

Чем сочетания отличаются от перестановок?

Перестановки – упорядоченная выборка.

Сочетания – неупорядоченная выборка.

любая неупорядоченная выборка из Г элементов

та же самая, но уже упорядоченная выборка

r!=

количество способов упорядочивания

! Неупорядоченную г-выборку можно упорядочить r! способами.

! Договариваемся

Комбинаторного смысла это не несет.

Рассмотрим

5.3. Размещения

Размещениями из n элементов по m элементов называется любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящего из n элементов.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначается , где m ≤ n (читается "А из n по m").

Пример. Пусть имеется множество, содержащее четыре буквы: {A; B; C; D}. Запишем все возможные размещения из четырех указанных букв по две.

Решение.

Таких размещений 12: AB; AC; AD; BC; BD; CD; BA; CA; DA; CB; DB; DC.

Заметим, что размещения отличаются порядком входящих в них элементов и их составом.

На практике чаще представляет интерес количество размещений, а не их конкретный вид.

Пример. В газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Определить число способов размещения четырех фотографий, если каждая страница газеты не должна содержать более одной фотографии.

Решение.

Первую фотографию можно поместить на любую из 12 страниц, т. е. 12 способами, вторую – на любую из оставшихся 11 страниц, т. Е. 11способами. Для размещения третьей фотографии имеется 10 способов, а для четвертой – 9 способов. Следовательно, четыре фотографии можно разместить на 12 страницах 12·11·10·9=11880 способами.

Найденное число размещений четырех фотографий на 12 страницах газеты – это число A . Действительно, для размещения фотографий следует отобрать 4 различных страницы газеты из 12 имеющихся. Затем необходимо отобранные страницы упорядочить, не обращая внимания на их номера, т. е. определить, на какую страницу поместить первую фотографию, на какую – вторую, и т. д.

Полученная упорядоченная совокупность страниц является согласно определению размещением из 12 элементов по 4, а число таких размещений является ответом.

Таким образом, =12·11·10·9. Это произведение можно представить в другом виде, если использовать понятие факториала, для чего умножим и разделим произведение на 8!.

Имеем 12·11·10·9=

Следующая теорема дает общую формулу для вычисления размещений, которая позволяет значительно упростить решения подобных задач.

Теорема. Число размещений из n элементов по m равно , т. е.

.

Доказательство. Чтобы составить какое-либо размещение, следует выбрать m элементов из множества, содержащего n элементов, и упорядочить полученную совокупность. Это означает, что надо заполнить m мест элементами рассматриваемого множества. На 1-е место можно поместить любой из n элементов. После этого останется n-1 элемент, каждый из которых может быть помещен на 2-е место и т. д.

Первое место можно заполнить n способами, второе, при заполненном первом, можно заполнить n-1 способами. Можно продолжать этот процесс до заполнения последнего m-го места. Последнее m-е место можно заполнить n-(m-1) способами (или n-m+1). Таким образом? все m ячеек заполняются числом способов, равным

Отсюда получаем:

Пример. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?

Решение.

.

Пример. Из семи заводов организация должна выбрать три для размещения трех различных заказов. Сколькими способами можно разместить заказы?

Решение. Так как все заводы различны, и из условия ясно, что каждый завод может либо получить один заказ, либо не получить ни одного, здесь нужно считать число размещений

.