
- •Оглавление
- •1. Общие вопросы цифровой обработки сигналгов
- •1.1. Основные расчетные алгоритмы для цифровых фильтров
- •2. Дискретные линейные системы
- •2.1. Модель дискретной линейной системы
- •2.2. Линейное разностное уравнение первого порядка
- •2.3. Частотная характеристика цепи первого порядка
- •2.4. Геометрическая интерпретация частотной характеристики
- •2.6. Обратное z-преобразование
- •2.7. Теорема о свертке
- •2.8. Теорема о комплексной свертке
- •2.9. Решение разностных уравнений первого порядка с помощью z-преобразования
- •2.10. Решение разностных уравнений второго порядка с помощью z-преобразования
- •2.11. Двустороннее z-преобразование
- •2.12. Цепи для разностного уравнения второго порядка
- •3. Расчет цифровых фильтров в частотной области
- •3.1. Синтез цифровых фильтров
- •3.2. Различные методы расчета цифровых фильтров
- •3.3. Применение принципа инвариантности импульсной характеристики
- •3.4. Коэффициент передачи цифровых резонаторов
- •3.5. Расчет цифровых фильтров на основе непрерывных фильтров с нулями на бесконечности
- •3.6. Определение цифрового фильтра с помощью квадрата модуля передаточной функции
- •3.7. Расчет цифровых фильтров путем билинейного преобразования функции непрерывного фильтра
- •3.8. Фильтры на основе частотной выборки
- •3.9 Метод частотной выборки
- •4. Эффекты квантования в цифровых фильтрах
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Ошибки, вызываемые неточными значениями постоянных параметров
- •4.3. Ошибки, вызываемые аналого-цифровым преобразованием
- •4.4. Ошибки, вызываемые квантованием произведений
- •4.5. Эффект мертвой зоны
- •4.6. Формулы для шума округления при различных реализациях цифровых цепей
- •4.7. Пример. Различные структуры цепи с двумя полюсами и одним нулем
- •5. Дискретные преобразования фурье
- •5.1. Дискретное преобразование Фурье
- •5.2. Алгоритм Герцеля
- •5.3. Быстрое преобразование Фурье
- •Прореживание по времени
- •Прореживание по частоте
- •5.4. Соотношение между прореживанием по времени и прореживанием по частоте
- •Заключение
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.3. Применение принципа инвариантности импульсной характеристики
Прежде всего, покажем, что цифровой фильтр с импульсной характеристикой, совпадающей с дискретизованной импульсной характеристикой заданного непрерывного фильтра, можно получить, используя соответствие
(3.1)
Импульсная характеристика
непрерывного фильтра
определяется как
обратное преобразование Лапласа от
системной функции
,
заданной в общем
виде*)
левой частью выражения (3.1). Аналогично,
импульсная характеристика цифрового
фильтра
определяется как
обратное z-преобразование
его системной функции
,
которая в общем случае может быть
выражена правой частью (3.1).
Таким образом,
(3.2)
где
обозначает обратное (одностороннее)
преобразование.
Лапласа.
Если требуется, чтобы
,
то
(3.3)
Взяв z-преобразование от (3.3), получим
(3.4)
Таким образом, условие
(3.3), состоящее в том, что импульсная
характеристика цифрового фильтра равна
дискретизованной импульсной характеристике
данного непрерывного фильтра
,
приводит к цифровому
фильтру, определяемому выражением
(3.4), где все постоянные
и
определяются из
.
Исходя из соответствия
(3.4), можно составить таблицы z-преобразования.
Пример. Простой однополюсной RC-фильтр нижних частот преобразуется в цифровой фильтр с помощью соответствия
(3.5)
Системные функции различных резонансных контуров могут быть разложены на элементарные дроби, что приводит к соответствиям
(3.6)
3.4. Коэффициент передачи цифровых резонаторов
Соответствия (3.6) определяют два цифровых резонатора, являющихся импульсными инвариантами заданных непрерывных резонаторов. На практике цифровые резонаторы могут определяться без обращения к непрерывным аналогам. Для этого необходимо задать на z-плоскости размещение пары комплексно-сопряженных полюсов и, в большинстве случаев, одного нуля, по которым можно быстро составить разностное уравнение. Поскольку многие цифровые фильтры представляют собой простые каскадные или параллельные комбинации таких резонаторов, то важно знать их свойства,
Z-преобразование
резонатора с полюсами в точках
и нулем в точке
имеет следующий вид:
(3.7)
Амплитудно-частотная
характеристика для выражения (3.7) есть
,
и она может быть получена непосредственно
из рис. 2.9 путем применения теоремы
косинусов:
Случай 1:
Для значений r,
близких к единице,
величина
на резонансной частоте
может быть приближенно представлена в
виде
(3.9)
которая не зависит от . Таким образом, при указанном выборе q становится возможным построение группы резонаторов с равными коэффициентами передачи (или фильтров, составленных из таких резонаторов), охватывающих широкий диапазон частот.
В случае узкополосных резонаторов, для которых r близко к единице, коэффициент передачи при резонансе, как это ясно следует из (3.9), обычно значительно больше единицы. Знание коэффициентов передачи фильтров необходимо для определения надлежащих длин слов в регистрах и для того, чтобы избежать проблем переполнения разрядной сетки.
Случай 2:
Разностное уравнение для (3.7) в этом случае может быть записано в виде
(3.10)
Для решения (3.10) нужны лишь две операции умножения, в то время как в общем случае любого q необходимо три операции умножения. Поэтому данный случай представляет особый интерес для применений, связанных с работой в реальном масштабе времени, и в тех случаях, когда полное время работы вычислительной машины чрезмерно велико. Чувствительность резонансного коэффициента передачи к изменению резонансной частоты здесь выше, чем в случае 1. Таким образом, для построения набора фильтров с равными коэффициентами передачи на центральных частотах лучше применять случай 1.
Случай 3:
В этом случае коэффициент
передачи равен нулю, если
,
что часто бывает желательным. Как и в
случае 2,
необходимы две операции
умножения. Коэффициент передачи при
в
раз больше коэффициента
передачи при
,
близком к нулю, но при
условии, что
велико по сравнению
с
.
Случай 4:
В этом случае нуль исчезает. Иногда требуется спроектировать резонаторы без нулей, но с постоянным коэффициентом передачи при , не зависящим от . Это достигается при помощи цифровой системной функции
(3.11)