4.2. Ошибки, вызываемые неточными значениями постоянных параметров

Возвращаясь сначала к вопросу о необходимой точ­ности постоянных параметров, рассмотрим разностное уравнение второго порядка

(4.3)

В соответствии с анализом, проведенным в гл. 2, z-преобразование Н(z) передаточной функции, связанной с уравнением (4.3), имеет пару полюсов с полярными координатами r и θ в плоскости z. При этом

(4.4)

Из (4.4) видно, что ошибки в постоянных парамет­рах вызывают явную и легко вычисляемую ошибку по­ложений полюсов цифрового фильтра. Особый интерес представляет второе из этих уравнений. Ошибки пара­метров вызывают ошибку произведения . Таким образом, если интервал отсчетов Т уменьшить вдвое, ошибка в определении резонансной частоты будет стре­миться увеличиться вдвое при тех же ошибках в опреде­лении К и L. Оказывается, что при реализации задан­ного фильтра применение больших частот дискретизации требует более высокой точности вычислений. Это следу­ет особо подчеркнуть, так как до сих пор считалось, что повышение частоты дискретизации автоматически обеспечиваёт лучшее соответствие цифрового фильтра неко­торому аналоговому фильтру. Если, например, цифровой фильтр получается путем инвариантно-импульсного пре­образования из аналогового фильтра и если не учитыва­ются эффекты квантования, то цифровой фильтр лучше аппроксимирует аналоговый фильтр при уменьшении Т. Однако если принимается в расчет ошибка параметра, то может случиться обратное: при уменьшении Т ниже определенного уровня возрастет отклонение цифрового фильтра от аналогового.

Более полное выражение для ошибок в положениях полюсов, вызываемых квантованием К и L, можно вы­вести, если допустить, что ошибки малы :

(4.5)

Пользуясь (4.4), получим систему уравнений

(4.6)

Так как , то второе уравнение непосредственно показывает, что чувствительность ошибки прямо пропор­циональна частоте дискретизации. Кроме того, ясно, что ошибки по углу θ (и, следовательно, по резонансной частоте) больше, когда θ мало, поэтому к эффектам квантования особенно чувствительны узкополосные фильтры нижних частот.

Зависимость эффектов квантования от параметров может быть уменьшена благодаря использованию свя­занной формы резонатора, описанной в § 2.12. Если выбрать A=D = rcos θ и B=- C=rsin θ, то получим

(4.7)

Мы видим, что большие ошибки теперь уже не связаны с малыми углами, как в предыдущей реализации.

Закончим этот раздел важным замечанием о том, что почти никогда не следует выполнять реальные цифро­вые фильтры, за исключением фильтров первого и вто­рого порядков, в прямой (рис. 2.19) или канонической (рис. 2.20) форме. Для каждой из этих двух форм полю­сы и нули являются исключительно чувствительными функциями коэффициентов разностного уравнения. Степень чувствительности возрастает с ростом порядка разностного уравнения. Обычно полагают, что эти эф­фекты не важны до тех пор, пока порядок разностного уравнения мал. Действительно, эффект важен в систе­мах третьего и четвертого порядков, где он может даже привести к неустойчивости. Фильтр низких частот Баттерворта пятого порядка с частотой среза по уровню 3 дб, определяемой , будет, вероятно, неустойчивым, если его выполнить в виде 18-разрядного арифметического устройства в прямой или канонической форме [9, 10]. Выход из положения состоит в реализации всех цифровых фильтров в виде простого каскадного или параллельного соединений фильтров первого и второго порядков или в чрезвычайно тщательном анализе систем более высокого порядка.