2.4.3. Формирование доверительных интервалов

Согласно основным предположениям для SSA-прогнозирования, аддитивная компонента ряда F_n должна управляться ЛРФ относительно небольшой размерности и при этом ряд остатков должен приближенно сильно разделяться с для некоторой дайны окна L. В частности, предполагается, что ряд — это конечный подряд бесконечного ряда F⁽¹⁾ который явля­ется рекуррентным продолжением ряда . Эти предположения не могут быть проигнорированы, но, к счастью, они справедливы для достаточно широкого класса практических задач.

Чтобы ввести доверительные границы для точек прогноза, мы должны еще более усилить наши предположения, причем не только по отношению к , но также и для ряда . Во-первых, будем рассматривать ряд остатков как конечный подряд некоторого бесконечного случайного (шумового) ряда F⁽²⁾ который «портит» сигнал F⁽¹⁾. Другие предположения связаны главным образом с рядом остатков где — восстановленная ком­понента ряда F_n. Так как ≈ то свойства ряда сильно связаны со свойствами . Более точная формулировка дополни­тельных предположений зависит от решаемой задачи и применяемого метода.

В этой связи, рассмотрим следующие две задачи, связанные с по­строением доверительных границ для прогноза. Первая задача свя­зана с построением доверительных интервалов для прогнозирова­ния значения всего ряда F = F⁽¹⁾ + F⁽²⁾ целиком в некоторый бу­дущий момент времени N + М, Вторая задача формулируется как построение доверительных границ для прогноза значения сигнала F⁽¹⁾ также в некоторый будущий момент времени. Эти две задачи решаются различными способами. Первый из них использует ин­формацию, непосредственно полученную в процессе обработки вре­менного ряда. Этот вариант будем называть эмпирическим. Второй требует дополнительной информации о модели ряда для того, чтобы можно было выполнить бутстреп-моделирование ряда F_n.

Опишем коротко обе задачи построения доверительных границ для R-SSA-прогнозирования. Для V-прогнозирования все постро­ения полностью аналогичны.

Предположим, что мы уже получили значение М-й точки прогноза т. е. мы уже выполнили М шагов процедуры R-SSA-прогнозирования. По определению, мы используем как прогноз будущего значения сигнала F⁽¹⁾. Как уже упо­миналось, нашей задачей является построение доверительного ин­тервала для (будущего) значения F_N+M-1 всего ряда F.

Рассмотрим процедуру мультистартового М-шагового рекур­рентного продолжения. Возьмем относительно небольшое целое М и проведем М шагов рекуррентного продолжения с помощью про­гнозирующей ЛРФ, беря в качестве начальных данных скользящие отрезки восстановленного ряда длины L — 1 от до , K=N-L+1.

Значения последних точек g_j+M+L-1 этих продолжений можно сравнить со значениями f_j+M+L-1 исходного ряда F_N. Таким об­разом, мы получаем ряд мультистартовых М-шаговых остатков H_K-M+1 с

Если мы предположим, что восстановленный ряд совпа­дает с рядом , который управляется ЛРФ, то мы получим, что и ряд мультистартовых M-шаговых остатков совпадает с последними К — М + 1 значениями стационарного шумового ряда _.

Если эти предположения не верны, то не совпадают с . Но даже если совпадения нет, предположим, что ряд мультистартовых M-шаговых остатков является стационарным и эргодическим в том смысле, что его эмпирическая функция распре­деления сходится к некоторой теоретической при . Тогда, имея в распоряжении ряд H_K-M+1 мы можем оценить квантили теоретического распределения (например, верхнюю и нижнюю 2.5% квантили).

Заметим, что значения g_j+M+L-2 получены за то же число шагов с помощью той же ЛРФ, что и точки прогноза при этом начальные значения взяты из одного и того же восстанов­ленного ряда. Так как прогнозирование требует предположения о сохранении структуры ряда в будущем, то полученная эмпириче­ская функция распределения ряда мультистартовых M-шаговых остатков может быть использована для построения доверительно­го интервала для значения F_N+M-1.

Для построения доверительных интервалов фиксируется некоторый доверительный уро­вень . и – нижняя и верхняя α/2 -квантили, вычисленные на основе эмпири­ческой функции распределения ряда остатков. Таким образом, строится эмпирический доверительный интервал

который содержит с вероятностью, близкой к .

Если ряд мультистартовых M-шаговых остатков можно рас­сматривать как белый шум, то можно предложить другую модифи­кацию эмпирического доверительного интервала. Предполагая, что справедлива гипотеза о гауссовском белом шуме, можно построить стандартный симметричный доверительный интервал для F_N+M-1 с помощью выборочных среднего и дисперсии ряда мультистарто­вых M-шаговых остатков. Конечно, гипотеза о белом шуме должна быть проверена с помощью стандартных статистических процедур[12].

Бутстреп-доверительные интервалы для прогноза сигнала. Рассмотрим метод построения доверительных границ для сиг­нала F⁽¹⁾ в момент времени N+M–1. В нереализуемой на практике ситуации, когда известны как сам сигнал, так и истинная модель шума, с помощью моделирования и метода Монте-Карло можно определять статистические свойства значения прогноза по отноше­нию к истинному значению.

Действительно, предположим, что правило выбора набора соб­ственных троек фиксировано. Тогда мы можем промоделировать S независимых реализаций процесса и затем применить процедуру прогноза к S независимым рядам F_N,j + .

Результаты прогноза образуют выборку , ко­торая и дает информацию о . Таким образом могут быть построены доверительные интервалы по методу Монте-Карло.

Так как на практике мы не знаем вид и значения сигнала , то мы не можем применить такую процедуру. Опишем бутстреп-вариант моделирования для построения доверительных интервалов для точек прогноза.

При подходящем выборе длины окна L и набора собствен­ных троек, соответствующих сигналу, мы получаем представление F_N= + , где (восстановленный ряд) аппроксимиру­ет сигнал , a — ряд остатков. Предположим теперь, что (стохастическая) модель остатков известна. Например, мы по­стулируем некоторую модель для и, так как ≈ , применяем ту же самую модель для с оцениваемыми параметрами.

Тогда, моделируя S независимых реализаций ряда , мы получаем S временных рядов F_N,j + и S раз проводим прогнозирование, получая так же как в варианте метода Монте-Карло.

Более точно, каждый временной ряд порождает свой восстановленный ряд и свою линейную рекуррентную формулу при выборе одной и той же длины окна L и одного и того же на­бора собственных троек. Поэтому для каждого ряда на основе по­следних L — 1 точек ряда в качестве начальных значений для рекуррентного прогноза по соответствующей ЛРФ, выполняется М шагов прогноза, результатом чего являются значения .

Как только выборка из спрогнозирован­ных значений получена, мы можем вычислить (эмпирические) ниж­нюю и верхнюю квантили по заданному доверительному уровню и получить соответствующий доверительный интервал для прогно­за сигнала. Этот интервал называется бутстреп-доверительным интервалом.

Простейшей моделью для является модель гауссовского белого шума. Соответствующая гипотеза может быть проверена с помощью стандартных тестов на случайность и нормальность.