1.2. Определители. Ранг матрицы

1.2.1. Вычисление определителей

1. Метод приведения к треугольному виду

Этот метод основан на применении следующих двух теорем.

Теорема 1. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк (одному из его столбцов) прибавить соответственные элементы другой строки (другого столбца), умноженные на некоторое число .

Теорема 2. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Упражнение 1. Вычислить определитель

.

Решение. Вычитаем первую строку из всех остальных и получаем:

2. Метод рекуррентных соотношений

Суть метода состоит в том, что исходный определитель разложением по строке или столбцу выражается через определители более низкого порядка, имеющие тот же вид.

Упражнение 2. Вычислить определитель

.

Решение. Обозначим

Для любого разложение определителя по последнему столбцу приводит к рекуррентному соотношению:

.

Непосредственные вычисления показывают, что выполнены равенства Предположим, что уже доказаны равенства для Разложим определитель по последнему столбцу и получим с учетом сделанного предположения, что

Таким образом, для любого верно равенство .

3. Метод разложения определителя на линейные множители

Метод основан на возможности представления произвольного многочлена степени n в виде , где числа являются корнями многочлена .

Предположим, что требуется вычислить определитель , зависящий от параметра , причем известно, что является многочленом степени от переменной . Если удается каким-либо образом установить значения , при которых , то Чтобы найти число а_{n ,} нужно любое число , отличное от всех , подставить вместо х в исходный определитель и вычислить его. Затем a_n находится из равенства

Упражнение 3. Вычислить определитель Вандермонда n – го порядка:

Решение. Разложив определитель по последней строке, получим представление:

где – алгебраическое дополнение элемента является определителем Вандермонда порядка , причем определители не зависят от . Следовательно, определитель является многочленом степени переменной : . Заметим, что если , то i-я строка совпадает с n-й строкой. Следовательно, для . Таким образом,

Аналогичным образом получаем разложения для :

_{………………………………………………………}

Окончательно получаем

то есть – произведение всех множителей вида , где .

4. Применение теоремы Лапласа

Определение 1. Пусть минор расположен на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами . Дополнительным минором минора называется минор, получающийся из вычеркиванием строк и столбцов . Алгебраическим дополнением минора называется число _:

Теорема 3. Пусть в определителе порядка произвольно выбраны строк (или столбцов). Тогда сумма произведений всех миноров го порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю .

Эта теорема обобщает правило разложения определителя по строке (столбцу).

Упражнение 4. Вычислить определитель

.

Решение. Зафиксируем 2-й и 3-й столбцы и в соответствии с теоремой Лапласа получим:

5. Использование теоремы о произведении определителей

Теорема 4. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей: .

Эта теорема может быть применена различным образом в зависимости от того, вычисляем мы определитель произведения или определитель одного из множителей.

Упражнение 5. Вычислить определитель

.‌

Решение. Применим теорему 4, взяв и _, и воспользуемся свойством :

Следовательно, .

Заметим, что использование равенства значительно менее эффективно для решения этой задачи.

Упражнение 6. Вычислить определитель

.

Решение. Из равенства

следует, что , если , и , если .