Задачи для самостоятельного решения
Вычислить пределы:
а)
б)
в)
г)
2. Изучить
поведение корней
и
квадратного уравнения
,
у которого коэффициент а стремится
к 0, а коэффициенты b
и c постоянны, причем
.
3. Построить графики функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.
4. Привести пример функции, непрерывной при всех действительных значениях, кроме
5.
Определить
значение
функции
так, чтобы она была непрерывна в точке
,
если
а)
;
б)
.
6.
Показать,
что обратная функция разрывной функции
есть функция непрерывная.
7.
Привести пример немонотонной функции
,
заданной на
,
имеющей обратную функцию.
8.
Пусть
и
–
непрерывные периодические функции с
одина-ковым периодом, заданные на
и
.
Доказать, что
.
9. Доказать
теорему Коши: если функция
определена в интервале
и ограничена в каждом конечном интервале
,
то
а)
б)
предполагая, что пределы в правых частях равенств существуют.
10.
Привести
пример функции
,
определенной на всей числовой прямой,
не имеющей предела ни в одной точке и
такой, что функция
имеет предел в каждой точке.
11.
Функция
определена и ограничена в некоторой
окрестности точки
и не имеет предела при
.
Доказать, что функция
имеет предел в точке
и он равен 0. Показать, что требование
ограниченности функции
существенно.
12.
Показать,
что функция
не является ограниченной в любой
окрестности точки
(
)
и в то же время не является бесконечно
большой при
.
. 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
Определение 1. Пусть функция задана на и . Если существует конечный предел
то
он называется производной
функции
в точке
и обозначается
или
.
Предел
Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
Теорема 1. Пусть
функция
задана на
и
.
Производная
существует тогда и только тогда, когда
существуют односторонние производные
и
.
При этом
=
.
Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
Замечание. Обратное утверждение в общем случае неверно. Есть примеры функций, непрерывных на некотором отрезке , но не имеющих производной ни в одной точке .
Упражнение1.
Доказать,
что функция
дифференцируема в точке
,
и найти ее производную в этой точке.
Решение. Имеем
;
.
Таким
образом,
,
и, следовательно, функция
дифференцируема в точке
и
.
Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
Решение. Так как дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке (теорема 2). Следовательно,
Согласно теореме 1,
Таким образом, для нахождения a и b получаем систему уравнений:
;
Откуда
находим:
;
Пример
2. Для
функции
определить
.
Решение.
1. Пусть
Тогда
Аналогично находится правосторонний предел:
Если
,
то
для
и
Таким образом,
,
если
,
и
;
,
если
.
Отсюда следует, что производная функции существует всюду, кроме точек .
Пример 3. Доказать, что производная четной (нечетной) дифференцируемой функции есть нечетная (четная) функция.
Решение.
Пусть
– четная функция (то есть
).
Тогда
то есть
–
нечетная функция.
Случай нечетной функции рассматривается аналогично.
Пример
4. Найти
,
если
,
где
–
непрерывная функция при
.
Решение.
Вычислим
по определению. Так как
непрерывна в точке а, то
и
Заметим, что правило дифференцирования произведения в данном случае неприменимо, так как может не иметь производной в точке а.
Пример
5. Вычислить производные следующих
функций, исходя из определения производной:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение. а)
;
б) рассмотрим отдельно случаи и .
,
.
Если
,
то
.
Следовательно, производная функции
в точке
не существует;
в) пусть
.
Тогда
В выражении,
стоящем под знаком предела, сделаем
замену
,
.
Тогда
,
и
в силу непрерывности функции . Таким образом,
Так как
,
то
и
Следовательно,
.
Пример
6.
Пусть
и
функция
дифференцируема в точке
.
Доказать, что функция
имеет в точке
производную, равную 0.
Решение. Первый способ.
