5. Ряды Маклорена и их приложения

Степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать на интервалах их сходимости. Кроме того, каждую функцию, сколь угодно раз дифференцируемую в нуле, можно разложить на некотором промежутке вида в степенной ряд Маклорена

. (17)

при условии, что дополнительный член в формуле Маклорена стремится в каждой точке этого промежутка к нулю при (см., например, [4]). Равенство (17) может оказаться справедливым и в граничных точках интервала (в одной или обеих). Отметим, что критерием разложимости функции на промежутке произвольного вида в ряд Маклорена является выполнение в каждой точке этого промежутка уже упомянутого условия .

Приведем табличные разложения некоторых основных элементарных функций (в скобках указан промежуток сходимости):

, (18)

, (19)

, (20)

, (21)

, (22)

. (23)

Для приближенного вычисления значения функции в точке берут сумму слагаемых в ряде Маклорена (17) (в предположении, что он сходится в точке к ), полагая

, (24)

при этом сумма остатка ряда (погрешность) имеет вид

( при или при ). (25)

За счет выбора номера достигается выполнение условия и, следовательно, приближенное значение функции получается с точностью до .

В случае если ряд в формуле (17) оказывается знакочередующимся, проще воспользоваться оценкой (14).

Разлагая подынтегральную функцию или решение задачи Коши в ряд Маклорена, можно вычислять интегралы или решать дифференциальные уравнения.

Приведем образцы решения соответствующих примеров из типового расчета № 6.

Пример 12. Разложить функцию в ряд Маклорена.

Подставив в табличное разложение по формуле (18) вместо выражение , получим:

, отсюда

, и, наконец, при делении на все степени у ряда справа понизятся на единицу:

.

Замечание. Данная функция в нуле не определена и непосредственно по формуле Маклорена (17) ее разложить нельзя. Полученный с помощью формулы (18) ряд сходится к данной функции во всех точках, кроме . Если доопределить исходную функцию в нуле по непрерывности, положив ее значение равным , то ряд в ответе будет сходиться к этой продолженной функции на всей числовой оси.

Пример 13. Найти функцию, соответствующую ряду Маклорена

.

Заменяя на в приведённом равенстве, проинтегрируем его в пределах от до (так как радиус сходимости ряда равен 1). В результате получим

Получили бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем , ее сумму при можно найти по формуле . Чтобы получить , надо продифференцировать найденную сумму: .

Пример 14. Вычислить число с точностью до 0,001.

Возьмем в разложении (18) функции в ряд Маклорена слагаемое, и пусть

,

тогда по формуле (25) , если и если (любая производная от равна самой функции ). Полагая теперь , получим:

,

где , . Так как - возрастающая функция, то , кроме того, известно, что . Следовательно, . За счет выбора достаточно большого добьемся, чтобы выполнялось неравенство . При величина , но уже при .

Следовательно, с точностью до 0,001

.

Отметим, что естественно проводить все вычисления с точностью до 0,001.

Пример 15. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001.

В силу первого замечательного предела доопределим подынтегральную функцию в нуле значением единица, тогда наш интеграл от функции, непрерывной на отрезке , существует и, кроме того, доопределённую таким образом подынтегральную функцию можно разложить в ряд Маклорена (см. замечание к примеру 12), используя табличное разложение (19):

,

,

.

Замечание. Мы воспользовались формулой (14), учитывая, что как только в знакочередующемся ряде, удовлетворяющем условия признака Лейбница, встретилось первое слагаемое , по модулю меньше 0,001, то, начиная с него, можно отбросить остаток ряда, первым членом которого является это слагаемое, так как сумма этого остатка в силу оценки (14) по модулю тоже меньше 0,001.

Пример 16. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши , (предполагается, что такое разложение существует).

Воспользуемся разложением решения нашей задачи Коши в ряд Маклорена:

.

Из начального условия . Подставив в правую часть дифференциального уравнения , , получим . Для того, чтобы найти вторую производную, продифференцируем обе части исходного дифференциального уравнения по , при этом производную от находим по правилу дифференцирования сложной функции: ; подставив сюда , и найденное на предыдущем шаге значение , получим . Наконец, подставив найденные значения в ряд Маклорена, получим:

.

Замечание. Если некоторые из коэффициентов разложения решения в ряд Маклорена обратятся в нуль, то нужно продолжить процесс, продифференцировав выражение для второй производной и вычислив значение третьей производной в нуле. Повторяем это до тех пор, пока не наберется три отличных от нуля коэффициента.

Пример 16*. Решить задачу Коши , , .

Решение будем искать в виде степенного ряда:

Так как и , то

.

Найдем:

,

.

Подставив и в исходное уравнение, получим:

Считая левую часть разложением нуля в ряд Маклорена (для которого все коэффициенты равны нулю), приравниваем коэффициенты при равных степенях: , , , … .

В общем случае, отметив, что у слагаемых со знаком минус индекс коэффициента на единицу меньше показателя степени , в частности при будет коэффициент , получим: .

Это дает рекуррентную формулу

(при ),

которая показывает как связаны коэффициенты при увеличении номера на 3 единицы.

Так как , то

и .

, , … ,

( ).

Следовательно, решение задачи Коши можно задать в виде степенного ряда:

.

Легко видеть, что радиус сходимости полученного ряда .