3. Знакочередующиеся ряды

Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда

(11)

выполнен необходимый признак сходимости

, (12)

начиная с некоторого номера члены ряда убывают по абсолютной величине

, (13)

то ряд (11) сходится, при этом остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из слагаемых остатка:

. (14)

Проверка условия (13) иногда затруднительна. Возможен другой путь: рассмотреть ряд , составленный из абсолютных величин членов изучаемого знакочередующегося ряда, применить к нему соответствующий достаточный признак сходимости для положительных рядов, и если этот ряд сходится, то отсюда вытекает сходимость исходного знакочередующегося ряда (11).

Наконец, напомним, что числовой ряд с членами произвольных знаков называется абсолютно сходящимся, если он сходится вместе с рядом , составленным из абсолютных величин его членов (сходимость ряда следует из сходимости ряда ), и условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость рекомендуется начинать с изучения ряда на абсолютную сходимость.

Приведем образцы решений соответствующих примеров из типового расчета № 6.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

Воспользуемся признаком Лейбница:

. Проверим, что :

.

Так как выполнен необходимый признак сходимости и члены ряда убывают по абсолютной величине, то по признаку Лейбница ряд сходится.

Замечание. Второе условие признака Лейбница об убывании членов ряда можно обосновать методами анализа, доказав, что у функции её производная при .

Пример 8. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

Рассмотрим ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применим к нему радикальный признак Коши:

.

Ряд из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, следовательно, сам ряд тоже сходится. Поэтому исходный знакочередующийся ряд является абсолютно сходящимся.

4. Функциональные и степенные ряды

Областью сходимости функционального ряда называется множество всех , при которых сходятся соответствующие числовые ряды.

Важную роль играют степенные ряды

, (15)

о сходимости которых известно следующее: если ряд сходится не при всех и не только при , то существует такое положительное число , называемое радиусом сходимости ряда, что ряд (15) сходится при и расходится при . Радиус сходимости может быть найден по формулам

, , (16)

если пределы, фигурирующие в этих формулах, существуют.

Если ряд (15) сходится при всех , то полагают . Если же ряд (15) сходится только при , то полагают . Формулы (16) для нахождения радиуса сходимости ряда применимы и в этих случаях, с той лишь оговоркой, что во второй из них соответствует случаю , а соответствует случаю .

Замечание 1. Отметим, что в случае интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (15).

Замечание 2. Заметим ещё, что в случае в граничных точках и интервала сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться. В каждой из этих точек нужно проводить дополнительное исследование, т.е. нужно исследовать сходимость числовых рядов и

Рассмотрим задания из типового расчета № 6 на определение области сходимости.

Пример 9. Найти область сходимости функционального ряда .

Так как функции , то можно применить радикальный признак Коши: . В силу свойств функции при и при таких ряд сходится. Кроме того, на границе области сходимости при исходный ряд превращается в числовой ряд , и в этой точке ряд расходится. Следовательно, область сходимости данного ряда есть интервал .

Пример 10. Определить область сходимости степенного ряда .

Найдем радиус сходимости по первой из формул (16):

.

Итак, при ряд сходится.

Исследуем теперь сходимость данного ряда на границе его интервала сходимости. При получается ряд , который расходится (это табличный ряд, получающийся из формулы (6) при ). При получается знакочередующийся ряд , для которого выполнены оба условия признака Лейбница: поэтому этот ряд сходится. Следовательно, область сходимости изучаемого степенного ряда есть промежуток .

Пример 11. Найти область сходимости степенного ряда .

Сделав замену переменной , получим степенной ряд . Вычислим радиус сходимости полученного ряда по второй из формул (16):

.

В граничных точках интервала сходимости общие члены соответствующих числовых рядов не стремятся к нулю при , и потому эти ряды расходятся. Следовательно, ряд сходится только при . Для нахождения области сходимости исходного ряда остаётся решить неравенство :

Следовательно, область сходимости исходного ряда есть интервал .